课件102张PPT。x≤－a或x≥aA1(0，－a)，A2(0，a)2a2bx轴、y轴原点a2＋b2
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专题跟踪检测（十五） 圆锥曲线与方程
一、选择题
1．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则m的取值范围是( )
A．{m|－4≤m≤4}
B．{m|－4C．{m|m>4，或m<－4}
D．{m|0解析：选B 由16>m2>0得－42．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( )
A．－1 B.1
C．－ D．
解析：选A 方程化为标准形式为－＝1，则＋＝4，解得m＝－1.
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D．2
解析：选C 取双曲线的一条渐近线bx＋ay＝0，则焦点(c,0)到该渐近线的距离d＝＝b＝a，则e＝＝＝.
4．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 2x2＋3y2＝m(m>0)?＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.故选B.
5．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D 设所求双曲线方程为－＝k(k≠0)，把(－3,2)代入方程得－＝k，于是k＝，故双曲线方程为－＝，即－＝1，故选D.
6．直线y＝a(a∈R)与抛物线y2＝x交点的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．0或1
答案：B
7．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )
A．k>－ B.k<
C．k>或k<－ D．－解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－8．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
解析：选C 设过点(0,1)斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个根；
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16，
由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1.
所以k＝0或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点，
又直线x＝0和抛物线只有一个公共点．故共有3条直线与y2＝4x仅有一个公共点．
9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 由题意F(－c,0)，＝(c，b)，＝(a，－b)，则·＝0，即ac－b2＝0，则c2＋ac－a2＝0，则e2＋e－1＝0，解得e＝，又010．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为( )
A. B.
C.p D．p
解析：选B 如图，过A作AD⊥x轴于D，令|FD|＝m，则|FA|＝2m，|AD|＝m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，即p＋m＝2m，∴m＝p.
∴||＝ ＝p.
11．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
解析：选D 如图，∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
12．若一条双曲线的离心率为，则这条双曲线的( )
A．实轴长、虚轴长、焦距依次构成等差数列
B．虚轴长、实轴长、焦距依次构成等差数列
C．实轴长、虚轴长、焦距依次构成等比数列
D．虚轴长、实轴长、焦距依次构成等比数列
解析：选A 由于e＝＝，设c＝5k，则a＝3k，b＝4k，易知实轴长、虚轴长、焦距依次构成等差数列，故选A.
13．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B.椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选A 圆C的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，易知圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.因为圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，∴|PO|－|PC|＝2，即P在以O，C为焦点的双曲线的右支上(|PO|>|PC|)．故选A.
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选B 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B.
C. D．
解析：选A 如图，设正三角形与椭圆的交点为M，N，连接F1N，因为N是正三角形边上的中点，所以F1N⊥F2N，又∠F1F2N＝60°，|F1F2|＝2c，则|F1N|＝c，|F2N|＝c，由椭圆的定义，|F1N|＋|F2N|＝2a，即(＋1)c＝2a，则e＝＝＝－1.
16．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
解析：选A 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
17．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B.4
C．6 D．8
解析：选B 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
18．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B.2
C. D．
解析：选D 由题意，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，设M在第一象限，由题意知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，所以在△ABM中，|AM|＝2a，所以M(2a，a)，代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝b2，所以e＝.故选D.
二、填空题
19．过点(3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________；其离心率为________．
解析：由题，设椭圆的标准方程为＋＝1(λ>0)，则有＋＝1，解得λ＝10.故该椭圆的方程为＋＝1.离心率为e＝＝.
答案：＋＝1
20．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝12，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：记A，B在抛物线准线x＝－1上的投影分别为A′，B′，故|AA′|＋|BB′|＝|AF|＋|BF|＝12，由中位线定理可得所求距离d＝－1＝5.
答案：5
21．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4的值是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝×(－m)×4＝2，两边平方即可得m6＋m4＝2.
