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“专题跟踪检测”见“专题跟踪检测 (十四)”
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专题跟踪检测（十四） 常用逻辑用语
一、选择题
1．(2015年1月浙江省学考T15)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)在[－2,2]上单调递增”是“f(－2)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若f(x)在[－2,2]上单调递增，则f(－2)2．“a<0”是“函数y＝x2－2ax在区间[1，＋∞)上递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 函数y＝x2－2ax在[1，＋∞)上递增?a≤1，而a<0?a≤1，a≤1 ?/ a<0，故“a<0”是“函数y＝x2－2ax”在区间[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．
3．命题“若x2<1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 逆否命题是将原命题的条件和结论都否定并交换，则命题“若x2<1，则－14．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由log2a＞log2b＞0知a＞b＞1，反之也成立，故选A.
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
6.>1的一个充分不必要条件是( )
A．x＞y B.x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
解析：选B >1?x＞y＞0或x＜y＜0，知>1的一个充分不必要条件是x＞y＞0.
7．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x≥2且y≥2可得x2＋y2≥4，但反之不成立．
8．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设数列{an}的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)＜0，即q＜－1，故q＜0是q＜－1的必要不充分条件．故选C.
9．设a，b为实数，命题甲：ab>b2，命题乙：<<0，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 命题甲等价于：若b>0，则a>b，若b<0，则a10．设角α，β是锐角，则“α＋β＝”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2；反过来，由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝＝1，由α，β∈，知α＋β∈(0，π)可得α＋β＝.
11．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为e，则“e>”是“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由e＝>，得0，反之不成立．故“e>”是“012．若0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当00，所以“xsin x<1”是“xtan x<1”的必要不充分条件．
13．已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A．p真q假 B.p假q真
C．“p∨q”为假 D．“p∧q”为真
解析：选C 在△ABC中，设角C与角B所对应的边分别为c，b，由C >B，知c>b，由正弦定理＝可得sin C >sin B，反之易证当sin C >sin B时，C>B，故“C>B”是“sin C >sin B”的充要条件；当c＝0时，由a>b得ac2＝bc2，由ac2>bc2易证a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．即命题p是假命题，命题q是假命题，所以“p∨q”为假．
14．“a<2”是“对任意实数x，|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 注意到|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，即|x＋1|＋|x－1|的最小值是2.因此由a<2可得|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立，即充分性成立；反过来，由|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立不能得a<2，此时a的值可取得2，即必要性不成立，故选C.
15．已知命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析：选B 命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴綈p为真命题时，a>4.又∵綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，∴(3m＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m＋1>4，解得m>1，故选B.
16．已知{an}为等比数列，则“a1>a2>a3”是“{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则由a2－a3＝(a1－a2)q>0，a1－a2>0，可得q>0.又a1－a2＝a1(1－q)>0，则或所以an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1·(q－1)<0恒成立，即an＋1a2>a3成立，所以必要性成立，即等比数列{an}中，“a1>a2>a3”是“{an}单调递减”的充要条件，故选C.
17．设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B.x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
解析：选B 命题“x，y中至少有一个大于1”等价于“x>1或y>1”，若x＋y>2，则必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以由x>1或y>1不能推出x＋y>2，故B正确．当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1，所以A错；对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1，故C错；对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故D错．综上知选B.
18．已知p：x>k，q：≥1，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
解析：选D ∵≥1，∴≥0，∴－1二、填空题
19．已知p：x>1；q：(x－2)(x－a)<0(a≠2)．若a＝3，则p是q的________条件；若p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，则a的取值范围是________．
解析：a＝3时，q：2答案：必要不充分 (－∞，1)
20．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．
解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，则有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，则有＝，化简得a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
21．下列说法中不正确的是________．(填序号)
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件；
③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题；
④“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件．
解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即①不正确．因为x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即②不正确．因为由“x＝y”能推出“sin x＝sin y”，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，即③正确．由“x＝”能推出“tan x＝1”，但由“tan x＝1”推不出“x＝”，所以“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即④不正确．
答案：①②④
22．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B?A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
答案：①②③
三、解答题
23．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，
∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A?B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
24．已知命题p：方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2＋2ax＋2a≤0成立．若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．
解：由x2－(2＋a)x＋2a＝0，得(x－2)(x－a)＝0，
∴x＝2或x＝a.
又方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解，
∴－1≤a≤1.
∵存在实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，
∴Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2.
又∵命题“p∧q”是真命题，∴命题p和命题q都是真命题．
∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
25．已知命题：“对于x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“对于x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，∴m>(x2－x)max，得m>2.
