一、回归分析
1．线性回归分析
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为
y＝a＋bx，
其中b＝＝，
a＝－b.
2．相关系数
r＝
＝，
|r|值越大，相关性越高，|r|值越接近0，线性相关程度越低．
二、独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)列出2×2列联表；
(2)代入公式计算χ2＝；
(3)根据χ2的值的大小作出判断．
课件5张PPT。核心要点归纳阶段质量检测章末小结
阶段质量检测(三) 统计案例
阶段质量检测(三) 统计案例
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C. D．1
解析：选D 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
2．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝a＋bx必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D 线性回归方程y＝a＋bx必过点(，)．
3．下列现象的相关程度最高的是( )
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94
C．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81
解析：选B |r|越接近1，相关程度越高．
4．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要( )
A．6.5 h B．5.5 h
C．3.5 h D．0.5 h
解析：选A 当＝600，y＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)．
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：选A 因为b>0时，两变量正相关，此时，r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.
6．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点
③已知线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则x＝25时，y的估计值为11.69
④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由最小二乘法得到的方程才是线性回归方程，故①错，
将x＝25代入y＝－0.81＋0.50x，得y＝11.69，故③正确，②④也正确．
7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A 当y＝7.675时，x＝≈9.262，
×100%≈83%.
8．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则两变量的回归方程为( )
A．y＝0.56x＋997.4 B．y＝0.63x－231.2
C．y＝0.56x＋501.4 D．y＝60.4x＋400.7
解析：选A 回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．
9．若线性回归方程中的回归系数b＝0时，则相关系数为( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
解析：选C 当b＝0时，＝0，
即iyi－n ＝0，
∴r＝＝0.
10．某工厂为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的线性回归方程是( )
A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x
C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x
解析：选A 由已知条件得＝6.5，＝28.5.
由b＝，a＝－b，
计算得b≈2.62，a≈11.47，
所以y＝11.47＋2.62x.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则有________的把握，则认为选修文科与性别有关系．
解析：∵χ2＝4.844>3.841，
∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．
答案：95%
12．已知变量x，y具有线性相关关系，测得(x，y)的一组数据如下：(0，1)，(1，2)，(2，4)，(3，5)，其回归方程为y＝1.4x＋a，则a的值是________．
解析：＝＝1.5，＝＝3，
∴这组数据的样本中心点是(1.5，3)，
把样本中心点代入回归直线方程y＝1.4x＋a，∴3＝1.4×1.5＋a，∴a＝0.9.
答案：0.9
13．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________________．
解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，v＝x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.
答案：y＝1＋ln 3＋2x
14．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．(填“有关系”或“没有关系”)
解析：由公式，得χ2＝≈0.653.
因为0.653<2.706.
所以我们没有理由说成绩与班级有关系．
答案：没有关系
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．
根据以上数据建立一个2×2的列联表．
解：2×2的列联表如下：
16．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14℃时的发芽数．
解：(1)由数据，求得＝12，＝27.故iyi＝977，3·＝972，＝434,32＝432，
由公式，求得b＝，a＝－b＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3.
(2)当x＝10时，y＝×10－3＝22，|22－23|＜2；
当x＝8时，y＝×8－3＝17，|17－16|＜2.
所以得到的线性回归方程是可靠的．
当x＝14时，有y＝x－3＝35－3＝32，
所以预测温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．
17．(本小题满分12分)淘宝网卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：
评分等级
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
女(人数)
2
7
9
20
12
男(人数)
3
9
18
12
8
(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人，求恰有1人是男性的概率．
(2)规定：评分等级在[0,3]为不满意该商品，在(3,5]为满意该商品．完成下列2×2列联表，并帮助卖家判断能否有95%的把握认为是否满意该商品与性别有关系．
满意该商品
不满意该商品
总计
女
男
总计
解：(1)∵从评分等级(4,5]的20人中随机选取2人，共有C＝190种选法，其中恰有1人为男性的共有CC＝96种选法，
所以所求概率P＝＝.
(2)2×2列联表如下：
满意该商品
不满意该商品
总计
女
32
18
50
男
20
30
50
总计
52
48
100
由公式得χ2＝≈5.769>3.841，
所以有95%的把握认为是否满意该商品与性别有关．
18．(本小题满分14分)某市为了对学生的数理(数学与物理)学习能力进行分析，从 10 000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表：
等级得分
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
人数
3
17
30
30
17
3
(1)如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率．
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间(1,2]的中点值为1.5)作为代表：
①据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ(精确到0.1)；
②若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10 000名学生中数理学习能力等级在(1.9,4.1)范围内的人数．
(3)从这10 000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：
x(数学学习能力)
2
3
4
5
6
y(物理学习能力)
1.5
3
4.5
5
6
①请画出上表数据的散点图；
②请根据上表提供的数据，用求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a
(附参考数据：≈11.4)．
解：(1)样本中学生为良好的人数为20人．故从样本中任意抽取2名学生，则仅有1名学生为良好的概率为＝.
(2)①总体数据的期望约为：
μ＝0.5×0.03＋1.5×0.17＋2.5×0.30＋3.5×0.30＋4.5×0.17＋5.5×0.03＝3.0，
标准差σ＝[(0.5－3)2×0.03＋(1.5－3)2×0.17＋(2.5－3)2×0.3＋(3.5－3)2×0.3＋(4.5－3)2×0.17＋(5.5－3)2×0.03]＝≈1.1，
②由于μ＝3，σ＝1.1
当x∈(1.9,4.1)时，即x∈(μ－σ，μ＋σ)，
故数理学习能力等级分数在(1.9,4.1)范围中的概率约为0.683.
数理习能力等级分数在(1.9,4.1)范围中的学生的人数约为10 000×0.683＝6 830人．
(3)①数据的散点图如图：
②设线性回归方程为y＝bx＋a，则＝4，＝4.
b＝＝1.1，a＝－b＝－0.4.
故回归直线方程为y＝1.1x－0.4.