答案：2
22.如图，点A是椭圆＋＝1的右顶点，∠AOB＝，点C是椭圆上的动点，则·的最小值等于________．
解析：设C(x，y)，将OB所在直线与椭圆方程联立易得B(，1)，故＝(x－，y－1)，又·＝3(x－)(－3≤x≤3)，故其最小值·≥3(－3－)＝－9－3.
答案：－9－3
三、解答题
23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，
整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.
综上，·＋·的取值范围为.
24.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F.圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n交l于点A，交圆M于另一点B，且|AO|＝|OB|＝2.
(1)求圆M和抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求·的最小值；
(3)过l上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．
解：(1)∵＝|OA|·cos ＝2×＝1，得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
设圆M的半径为r，则r＝·＝2，
∴圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P(x，y)(x≥0)，
则·＝(2－x，－y)·(1－x，－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2.
∴当x＝0时，·有最小值为2.
(3)证明：以点Q为圆心，QS为半径作圆Q，则线段ST即为圆Q与圆M的公共弦．
设点Q(－1，t)，则|QS|2＝|QM|2－4＝t2＋5，
∴圆Q的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5.
∴直线ST的方程为3x－ty－2＝0.(*)
∵一定是方程(*)的解，
∴直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为.
25.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)由题意设直线AB的方程为x＝－my＋n，
代入椭圆方程＋y2＝1，可得
(m2＋2)y2－2mny＋n2－2＝0，
则Δ＝4m2n2－4(n2－2)(m2＋2)
＝8(m2－n2＋2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P(x0，y0)．
则y1＋y2＝，y1y2＝，
y0＝＝，x0＝－m·＋n＝，
又点P在直线y＝mx＋上，
∴＝＋，
∴n＝－，代入Δ>0，可得3m4＋4m2－4>0，
解得m2>，即m<－或m>，则m的取值范围是∪.
(2)直线AB与x轴的交点的横坐标为n，
∴S△AOB＝|n|·|y1－y2|＝|n|
＝＝，
又n2(m2＋2－n2)≤2＝，∴S△AOB≤·＝，
当且仅当n2＝m2＋2－n2，
即2n2＝m2＋2时等号成立．
又n＝－，则m＝±，
故当且仅当m＝±时，S△AOB取最大值为.
专题十五圆锥曲线与方程
[备考学什么——以纲忆知]
一、曲线与方程
知识条目
要求
1.曲线与方程
曲线的方程、方程的曲线的概念
a
2.求曲线的方程
求曲线方程的基本方法
b
1.曲线的方程、方程的曲线的概念
曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线的方程
求曲线方程的基本方法：
→→→→
二、椭圆
知识条目
要求
知识条目
要求
1.椭圆及其标准方程
①椭圆的定义
②椭圆的标准方程
③椭圆的焦点、焦距的概念
c
c
b
2.椭圆的简单几何性质
①椭圆的简单几何性质
②有关椭圆的计算、证明
③直线与椭圆的位置关系
c
c
d
1.椭圆及其标准方程
(1)椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．当|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|时，轨迹为线段；当|MF1|＋|MF2|<|F1F2|时，轨迹为空集．F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程：
①焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
②焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴的长2a；短轴的长2b
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点
F1(－c,0)、F2(c,0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
三、双曲线
知识条目
要求
1.双曲线及其标准方程
①双曲线的定义
②双曲线的标准方程
③双曲线的焦点、焦距的概念
a
b
b
2.双曲线的简单几何性质
①双曲线的简单几何性质
②有关双曲线的计算、证明
a
b
1.双曲线及其标准方程
(1)双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：①当ac时，点P不存在．
(2)双曲线的标准方程：
①焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)．
2．双曲线的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
范围
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a，x∈R
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴的长2a；虚轴的长2b
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点
F1(－c,0)、F2(c,0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)
离心率
e＝，且e∈(1，＋∞)
渐近线方程
y＝±x
y＝±x
四、抛物线
知识条目
要求
1.抛物线及其标准方程
①抛物线的定义
②抛物线的标准方程
③抛物线的焦点、准线的概念
c
c
c
2.抛物线的简单几何性质
①抛物线的简单几何性质
②有关抛物线的计算、证明
③直线与抛物线的位置关系
c
c
d
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．F到l的距离记为p.