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?.若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
专题十四常用逻辑用语
[备考学什么——以纲忆知]
一、命题及其关系
知识条目
要求
知识条目
要求
1.命题
命题的概念
b
3.四种命题间的相互关系
①四种命题间的相互关系
②利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判断命题的真假
a
b
2.四种命题
命题的逆命题、否命题、逆否命题
a
1.命题的概念
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．命题“若p，则q”的形式
其中的p叫做条件，q叫做结论．
3．四种命题及其关系
4．四种命题的真假性关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
假
假
真
假
假
结论1：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
结论2：两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系．
二、充分条件与必要条件
知识条目
要求
1.充分条件与必要条件
必要条件、充分条件的含义
b
2.充要条件
充要条件的含义
b
1.若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
2．若p?q，且p?q，则p是q的充要条件；
3．若p?q，且p?/ q，则p是q的充分不必要条件；
4．若p?/ q，且p?q，则p是q的必要不充分条件；
5．若p?/ q，且p?/ q，则p是q的既不充分也不必要条件．
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年11月浙江省学考T13)已知a，b是实数，则“|a|<1且|b|<1”是“a2＋b2<1”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 取a＝0.9，b＝0.9，满足|a|<1且|b|<1，但0.92＋0.92>1，即充分性不成立；a2＋b2<1表示的是与原点距离小于1的点，则|a|<1，|b|<1，即必要性成立．故“|a|<1且|b|<1”是“a2＋b2<1”的必要不充分条件，选B.
2．(2017年4月浙江省学考T13)设实数a，b满足|a|>|b|，则“a－b>0”是“a＋b>0”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为|a|>|b|，所以有a2>b2，即(a－b)(a＋b)>0.所以当a－b>0时，a＋b>0；当a＋b>0时，a－b>0.所以是充要条件．故选C.
3．(2016年10月浙江省学考T8)已知向量a，b，则“a∥b”是“|a－b|＝|a|－|b|”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由a∥b可知，a，b同向或反向．若a，b反向，则|a－b|＝|a|－|b|不成立，所以不是充分条件；若|a－b|＝|a|－|b|，两边平方，化简可得－2a·b＝－2|a|·|b|，所以可知a，b同向，所以有a∥b，所以是必要条件．故选B.
4．(2018年6月浙江省学考T9)已知直线l，m和平面α，m?α，则“l⊥m”是“l⊥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由l⊥α得直线l垂直于平面α内所有的直线，因为m?α，所以l⊥m，所以l⊥α?l⊥m；由m?α，l⊥m可得l⊥α或直线l与平面α相交，所以l⊥m l⊥α，所以“l⊥m”是“l⊥α”的必要而不充分条件．
5．(2018年4月浙江省学考T13)设a为实数，则“a>”是“a2>”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A a>??a>1?a2>，充分性成立；取a＝－1，满足a2>，但不满足a>，故必要性不成立．
[考情分析]
本专题主要在选择题中进行考查，一般位于选择题的中间位置，试题难度为中等．重点考查充分性与必要性的推理论证，难点在于与各知识模块综合，考查数学知识的综合应用的能力，有一定的计算量与思维量．
命题及其关系
[典题例析]
1．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都是真命题 B.都是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
解析：原命题为真命题，所以其逆否命题也是真命题；因为ax2＋bx＋c<0有解时，可以有a>0，所以其逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”为假命题，因此否命题也是假命题．故选D.
答案：D
2．以下四个命题中，真命题的个数是( )
①存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；③命题“若x>1，则x>0”的否命题；④命题“△ABC中，若AA．0 B.1
C．2 D．3
解析：当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b成立，故①为真命题；②中命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2.取a＝2，b＝－3，但a＋b＝－1<2，故②为假命题；③中命题的逆命题为“若x>0，则x>1”为假命题，所以原命题的否命题为假命题；对于④，△ABC中，若0＜A＜B＜，则sin A答案：C
[类题通法]
判断命题真假的方法
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；
(2)当直接判断一个命题真假比较困难时，可根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，转化为其等价命题真假的判断；
(3)判断一个命题为假命题可举反例．
[即时应用]
1．下列命题是真命题的是( )
①27是3的倍数或27是9的倍数；
②27是3的倍数且27是9的倍数；
③平行四边形的对角线互相垂直且平分；
④平行四边形的对角线互相垂直或平分；
⑤1是方程x－1＝0的根，且是方程x2－5x＋4＝0的根．
A．①③⑤ B.①②③⑤
C．①②④⑤ D．①②③④⑤
解析：选C 平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故③错误．
2．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
3．设p，q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为真
D．p为真，q为假
解析：选C ∵p或q为真?p，q中至少有一个为真；p且q为假?p，q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”?p与q一真一假，即C选项．而由C选项?“命题p或q为真，p且q为假”.
