一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(x＝ai)＝Pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成下表
X＝ai
a1 a2 …
P(X＝ai)
p1 p2 …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量X的取值；
(2)准确求出X取每一个值时的概率；
(3)列成表格的形式．
[说明] 已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0，i＝1,2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.
[说明] 分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝.
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，Pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.
2．意义：均值反映了离散型随机变量取值的平均取值水平，而方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
四、超几何分布及二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．
那么P(X＝k)＝(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布．其均值EX＝n.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)．
称为X服从参数为n，P的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为
f(x)＝exp，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997.
课件8张PPT。核心要点归纳阶段质量检测章末小结 阶段质量检测(二) 概 率阶段质量检测(二) 概 率
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则 “ξ＝5” 表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
解析：选C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n，p的值分别是( )
A．50， B．60，
C．50， D．60，
解析：选B 由得
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D.
解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点知，＝，∴DX＝σ2＝.
4．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：选D 设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A ＋ B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于( )
A． B．
C． D．
解析：选B P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率公式
P(B|A)＝＝＝.
6.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，
则灯亮的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：
P()P()[1－P(AB)]＝××＝.∴灯亮的概率为1－＝.
7．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，且P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)等于( )
A．p B．1－p
C．1－2p D．－p
解析：选D 由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由正态分布图可得
P(－1＜X＜0)＝－P(X＜－1)＝－P(X＞1)＝－p.
8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，则k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 设正面向上的次数为X，则X～B.
由题意知，C5＝C5.
∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.
9．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：选B 出海效益的均值为
EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200元．
10．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 由已知，得3a＋2b＋0·c＝2，得3a＋2b＝2，
所以ab＝×3a×2b≤2＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.
解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6,1－p)，
所以EX＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
12．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.
答案：1
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝________.
解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2.
n＝2，则EX＝2×＝.
答案：
14．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利________元．
解析：设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50. 依题意，X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故EX＝－20×0.1＋0.3×30＋50×0.6＝37(元)．
答案：37
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得
P(A1)＝CP(X＝2)·P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
16．(本小题满分12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)
＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)
＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)
＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，即P(B|A)＝＝.
18．(本小题满分14分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．
解：(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，
所以P(A)＝C21＋C3＝.
(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝；
P(X＝1)＝C2＝；
P(X＝2)＝C2＝；
P(X＝3)＝C3＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望为
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