2．抛物线的标准方程与简单几何性质
标准方程
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
p的几何意义：焦点F到准线l的距离(p>0)
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年4月浙江省学考T14)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点A作倾斜角为45°的直线l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若＝，则该双曲线的离心率为( )
A．5 B.
C. D．
解析：选B 由题设知直线l的方程为y＝x＋a，所以A(－a,0)，B(0，a)．由解得C.因为＝，所以B为AC中点，所以2a＝，解得b＝2a，所以b2＝4a2＝c2－a2，即c2＝5a2，所以e2＝2＝5，即e＝.故选B.
2．(2018年6月浙江省学考T5)双曲线－＝1的焦点坐标是( )
A．(－5,0)，(5,0) B.(0，－5)，(0,5)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
解析：选A 由题设条件可知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5.所以双曲线－＝1的焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．
3.(2018年6月浙江省学考T14)如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，O为坐标原点，E为线段AB的中点，H为O在AB上的射影，若OE平分∠HOA，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选D 因为OB⊥OA，E为线段AB的中点，所以OE＝EA，∠EOA＝∠EAO，又OE平分∠HOA，OH⊥AB，所以∠HOE＝∠EOA＝∠EAO＝，＝＝tan ＝，所以e＝＝＝.
4．(2017年4月浙江省学考T20)椭圆＋y2＝1两焦点之间的距离为________．
解析：由椭圆的方程知a2＝3，b2＝1，所以c2＝3－1＝2，即c＝，则两焦点之间的距离为2c＝2.
答案：2
5．(2017年11月浙江省学考T24)如图，抛物线x2＝y与直线y＝1交于M，N两点．Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴、y轴分别交于点C，D.
(1)求M，N两点的坐标；
(2)证明：B，D两点关于原点O对称；
(3)设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y＝1的下方，求S2－S1的最小值．
解：(1)由解得或
因此M，N的坐标为M(－1,1)，N(1,1)．
(2)证明：设点Q的坐标为Q(x0，x)，
则直线MQ的方程为y＝(x0－1)(x＋1)＋1.
令x＝0，得点B的坐标为B(0，x0)．
直线NQ的方程为y＝(x0＋1)(x－1)＋1.
令x＝0，得点D的坐标为D(0，－x0)．
综上所述，点B，D关于原点O对称．
(3)由(2)得|BD|＝2|x0|，因此S1＝·|BD|·|x0|＝x.
在直线MQ的方程中，令y＝0，得A.
在直线NQ的方程中，令y＝0，得C.
因此|AC|＝＝，
S2＝·|AC|·x＝，
S2－S1＝－x＝，
令t＝1－x，由题意得－1因此S2－S1＝－3≥2－3，
当且仅当t＝，即x0＝± 时取等号．
综上所述，S2－S1的最小值是2－3.
[考情分析]
本专题的考查在选择、填空、解答题中均有分布，是学考的重点考查内容．
(1)选择、填空题中重点考查圆锥曲线的定义、方程、性质等；
(2)解答题则以直线与圆锥曲线的位置关系为主，重点考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，难点在于代数化的运算比较繁琐，需要具备较强的推理论证及运算能力．
求曲线方程
[典题例析]
1．已知椭圆经过A，B两点，求椭圆的标准方程．
解：法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，将A，B代入可得解得舍去；
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，将A，B代入可得
解得
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将A，B代入可得
解得
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
2．求经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程．
解：结合图形可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，或x2＝－2py(p>0)．
将点P(4，－2)代入y2＝2px(p>0)可求得p＝1；
将点P(4，－2)代入x2＝－2py(p>0)可求得p＝2.
所以抛物线的标准方程为y2＝2x，或x2＝－4y.
