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专题跟踪检测（十三） 圆的方程
一、选择题
1．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋2＝
B．(x＋2)2＋2＝
C．(x＋2)2＋2＝25
D．(x－2)2＋2＝25
解析：选B 直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点为A(－4，0)，B(0,3)．则圆心
C ，半径r＝＝，圆的方程为(x＋2)2＋2＝.
2．直线xcos θ＋ysin θ＝1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B.相交
C．相离 D．以上都有可能
解析：选A 圆心(0,0)到直线xcos θ＋ysin θ＝1的距离d＝＝1＝r.故直线与圆相切．
3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是( )
A．k∈(－，)
B．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
C．k∈(－，)
D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选C 圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点?圆心(0,0)到直线的距离d>1，即>1，解得－
4．一条线段AB长为2，两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．双曲线 B.双曲线一分支
C．圆 D．半圆
解析：选C 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB的中点到原点的距离总等于1，∴AB的中点轨迹是圆．故选C.
5．若x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞) B.(－6，－2)∪(3，＋∞)
C．(－6，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：选B 令x＝0得圆与y轴交点纵坐标满足的条件为y2＋2my＋m＋6＝0，则解得m>3或－66．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，那么直线l与圆O的位置关系是( )
A．相离 B.相切
C．相交 D．不确定
解析：选A 由点P(a，b)是圆O内一点，可得r，所以直线l与圆相离．
7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 圆关于直线对称，半径保持不变，又圆心(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(0，－1)，所以对称后圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，故选C.
8．已知直线l：y＝kx＋b，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，则“b＝1”是“直线l与曲线C有公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若直线l与曲线C有公共点，则≤1，即|b－1|≤，
可知b＝1时，满足上式；取b＝也满足上式．
故“b＝1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件．
9．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
解析：选A 由题意知P，A，B，O四点共圆，△OAB的外接圆是以PO为直径的圆，圆心为(2,1)，半径为＝，则外接圆方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，故选A.
10．圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－x－2y－＝0
B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0
D．x2＋y2－x－2y＋＝0
解析：选D 抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0.
11．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B.
C．(－∞，－3)∪ D．(－3，＋∞)
解析：选C 圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，所以解得a<－3或112．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a>0)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b>0)恰有三条公切线，则a＋b的最大值为( )
A. B.
C．3 D．3
解析：选D 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.
因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.
因为2≤，所以a＋b≤3，所以a＋b的最大值为3.
13．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 设直线y＝x－1上一点A(a，a－1)，由点A向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，所得的切线长l＝＝.故当a＝2时，lmin＝1.
14．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )
A.＋1 B.2
C. D．－1
解析：选A 直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2，∴a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝ ＝，∴当b＝－时，|PM|max＝＝＋1.
15．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是( )
A．(0，－1) B.(0,1]
C．(0,2－ ] D．(0，)
解析：选C 由A∩B＝B知B?A，即圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2与圆x2＋y2＝4内切或内含．即d＝≤2－r(r>0)，得016．圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 B.9
C．10 D．9
解析：选C 因为圆的方程为(x－1)2＋y2＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝，所以与PC垂直的弦长为2＝2.因此所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
17．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C．(6－2)π D．π
解析：选A 法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为，2r＝，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r?r≥，即圆C的面积S＝πr2≥π.
法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝，得r＝，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.
18．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
解析：选A 计算得圆心到直线l的距离为>1，得到如图所示的草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.
二、填空题
19．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝2，则a＝________.
解析：若过M点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，故切线方程为y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.由＝得a＝±.
答案：x＝2或3x＋4y－10＝0 ±
20．过点A(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于M，N两点，若|MN|＝8，则l的方程为________．
解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，可得M(－4,6)，N(－4，－2)，此时|MN|＝8符合．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋4)，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，则圆心到直线l的距离d＝，由|MN|＝2＝8，得25－＝16，解得k＝－，此时l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为x＝－4或5x＋12y＋20＝0.