充分必要条件的判定
[典题例析]
1．设x∈R，则“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由|x－2|<1?－1答案：A
2．已知命题A、B，如果綈A是綈B的充分不必要条件，那么B是A的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“若綈A，则綈B”的逆否命题为“若B，则A”，因为原命题与其逆否命题是等价的，所以B是A的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
解析：对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①真；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②假；对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0，因此③假；对于④，由题意得＝＝，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④真．综上所述，真命题的序号是①④.
答案：①④
[类题通法]
充分条件、必要条件的判断方法
(1)从命题角度判断
设原命题为“若p，则q”，那么
①若原命题真而逆命题不真，则p是q的充分不必要条件；
②若原命题不真而逆命题真，则p是q的必要不充分条件；
③若原命题、逆命题都真，则p是q的充要条件；
④若原命题、逆命题都不真，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)从集合角度判断
若p是以集合A的形式出现，q是以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
①若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)转化的角度
根据四种命题之间的两组等价关系，特别是原命题和其逆否命题间的等价关系，可将充分条件，必要条件的判断进行转化．对于条件或结论是否定形式的命题，通常运用等价法．
[提醒] 判断充分条件、必要条件的问题表达形式多样，解题时一定要先分清条件和结论，然后再进行推理与判断．
[即时应用]
1．设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a>1，得a2>1；由a2>1，得a>1或a<－1.所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．
2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A．m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
解析：选A 根据两个线面平行和两个平面平行的判定定理可知，选项A中的条件可以推出α∥β，而当α∥β时，则不一定推出选项A中的结果．
3．对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当m<0，n<0时，mn>0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m>0，n>0，且m≠n，即mn>0.
4．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a＝时，2x＋＝2x＋≥2 ＝1，当且仅当2x＝，即16x2＝1，x＝时“＝”成立．
反之，当2x＋≥1(x>0)时，2x2－x＋a≥0.
∴a≥－2x2＋x＝－2＝－22＋，∴a≥.
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．(2015年7月浙江省学考T19)设a，b∈R，则“a≥b”是“|a|≥b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a≥b，|a|≥a知|a|≥b，充分性成立；反之，取a＝－2，b＝0满足|a|≥b，而a2．命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α≠
解析：选A 因为命题的否命题是将条件和结论都否定，所以原命题的否命题为“若α≠，则tan α≠1”，故选A.
3．“x∈{a,3}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B.∪[3，＋∞)
C.
D.∪(3，＋∞)
解析：选D 解2x2－5x－3≥0得x≤－或x≥3，所以a的取值范围是∪(3，＋∞)．
4．“m>n>0”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由m>n>0得方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，反之也成立．
5．下列命题为真命题的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④ D．①④
解析：选B ①原命题的否命题为：“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，为真命题；②原命题的逆命题为：“相似三角形都是等腰三角形”，为假命题；③原命题的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，由Δ＝1＋4m<0得m<－，故命题为假；④原命题为真，则其逆否命题也为真．
二、填空题
6．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
7．下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，如果AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则 >>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：①原命题的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”．是真命题；②原命题的逆命题为：“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”．是真命题；③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；④原命题的逆命题为：“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”．是假命题．所以真命题的序号为①②③.
答案：①②③
8．函数f(x)＝x(ax＋b)是奇函数的充要条件为________，是偶函数的充要条件为________．
解析：由f(x)＝x(ax＋b)是奇函数得解得又因为当时，f(x)＝x(ax＋b)是奇函数，所以f(x)＝x(ax＋b)是奇函数的充要条件为由f(x)＝x(ax＋b)是偶函数得f(x)＝f(－x)，解得又因为当时，f(x)＝x(ax＋b)是偶函数，所以f(x)＝x(ax＋b)是偶函数的充要条件为
答案：
三、解答题
9．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p和q中有且仅有一个真命题，求实数a的取值范围．
解：p真：Δ＝a2－4×4≥0，
∴a≤－4或a≥4.
q真：－≤3，
∴a≥－12.