[类题通法]
求曲线方程问题的解题策略
(1)求动点轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，几何法，消去参数法，相关点法．
(2)对于给定曲线类型求方程的问题，常用定义法和待定系数法．使用待定系数法时先定性，后定位，再定参，即先确定焦点所在位置假设方程，然后再根据条件建立关于a，b或p的方程组．如果焦点位置不确定就要讨论．为解题方便，将方程设为mx2＋ny2＝1的形式，则可避免对曲线类型和焦点位置的讨论．
[即时应用]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．
2．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
解析：选D 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y2＝2p1x或x2＝－2p2y，则(－3)2＝2p1或1＝6p2，得2p1＝9或2p2＝，故抛物线方程为y2＝9x或x2＝－y，即y2＝9x或y＝－3x2.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值．
解：(1)由题意得 解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝.
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值.
圆锥曲线的定义与标准方程
[典题例析]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且＝，其中F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率e＝________.
解析：由＝和|PF1|＋|PF2|＝2a，得|PF2|＝.
设P(x，y)，则有|PF2|＝x＋＝x＋c＝a，
解得x＝a－c.
又|PF2|＝＝ ＝ ＝a－ex，
则a－ex＝a，从而有a－e＝a，
则－e＝0，
解得e＝或e＝.
答案：或
2．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：①线段PQ的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ经过F2.则△PQF1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF1的周长的最小值为________．
解析：由题意得a＝3，b＝2，c＝，|PQ|＝4b＝8.
由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|QF1|－|QF2|＝6，△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2|PQ|＝6＋6＋2×8＝28.
若只满足条件②，△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2(|PF2|＋|QF2|)＝4a＋2|PQ|＝12＋2|PQ|，
当PQ⊥x轴时弦PQ最短，令x＝，
则有y2＝4×＝，解得y＝±，
此时|PQ|＝，
所以△PQF1的周长的最小值为12＋2×＝.
答案：28
3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
解析：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x＝－1于点C，连接PF，根据抛物线的定义得|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PF|.
∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，
∴d1＋d2＝|PB|＋|PA|＝(|PA|＋|PC|)－1＝(|PA|＋|PF|)－1，
根据平面几何的知识，可知当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值．
∵F(1,0)到直线l：x－y＋4＝0的距离为＝，∴|PA|＋|PF|的最小值是，
由此可得d1＋d2的最小值为－1.
答案：－1
[类题通法]
圆锥曲线定义的使用类型
(1)在椭圆和双曲线中，涉及焦点三角形(曲线上一点和两个焦点构成的三角形)的问题，可考虑使用定义．
(2)在抛物线中，使用定义可实现抛物线上点到焦点的距离和到准线距离的相互转化．
[即时应用]
1．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B.16
C．8 D．4
解析：选B 由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a＝16.
2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选A 设M(－c，y0)，则AM所在直线方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得E.BM所在直线方程为y＝(x－a)，令x＝0，得y＝.由题意得＝×，解得a＝3c，故离心率e＝＝.
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案：x2＝12y
4．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．
显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为.
(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
圆锥曲线的性质
[典题例析]
1．(2016年10月浙江省学考T15)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点．若|F1B|＝3|F2A|，则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D．2
解析：由题可得，|F1B|＝|F1F2|＝3|F2A|＝2c，所以|F2A|＝.由双曲线的定义可知|F1A|＝2a＋.又因为|F1A|为半径，所以2a＋＝2c，解得＝e＝.故选C.
答案：C
2．设P，Q分别是圆(x－1)2＋y2＝和椭圆＋y2＝1上的动点，则P，Q两点间的最小距离是________．
解析：圆心为C(1,0)，半径为r＝，设Q(x，y)(－2≤x≤2)，则|CQ|＝＝ ＝ ≥，所以P，Q两点间的最小距离为|CQ|min－r＝－.
答案：－
[类题通法]
求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法
(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k＝±＝±＝± ＝±.