答案：x＝－4或5x＋12y＋20＝0
21．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.
答案：3
22．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；
③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)
解析：集合{(x，y)|答案：②④
三、解答题
23．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a＞0)，
由题意知解得a＝1或a＝，
又S＝πR2＜13，∴a＝1，R＝2，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又l与圆C相交于不同的两点，联立得消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，
解得k＜1－或k＞1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
∴3×＝，
解得k＝?∪，假设不成立，∴不存在这样的直线l.
24．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于O，A两点，与y轴交于O，B两点，其中O为原点．
(1)当t＝2时，求圆C的方程；
(2)求证：△OAB的面积为定值；
(3)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|.求圆C的方程．
解：(1)当t＝2时，C(2,1)，此时半径r＝，则圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)证明：∵圆C过原点O，
∴|OC|2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝··|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(3)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，
∴kOC＝，
∴直线OC的方程是y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
∴圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
∴圆C与直线y＝－2x＋4不相交，故舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
25.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为|BC|＝|OA|＝＝2，
而|MC|2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．
专题十三圆的方程
[备考学什么——以纲忆知]
一、圆的方程
知识条目
要求
知识条目
要求
1.圆的标准方程
①圆的标准方程
②判断点与圆的位置关系
c
a
2.圆的一般方程
①圆的一般方程
②化圆的一般方程为标准方程
③求曲线方程的基本方法
c
b
b
1.圆的标准方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为.
(2)点与圆的位置关系：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点和圆的位置关系有三种：
①点M(x0，y0)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
②点M(x0，y0)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
③点M(x0，y0)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)22．圆的一般方程
(1)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.
(2)化圆的一般方程为标准方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0?2＋2＝(D2＋E2－4F>0)．
二、直线、圆的位置关系
知识条目
要求
知识条目
要求
1.直线与圆的位置关系
①判断直线与圆的位置关系
②在已知直线与圆的位置关系的条件下，求直线或圆的方程
b
c
2.圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系
b
3.直线与圆的方程的应用
①利用坐标法来解直线与圆的方程
②直线与圆的方程的综合应用
c
d
1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
dr
Δ>0
相切
dr
Δ＝0
相离
dr
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
三、空间直角坐标系
知识条目
要求
1.空间直线坐标系
①空间直角坐标系及相关概念
②三维空间的点的坐标表示
a
b
2.空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式
b
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴，这时建立了空间直角坐标系O-xyz.其中点O叫做坐标原点，三条轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫坐标平面．空间内点的坐标为P(x，y，z)．
(2)坐标平面：三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，称为坐标平面．它们是：由x轴及y轴所确定的xOy平面；由y轴及z轴所确定的yOz平面；由x轴及z轴所确定的zOx平面．
2．空间内两点之间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则
d＝.
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年4月浙江省学考T9)直线y＝x被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B.1
C. D．2
解析：选C 由题可得，该圆的圆心(1,0)到直线y＝x的距离为d＝＝，圆的半径为1，所以半弦长为 ＝，所以弦长为.故选C.
2．(2017年11月浙江省学考T12)过圆x2＋y2－2x－8＝0的圆心，且与直线x＋2y＝0垂直的直线方程是( )
A．2x－y＋2＝0 B.x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．2x－y－2＝0
解析：选D 因为待求直线与直线x＋2y＝0垂直，所以设直线方程为2x－y＋m＝0.圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋y2＝9，即直线2x－y＋m＝0过圆心(1,0)，则2＋m＝0，解得m＝－2，故直线方程为2x－y－2＝0，故选D.
3．(2016年4月浙江省学考T8)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A．内含 B.外离
C．相交 D．相切
解析：选B 由题可得，C1(0,0)，C2(3,4)，所以|C1C2|＝5.两圆的半径分别为1,3，所以|C1C2|>4.所以两圆外离．故选B.
