2019年数学北师大版选修2-3新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：模块综合检测

模块综合检测
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于线性回归方程y＝bx＋a(b>0)，下列说法错误的是(　　)
A．当x增加一个单位时，y的值平均增加个单位
B．点(，)一定在y＝bx＋a所表示的直线上
C．当x＝t时，一定有y＝bt＋a
D．当x＝t时，y的值近似为bt＋a
解析：选C　x＝t时，y的值应为近似值．
2．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X<3)等于(　　)
A．　　　　　　　　 　 B．
C． D．
解析：选D　由正态分布的图像知，x＝μ＝3为该图像的对称轴，则P(X<3)＝.
3．掷一枚硬币，记事件A＝“出现正面”，B＝“出现反面”，则有(　　)
A．A与B相互独立
B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与B不相互独立
D．P(AB)＝
解析：选C　由于事件A和事件B是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A与B为互斥事件．
∵P(AB)＝0≠P(A)·P(B)＝，
∴A与B不相互独立．
4．已知集合S＝{－1,0,1}，P＝{1,2,3,4}，从集合S，P中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点的个数为(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C　不同点的个数为CCA－1＝23，其中(1,1)重复一次．
5．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)
A．160 B．163
C．166 D．170
解析：选C　由题意可知y＝4x＋a，
又＝22.5，＝160，
因此160＝22.5×4＋a，解得a＝70，
所以y＝4x＋70.
当x＝24时，y＝4×24＋70＝166.
6．在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　设A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则B表示“第一次抽得次品第二次抽得正品”．
∴P(B|)＝＝＝.
7．二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1 024，则所有项的系数中最大的值是(　　)
A．330 B．462
C．680 D．790
解析：选B　显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x＝1即得所有项系数之和．据题意可得2n－1＝1 024＝210，∴n＝11.
各项的系数为二项式系数，故系数最大值为C或C，为462.
8．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为(　　)
A．76 B．78
C．81 D．84
解析：选A　如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C－8＝76.
9．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，共有排列方法(　　)
A．36种 B．72种
C．90种 D．144种
解析：选A　从c，d，e，f中选2个，有C，把a，b看成一个整体，则3个元素全排列为A，共计CA＝36.
10．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析：选A　根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，∵0令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在上单调递增，
所以f(p1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．数列a1，a2，…，a7中，恰好有5个a,2个b(a≠b)，则不相同的数列共有________个．
解析：7个位置中选2个位置放入2个b，其余5个位置放入5个a，共有C＝21个数列．
答案：21
12．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%,50%,45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为________．
解析：记A＝“三个臭皮匠不能解决问题”，
P(A)＝(1－60%)(1－50%)(1－45%)＝0.11，
∴三个臭皮匠能解决此问题的概率为
1－P(A)＝1－0.11＝0.89＝89%.
答案：89%
13．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.
解析：依题意，X～B(100,0.02)，
所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
答案：1.96
14．用五种不同的颜色，给图中的(1)，(2)，(3)，(4)各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有________种．
解析：先涂(3)有5种方法，再涂(2)有4种方法，再涂(1)有3种方法，最后涂(4)有4种方法，所以共有5×4×3×4＝240种涂色方法．
答案：240
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3.
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，P(A|B1)＝＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝×＋×＋×＝，
即取出的这个产品是正品的概率为.
16．(本小题满分12分)(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3.
(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
17．(本小题满分12分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
60分以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班(人数)
3
6
11
18
12
乙班(人数)
4
8
13
15
10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
乙班
总计
解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30，优秀率为＝60%，
乙班优秀人数为25，优秀率为＝50%，
所以甲、乙两班优秀率分别为60%和50%.
(2)
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
总计
55
45
100
因为χ2＝≈1.010<3.841，
所以没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
18．(本小题满分14分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，
由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，
P(X＝500)＝＝0.4.
因此X的分布列为：
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．