[即时应用]
1.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B.2
C. D．
解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
2.(2018年4月浙江省学考T16)如图，F为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，若△OAB的面积是△OPF面积的倍，则该椭圆的离心率是( )
A.或 B.或
C.或 D．或
解析：选D 令x＝c得P，则S△OPF＝|OF|·|FP|＝.又S△OAB＝ab，S△OAB＝S△OPF，则·＝ab，化简得5bc＝2a2，则25b2c2＝4a4，又c2＝a2－b2，消去b2，得25c4－25a2c2＋4a2＝0，即25e4－25e2＋4＝0，解得e2＝或e2＝，则e＝或e＝.
3．已知F1，F2为椭圆＋＝1(0(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为，求b的值．
解：(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝20，则|PF1|·|PF2|≤2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，故(|PF1|·|PF2|)max＝100.
(2)因为S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
所以|PF1|·|PF2|＝.①
又
所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②
由①②得c＝6，则b＝＝8.
直线与圆锥曲线的位置关系
[典题例析]
1．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B.(1，＋1)
C．(＋1，) D．(，)
解析：由题意可得2<<3，则双曲线的离心率e＝＝＝ ∈(，)，故选D.
答案：D
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝3|BF|，则l的斜率是________．
解析：设l：x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l方程代入y2＝4x得y2－4ty－4＝0，
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
又＝3，∴y1＝－3y2，
∴∴t2＝，
故l的斜率是±.
答案：±
3.(2018年6月浙江省学考T24)如图，直线l不与坐标轴垂直，且与抛物线C：y2＝x有且只有一个公共点P.
(1)当点P的坐标为(1,1)时，求直线l的方程；
(2)设直线l与y轴的交点为R，过点R且与直线l垂直的直线m交抛物线C于A，B两点．当|RA|·|RB|＝|RP|2 时，求点P的坐标．
解：(1)设直线l的斜率为k(k≠0)，则l的方程为y－1＝k(x－1)，
联立方程组消去x，得ky2－y＋1－k＝0，
由已知可得Δ＝1－4k(1－k)＝0，
解得k＝，
故所求直线l的方程为x－2y＋1＝0.
(2)设点P的坐标为(t2，t)，直线l的斜率为k(k≠0)，
则l的方程为y－t＝k(x－t2)，
联立方程组消去x，得
ky2－y＋t－kt2＝0，
由已知可得Δ＝1－4k(t－kt2)＝0，
得k＝(t≠0)，
所以点R的纵坐标t－kt2＝，从而点R的坐标为，
由m⊥l可知，直线m的斜率为－2t，
所以直线m的方程为y＝－2tx＋，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线m的方程代入y2＝x，得4t2x2－(2t2＋1)x＋＝0，
所以Δ＝(2t2＋1)2－4t4＝4t2＋1>0，
x1x2＝，
又|RA|＝|x1|，|RB|＝|x2|，|RP|2＝t4＋t2，
由|RA|·|RB|＝|RP|2，得(1＋4t2)|x1x2|＝t4＋t2，即(1＋4t2)＝t4＋t2，
解得t＝±，
所以点P的坐标为.
[类题通法]
解决直线与圆锥曲线问题的基本思路
(1)一般地，设直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆锥曲线方程为：f(x，y)＝0，由消去y(或x)后得到ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c中含有斜率k等参数)．再将已知条件代数化得到关于x1＋x2，x1x2的等式或不等式，利用根与系数的关系即可得到关于参数的等式或不等式，进而求出参数的值或范围即可解决问题．
(2)在解决问题时应注意：①不能忽视对直线斜率不存在特殊情况的讨论；②对于关于x(或y)的一元二次式，二次项系数是否为0必须讨论；③直线与曲线只有一个交点是直线与曲线相切的必要条件．
[即时应用]
1．设斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1相交于不同的两点A，B，则使|AB|为整数的直线l共有( )
A．4条 B.5条
C．6条 D．7条
解析：选C 设直线AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆C：＋＝1中，得3x2＋4bx＋2b2－4＝0.由Δ＝16b2－12(2b2－4)>0，得b2<6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝×＝×＝ ，分别取b2＝，，时，可分别得|AB|＝2,1,3，此时对应的直线l有6条．
2．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是( )
A. B.(1,1)
C. D．(2,4)
解析：选B 法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得
d＝＝＝＝≥ .