4．(2018年4月浙江省学考T12)如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( )
A．x2＋y2－x＋2y＋1＝0 B.x2＋y2＋2x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋y－1＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－1＝0
解析：选B 由正方形的边长为4知各小圆圆心坐标为(±1，±1)，半径为1.由圆心坐标可排除A，C；B中方程化为标准形式为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，符合题意；D中方程化为标准形式为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，不符合题意．
5．(2018年6月浙江省学考T19)圆(x－3)2＋y2＝1的圆心坐标是________，半径长为________．
解析：由于圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，得圆心坐标是(3,0)，半径长为1.
答案：(3,0) 1
[考情分析]
本专题中圆的方程、直线与圆位置关系、圆与圆位置关系和圆的最值问题是学考的常考点，主要以选择、填空题的形式出现．主要考查：(1)圆的标准方程和一般方程；(2)判断直线与圆、圆与圆的位置关系；(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
圆的性质决定了本专题具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题．
求圆的方程
[典题例析]
根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于P(3，－2)；
(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)；
(4)已知A(1，－1)，B(5,3)，动点M满足＝2；
(5)过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上．
解：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)法一：如图所示，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
解得
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3)法一：设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)，
kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
(4)由＝2，得|MA|2＝4|MB|2，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝4[(x－5)2＋(y－3)2]，化简得x2＋y2－x－y＋＝0.
(5)满足题意的圆系方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(λ－2)x＋2λy－3λ＝0，
又圆心在y轴上，所以λ＝2，
则圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.
[类题通法]
求圆的方程的方法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．求圆方程的基本方法有：
(1)几何法
通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法
设圆的方程，用待定系数法求解．
[即时应用]
1．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( )
A．(－1,4)
B．(－4,1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
解析：选D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.
2．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：设圆心为(t,0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝，所以圆的标准方程为2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
3．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程为________．
解析：法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)．
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
则解得∴C(2,1)，
r＝|CA|＝＝.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则 解得
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝10.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝10
直线与圆的位置关系
[典题例析]
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
[类题通法]
1．判断直线与圆位置关系的常见方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过在圆内的定点，则可判断直线与圆相交．
2．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.
(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
|AB|＝|x1－x2|＝.
[提醒] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[即时应用]
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：选A 设所求直线方程为2x＋y＋m＝0，则圆心到该直线的距离为＝，∴|m|＝5，即m＝±5.
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B.相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝<1<.所以直线l与圆C是相交的．
法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．
3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B.4
C．6 D．2
解析：选C 由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，故圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心(2,1)在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.
4．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
故方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
圆与圆的位置关系
[典题例析]
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时，两圆外切？
(2)m取何值时，两圆内切？求此时公切线的方程．
解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)，半径分别为r1＝和r2＝.
(1)当两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2，即＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故有－＝5.解得m＝25－10.
因为kC1C2＝＝，
所以两圆公切线的斜率是－.
设切线方程为y＝－x＋b，
则有＝.解得b＝±.
经验证，当b＝＋时，直线与后一圆相交，故所求公切线方程为y＝－x＋－，
即4x＋3y＋5－13＝0.
[类题通法]
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[即时应用]
1．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B.4
C．8 D．8
解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝ ＝×＝8.
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B.双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 设圆心C(x，y)，则题意得＝y＋1(y>0)，化简得x2＝8y－8，即轨迹为抛物线．
3．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B.2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
解析：选D 法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P在直线l上，故可排除A、B、C.
法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0.
4．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O与⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：⊙O的圆心为(0,0)，半径为，⊙O′的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得 ＝，化简得x＝.
答案：x＝
与圆有关的最值问题
[典题例析]
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图①)，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图②)，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．
又圆心到原点的距离为＝2.
