3．1.3 频率与概率
预习课本P95～97，思考并完成以下问题
(1)什么叫事件A的概率？其范围是什么？
(2)频率和概率有何关系？
1．概率的统计定义
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率．记作P(A)，范围0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
1．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的( )
A．频率为 B．概率为
C．频率为12 D．概率接近
答案：A
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为( )
A．1 B.
C. D．0
答案：B
3．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是________的(填“合理”或“不合理”)．
答案：不合理
概率的定义
[典例] 解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[解] (1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
1．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：选D 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
利用频率与概率的关系求概率
[典例] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500,900)
[900,1 100)
[1 100,1 300)
频数
48
121
208
频率
[1 300,1 500)
[1 500,1 700)
[1 700,1 900)
[1 900，＋∞)
223
193
165
42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
[活学活用]
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：(1)如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
[层级一 学业水平达标]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( )
A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析：选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元．
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
129
121
击中飞碟的频率
(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820,0.793,0.806,0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
[层级二 应试能力达标]
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
3．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：选C A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选C.
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
6．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
解析：由频率的定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案：0.4
7．投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
则a＝________，b＝________，c＝________.
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为________．
解析：a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241；
c＝＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
答案：0.51 241 800 0.5
8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000 个鱼卵能孵化8 513 尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5 000 尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
解：(1)这种鱼卵的孵化概率P＝＝0.851 3.
(2)30 000个鱼卵大约能孵化
30 000×＝25 539(尾)鱼苗．
(3)设大概需备x个鱼卵，由题意知＝.
所以x＝≈5 900(个)．
所以大概需备5 900个鱼卵．
9．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球接近15个．
课件22张PPT。
“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(十六)”
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课时跟踪检测（十六） 频率与概率
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
3．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：选C A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选C.
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
6．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
解析：由频率的定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案：0.4
7．投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
则a＝________，b＝________，c＝________.
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为________．
解析：a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241；
c＝＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
答案：0.51 241 800 0.5
8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000 个鱼卵能孵化8 513 尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5 000 尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
解：(1)这种鱼卵的孵化概率P＝＝0.851 3.
(2)30 000个鱼卵大约能孵化
30 000×＝25 539(尾)鱼苗．
(3)设大概需备x个鱼卵，由题意知＝.
所以x＝≈5 900(个)．
所以大概需备5 900个鱼卵．
9．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球接近15个．
