回扣验收特训(三) 统计案例
1．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A．有关 B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
解析：选A 由公式χ2＝≈8.306>6.635，
则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”．
2．下列说法中正确的有：( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C 若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
3．有下列数据( )
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
解析：选A 分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好．
4．下列说法中，错误说法的个数是( )
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②回归方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(，)；
④在一个2×2列联表中，若χ2＝13.079，则有99%以上的把握认为这两个变量之间有关系．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 数据的方差与加了什么样的常数无关，故①正确；对于回归方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，故②错误；易知③正确；若χ2＝13.079>6.635，则有99%以上的把握认为这两个变量之间有关系，故④正确．
5．为了解儿子身高与其父亲身高之间的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y关于x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：选C 由表中数据可知＝176，＝176，代入选项知C正确．
6．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的回归方程，并算出了对应相关指数R2如下表：
拟合曲线
直线
指数曲线
抛物线
二次曲线
y与x回归方程
y＝19.8x－
463．7
y＝e0.27x－3.84
y＝0.367x2－
202
y＝
相关指数r
0.864
0.997
0.949
0.044
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( )
A．y＝19.8x－463.7 B．y＝e0.27x－3.84
C．y＝0.367x2－202 D．y＝
解析：选B 用相关指数r来刻画回归效果，r的值越大，说明模型的拟合效果越好．
7．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：
选
未选
总计
男
405
45
450
女
230
220
450
总计
635
265
900
那么，有__________的把握认为选修《人与自然》与性别有关．
解析：χ2＝＝163.794>6.635，
即有99%的把握认为选修《人与自然》与性别有关．
答案：99%
8．某研究机构对高中学段学生的记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下表数据：
x
0
1
2
3
y
－1
1
m
8
若y与x的回归直线方程y＝3x－，则实数m的值是________．
解析：由题意，＝，＝，
所以样本中心点坐标为，
因为回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为y＝3x－，
所以＝3×－，所以m＝4.
答案：4
9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈95%.对此，有以下四个结论：
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：由题意，因为χ2≈3.918，P(χ2≥3.841)≈95%，所以只有①正确，即有95%以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用．
答案：①
10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量/万吨
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2018年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2012
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得，＝0，＝3.2，
又－4×(－21)＋(－2)×(－11)＋0×0＋2×19＋4×29＝260，
(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，
所以b＝＝6.5，
a＝－b＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y－257＝b(x－2012)＋a＝6.5(x－2012)＋3.2，
即y＝6.5(x－2012)＋260.2.
(2)利用回归直线方程，可预测2018年的粮食需求量为y＝6.5(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
学习积极性一般
19
总计
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是，请完成上面的2×2列联表．
(2)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：是否有99%的把握判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
解：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到2×2列联表如下
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(2)χ2＝≈11.538，
因为11.538>6.635，所以有99%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
12．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
表二：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
y
(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
(2)由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
解：(1)设从高一年级男生中抽出m人，
则＝，
解得m＝25，则从女生中抽取20人，
所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.
表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共10种．
记事件C表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种．
所以P(C)＝＝，故所求概率为.
(2)列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
因为1－0.9＝0.1，P(χ2≥2.706)＝90%，
而χ2＝＝1.125<2.706，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
复习课(三) 统计案例
统计案例
考查方式
统计案例主要是回归分析和独立性检验，在考纲中都是“了解”层次的内容．高考对本块知识的考查方式呈现多样性，各类题型都有，属中档题．
备考指要
1.线性回归直线方程y＝a＋bx.
其中b＝，a＝－b；
回归直线方程一定过点(，)，并会利用回归方程对相关变量进行回归分析．
2.掌握独立性检验的步骤：
(1)根据样本数据列2×2列联表．
(2)根据公式计算
χ2＝.
(3)根据χ2值的大小作出判断.
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．
K2＝.
[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.
(2)由(1)知可得列联表
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由表中数据及K2的计算公式得，
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55 kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50＋≈52.35(kg)．
1．在一次天气恶劣的飞机航程中，有关人员调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：能否以90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？
解：根据题意，列出2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
x2＝≈3.689>2.706，
因此，能以90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机．
2．某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：
x用户(万户)
1
1.1
1.5
1.6
1.8
y(万立方米)
6
7
9
11
12
(1)作散点图检验是否线性相关；
(2)求回归方程；
(3)若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量．
解：(1)作出散点图(如图)，观察呈线性正相关．
(2)＝＝，
＝＝9，
＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26，
iyi＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4，
∴b＝＝＝.
a＝－b＝9－×＝－，
∴回归方程为y＝－＋x.
(3)当x＝1.8＋0.2＝2时，
代入得y＝－＋×2＝≈13.4.
∴煤气消耗量约达13.4万立方米．
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