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[类题通法]
与圆有关的最值问题
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的类型及解决方法如下：
最值问题类型
解决方法
μ＝形式
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by形式
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换，转化为三角函数型函数的最值问题
t＝(x－a)2＋(y－b)2形式
转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
圆上一点到直线的距离形式
转化为圆心到直线的距离的最值问题
[即时应用]
1．实数x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为( )
A．30＋2 B.30＋4
C．30＋2 D．30＋4
解析：选B (x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4.
2．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B.25
C．26 D．36
解析：选D 因为圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.
3．光线从点A(－3,3)射到x轴上的点P后反射，反射光线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2有公共点B，则|AP|＋|PB|的最小值为________．
解析：作点A关于x轴的对称点A1(－3，－3)，圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为O1(1,1)，半径为r＝，由几何关系知|AP|＋|PB|≥|A1O1|－r，而|A1O1|＝＝4，r＝，所以|AP|＋|PB|的最小值为4－＝3.
答案：3
4．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
解析：由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示．
记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.
又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1.
答案：－1
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．以点(0,1)为圆心，2为半径的圆的方程是( )
A．x2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋y2＝2
C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝4
答案：C
2．(2016年10月浙江省学考T5)在平面直角坐标系xOy中，动点P的坐标满足方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，则点P的轨迹经过( )
A．第一、二象限 B.第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解析：选A 由题可得，动点P的轨迹是一个以(1,3)为圆心，半径为2的圆，该圆经过第一、二象限．所以点P的轨迹经过第一、二象限．故选A.
3．设直线l过点(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B.±
C．± D．±
解析：选C 如图，直角三角形ABO的三边长分别为2,1，，得α为30°，所以l的斜率为±.
4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B.相交
C．外切 D．外离
解析：选B 两圆的圆心距为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
A. B.1
C. D．
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.故选C.
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，∴C1C2的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
7．已知圆的方程为x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0，若过点A(1，－2)的圆的切线有两条，则实数m的取值范围是________．
解析：将圆的方程配方得(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4，则有－m2＋3m＋4>0；又点A(1，－2)在圆外，则有(1＋m)2＋(－2＋2)2>－m2＋3m＋4，即2m2－m－3>0.由得故有答案：
8．圆C的圆心在直线l：4x－3y－15＝0上，并与圆x2＋y2＝4外切且面积最小，则圆C的方程为________．
解析：因为圆x2＋y2＝4的圆心到直线4x－3y－15＝0的距离d＝＝3，又因为所求的圆与圆x2＋y2＝4外切且面积最小，所以所求的圆的半径为1，由于过点(0,0)垂直于直线4x－3y－15＝0的直线方程为y＝-x，联立方程组解得即所求圆的圆心坐标为，故所求的圆的方程为2＋2＝1.
答案：2＋2＝1
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：依题意，设l的方程为y＝x＋b，①
x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②
联立①②消去y得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有③
∵以AB为直径的圆过原点，∴⊥，即x1 x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4.
∴满足条件的直线l存在，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋2＝
B．(x＋2)2＋2＝
C．(x＋2)2＋2＝25
D．(x－2)2＋2＝25
解析：选B 直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点为A(－4，0)，B(0,3)．则圆心C，半径r＝＝，圆的方程为(x＋2)2＋2＝.
2．直线xcos θ＋ysin θ＝1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B.相交
C．相离 D．以上都有可能
解析：选A 圆心(0,0)到直线xcos θ＋ysin θ＝1的距离d＝＝1＝r.故直线与圆相切．
3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是( )
A．k∈(－，)
B．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
C．k∈(－，)
D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选C 圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点?圆心(0,0)到直线的距离d>1，即>1，解得－4．一条线段AB长为2，两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．双曲线 B.双曲线一分支
C．圆 D．半圆
解析：选C 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB的中点到原点的距离总等于1，∴AB的中点轨迹是圆．故选C.