当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．
法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切，
则x2－2x－m＝0.
Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，此时x＝1，
故点的坐标为(1,1)．
3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选D 由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
∵直线与双曲线右支有两个不同交点，
∴
解得－4.(2018年4月浙江省学考T24)如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点．
(1)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证k2－k1为定值；
(2)过点A作AD⊥PB，垂足为D，若D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求△PAD的面积．
解：(1)由题意得点A，B的坐标分别为A(－1,0)，B(1,0)．设点P的坐标为P(t，t2－1)，且t>1，则k1＝＝t－1，k2＝＝t＋1.
所以k2－k1＝2为定值．
(2)由直线PA，AD的位置关系知kAD＝－k1＝1－t.
因为AD⊥PB，所以kAD·k2＝(1－t)(t＋1)＝－1.
解得t＝±.
因为P是第一象限内的点，所以t＝.
得点P的坐标为P(，1)．
联立直线PB与AD的方程
解得点D的坐标为D，
所以△PAD的面积S＝·|AB|·|yP－yD|＝1＋.
圆锥曲线的综合问题
[典题例析]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)法一：由得x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F1F2互相平分且共圆，
易知，AF2⊥BF2，因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝x1x2＋9＝0.
即x1x2＝－8，所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，解得a2＝12(a2＝6舍去)，
所以离心率e＝.
法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，
所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得：
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
k1＝，k2＝，
所以k1k2＝，
又＝＝－，
即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
即直线PB的斜率k2的取值范围是.
[类题通法]
圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
[即时应用]
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率取值范围是( )
A. B.[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，得－1≤k≤1，且k≠0.综上－1≤k≤1.
2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D 由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示，渐近线OB：y＝x.设B，则·x0·x0＝，∴x0＝1，∴B，∴12＋＝22，∴b2＝12，∴双曲线方程为－＝1.
3．P为双曲线y2－＝1下支上一点，M，N分别是圆x2＋(y－4)2＝4和x2＋(y＋4)2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最小值为________．
解析：已知两圆圆心(0,4)(0，－4)(记为F1和F2)
恰为双曲线y2－＝1的两焦点．
当|PM|最小，|PN|最大时，|PM|－|PN|最小．
|PM|的最小值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之差，即|PM|min＝|PF1|－2，同样，|PN|max＝|PF2|＋1，从而(|PM|－|PN|)min＝|PF1|－2－|FP2|－1＝|PF1|－|PF2|－3＝－1.
答案：－1
4．已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点O，F，并且与直线l：x＝－2相切的圆M的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
解：(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，
∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－上．
设M，则圆半径r＝＝，
由|OM|＝r，得 ＝，
解得t＝±，
∴所求圆的方程为2＋(y±)2＝.
(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，
∴方程有两个不等实根．
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
∴AB的垂直平分线NG的方程为
y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋
＝－＝－＋，
∵k≠0，∴－∴点G横坐标的取值范围为.
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．设双曲线C：－＝1(a>0)的一个顶点坐标为(2,0)，则双曲线C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案：D
2．椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D．
答案：C
3．(2016年1月浙江省学考T18)准线方程是x＝－2的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B.y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
答案：A
4．(2018年4月浙江省学考T5)双曲线x2－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B.y＝±x
C．y＝±x D．y＝±3x
解析：选C 令x2－＝0得渐近线方程为y＝±x.
5．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选A 易知离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，A，B为过F1的直线与椭圆的两个交点，则△AF1F2的周长为________；△ABF2的周长为________．
解析：由＋＝1得a＝5，b＝3，则c＝＝4，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝18，△ABF2的周长为4a＝20.
答案：18 20
7．(2016年10月浙江省学考T19)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________．
解析：由题可得，4＝2p，解得p＝2，所以准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
8．设P为椭圆＋＝1上的点，F1，F2为其左、右焦点，且△PF1F2的面积为6，则·＝________.