∵p，q两命题一真一假，
∴当p真q假时，a<－12；
当p假q真时，－4综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．(2015年1月浙江省学考T15)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)在[－2,2]上单调递增”是“f(－2)A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若f(x)在[－2,2]上单调递增，则f(－2)2．“a<0”是“函数y＝x2－2ax在区间[1，＋∞)上递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 函数y＝x2－2ax在[1，＋∞)上递增?a≤1，而a<0?a≤1，a≤1 ?/ a<0，故“a<0”是“函数y＝x2－2ax”在区间[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．
3．命题“若x2<1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 逆否命题是将原命题的条件和结论都否定并交换，则命题“若x2<1，则－14．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由log2a＞log2b＞0知a＞b＞1，反之也成立，故选A.
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
6.>1的一个充分不必要条件是( )
A．x＞y B.x＞y＞0
C．x＜y D．y＜x＜0
解析：选B >1?x＞y＞0或x＜y＜0，知>1的一个充分不必要条件是x＞y＞0.
7．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x≥2且y≥2可得x2＋y2≥4，但反之不成立．
8．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设数列{an}的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)＜0，即q＜－1，
故q＜0是q＜－1的必要不充分条件．故选C.
9．设a，b为实数，命题甲：ab>b2，命题乙：<<0，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 命题甲等价于：若b>0，则a>b，若b<0，则a10．设角α，β是锐角，则“α＋β＝”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2；反过来，由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝＝1，由α，β∈，知α＋β∈(0，π)可得α＋β＝.
11．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为e，则“e>”是“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由e＝>，得0，反之不成立．故“e>”是“012．若0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当00，所以“xsin x<1”是“xtan x<1”的必要不充分条件．
13．已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A．p真q假 B.p假q真
C．“p∨q”为假 D．“p∧q”为真
解析：选C 在△ABC中，设角C与角B所对应的边分别为c，b，由C >B，知c>b，由正弦定理＝可得sin C >sin B，反之易证当sin C >sin B时，C>B，故“C>B”是“sin C >sin B”的充要条件；当c＝0时，由a>b得ac2＝bc2，由ac2>bc2易证a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．即命题p是假命题，命题q是假命题，所以“p∨q”为假．
14．“a<2”是“对任意实数x，|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 注意到|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，即|x＋1|＋|x－1|的最小值是2.因此由a<2可得|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立，即充分性成立；反过来，由|x＋1|＋|x－1|≥a恒成立不能得a<2，此时a的值可取得2，即必要性不成立，故选C.
15．已知命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析：选B 命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴綈p为真命题时，a>4.又∵綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，∴(3m＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m＋1>4，解得m>1，故选B.
16．已知{an}为等比数列，则“a1>a2>a3”是“{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则由a2－a3＝(a1－a2)q>0，a1－a2>0，可得q>0.又a1－a2＝a1(1－q)>0，则或所以an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1·(q－1)<0恒成立，即an＋1a2>a3成立，所以必要性成立，即等比数列{an}中，“a1>a2>a3”是“{an}单调递减”的充要条件，故选C.
17．设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B.x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
解析：选B 命题“x，y中至少有一个大于1”等价于“x>1或y>1”，若x＋y>2，则必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以由x>1或y>1不能推出x＋y>2，故B正确．当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1，所以A错；对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1，故C错；对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故D错．综上知选B.
18．已知p：x>k，q：≥1，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
解析：选D ∵≥1，∴≥0，∴－1二、填空题
19．已知p：x>1；q：(x－2)(x－a)<0(a≠2)．若a＝3，则p是q的________条件；若p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，则a的取值范围是________．
解析：a＝3时，q：2答案：必要不充分 (－∞，1)
20．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．
解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，则有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，则有＝，化简得a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
21．下列说法中不正确的是________．(填序号)
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件；
③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题；
④“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件．
解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即①不正确．因为x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即②不正确．因为由“x＝y”能推出“sin x＝sin y”，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，即③正确．由“x＝”能推出“tan x＝1”，但由“tan x＝1”推不出“x＝”，所以“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即④不正确．
答案：①②④
22．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B?A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
答案：①②③
三、解答题
23．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，
∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A?B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
24．已知命题p：方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2＋2ax＋2a≤0成立．若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．
解：由x2－(2＋a)x＋2a＝0，得(x－2)(x－a)＝0，
∴x＝2或x＝a.
又方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解，
∴－1≤a≤1.
∵存在实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，
∴Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2.
又∵命题“p∧q”是真命题，∴命题p和命题q都是真命题．
∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
25．已知命题：“对于x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“对于x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，∴m>(x2－x)max，得m>2.
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?.若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