5．若x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞) B.(－6，－2)∪(3，＋∞)
C．(－6，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：选B 令x＝0得圆与y轴交点纵坐标满足的条件为y2＋2my＋m＋6＝0，则解得m>3或－66．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，那么直线l与圆O的位置关系是( )
A．相离 B.相切
C．相交 D．不确定
解析：选A 由点P(a，b)是圆O内一点，可得r，所以直线l与圆相离．
7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 圆关于直线对称，半径保持不变，又圆心(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(0，－1)，所以对称后圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，故选C.
8．已知直线l：y＝kx＋b，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，则“b＝1”是“直线l与曲线C有公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若直线l与曲线C有公共点，则≤1，即|b－1|≤，
可知b＝1时，满足上式；取b＝也满足上式．
故“b＝1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件．
9．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
解析：选A 由题意知P，A，B，O四点共圆，△OAB的外接圆是以PO为直径的圆，圆心为(2,1)，半径为＝，则外接圆方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，故选A.
10．圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－x－2y－＝0
B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0
D．x2＋y2－x－2y＋＝0
解析：选D 抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0.
11．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B.
C．(－∞，－3)∪ D．(－3，＋∞)
解析：选C 圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，所以解得a<－3或112．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a>0)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b>0)恰有三条公切线，则a＋b的最大值为( )
A. B.
C．3 D．3
解析：选D 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.
因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.
因为2≤，所以a＋b≤3，所以a＋b的最大值为3.
13．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 设直线y＝x－1上一点A(a，a－1)，由点A向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，所得的切线长l＝＝.故当a＝2时，lmin＝1.
14．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )
A.＋1 B.2
C. D．－1
解析：选A 直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2，∴a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝ ＝，∴当b＝－时，|PM|max＝＝＋1.
15．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是( )
A．(0，－1) B.(0,1]
C．(0,2－ ] D．(0，)
解析：选C 由A∩B＝B知B?A，即圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2与圆x2＋y2＝4内切或内含．即d＝≤2－r(r>0)，得016．圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 B.9
C．10 D．9
解析：选C 因为圆的方程为(x－1)2＋y2＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝，所以与PC垂直的弦长为2＝2.因此所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
17．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C．(6－2)π D．π
解析：选A 法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为，2r＝，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r?r≥，即圆C的面积S＝πr2≥π.
法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝，得r＝，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.
18．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
解析：选A 计算得圆心到直线l的距离为>1，得到如图所示的草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.
二、填空题
19．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝2，则a＝________.
解析：若过M点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，故切线方程为y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.由＝得a＝±.
答案：x＝2或3x＋4y－10＝0 ±
20．过点A(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于M，N两点，若|MN|＝8，则l的方程为________．
解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，可得M(－4,6)，N(－4，－2)，此时|MN|＝8符合．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋4)，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，则圆心到直线l的距离d＝，由|MN|＝2＝8，得25－＝16，解得k＝－，此时l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为x＝－4或5x＋12y＋20＝0.
答案：x＝－4或5x＋12y＋20＝0
21．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.
答案：3
22．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；
③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)
解析：集合{(x，y)|答案：②④
三、解答题
23．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a＞0)，
由题意知解得a＝1或a＝，
又S＝πR2＜13，∴a＝1，R＝2，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又l与圆C相交于不同的两点，联立得消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，
解得k＜1－或k＞1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
∴3×＝，
解得k＝?∪，假设不成立，∴不存在这样的直线l.
24．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于O，A两点，与y轴交于O，B两点，其中O为原点．
(1)当t＝2时，求圆C的方程；
(2)求证：△OAB的面积为定值；
(3)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|.求圆C的方程．
解：(1)当t＝2时，C(2,1)，此时半径r＝，则圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)证明：∵圆C过原点O，
∴|OC|2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝··|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(3)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，
∴kOC＝，
∴直线OC的方程是y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
∴圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
∴圆C与直线y＝－2x＋4不相交，故舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
25.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为|BC|＝|OA|＝＝2，
而|MC|2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．