解析：由椭圆方程知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2，不妨设点P(x，y)在第一象限，则S△PF1F2＝×|F1F2|×y＝y＝6，y＝，代入椭圆的方程，解得x＝，则·＝·＝－7＋＝5.
答案：5
三、解答题
9.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解：(1)由椭圆的定义得，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，
故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2.
即c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)连接F1Q，如图．
由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，
因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，
则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝
＝＝＝－.
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一、选择题
1．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则m的取值范围是( )
A．{m|－4≤m≤4}
B．{m|－4C．{m|m>4，或m<－4}
D．{m|0解析：选B 由16>m2>0得－42．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( )
A．－1 B.1
C．－ D．
解析：选A 方程化为标准形式为－＝1，则＋＝4，解得m＝－1.
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D．2
解析：选C 取双曲线的一条渐近线bx＋ay＝0，则焦点(c,0)到该渐近线的距离d＝＝b＝a，则e＝＝＝.
4．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 2x2＋3y2＝m(m>0)?＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.故选B.
5．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D 设所求双曲线方程为－＝k(k≠0)，把(－3,2)代入方程得－＝k，于是k＝，故双曲线方程为－＝，即－＝1，故选D.
6．直线y＝a(a∈R)与抛物线y2＝x交点的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．0或1
答案：B
7．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )
A．k>－ B.k<
C．k>或k<－ D．－解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－8．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
解析：选C 设过点(0,1)斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个根；
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16，
由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1.
所以k＝0或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点，
又直线x＝0和抛物线只有一个公共点．故共有3条直线与y2＝4x仅有一个公共点．
9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 由题意F(－c,0)，＝(c，b)，＝(a，－b)，则·＝0，即ac－b2＝0，则c2＋ac－a2＝0，则e2＋e－1＝0，解得e＝，又010．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为( )
A. B.
C.p D．p
解析：选B 如图，过A作AD⊥x轴于D，令|FD|＝m，则|FA|＝2m，|AD|＝m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，即p＋m＝2m，∴m＝p.
∴||＝ ＝p.
11．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
解析：选D 如图，∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
12．若一条双曲线的离心率为，则这条双曲线的( )
A．实轴长、虚轴长、焦距依次构成等差数列
B．虚轴长、实轴长、焦距依次构成等差数列
C．实轴长、虚轴长、焦距依次构成等比数列
D．虚轴长、实轴长、焦距依次构成等比数列
解析：选A 由于e＝＝，设c＝5k，则a＝3k，b＝4k，易知实轴长、虚轴长、焦距依次构成等差数列，故选A.
13．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B.椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选A 圆C的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，易知圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.因为圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，∴|PO|－|PC|＝2，即P在以O，C为焦点的双曲线的右支上(|PO|>|PC|)．故选A.
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选B 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B.
C. D．
解析：选A 如图，设正三角形与椭圆的交点为M，N，连接F1N，因为N是正三角形边上的中点，所以F1N⊥F2N，又∠F1F2N＝60°，|F1F2|＝2c，则|F1N|＝c，|F2N|＝c，由椭圆的定义，|F1N|＋|F2N|＝2a，即(＋1)c＝2a，则e＝＝＝－1.
16．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
解析：选A 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
17．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B.4
C．6 D．8
解析：选B 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
18．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B.2
C. D．
解析：选D 由题意，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，设M在第一象限，由题意知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，所以在△ABM中，|AM|＝2a，所以M(2a，a)，代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝b2，所以e＝.故选D.
二、填空题
19．过点(3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________；其离心率为________．
解析：由题，设椭圆的标准方程为＋＝1(λ>0)，则有＋＝1，解得λ＝10.故该椭圆的方程为＋＝1.离心率为e＝＝.
答案：＋＝1
20．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝12，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：记A，B在抛物线准线x＝－1上的投影分别为A′，B′，故|AA′|＋|BB′|＝|AF|＋|BF|＝12，由中位线定理可得所求距离d＝－1＝5.
答案：5
21．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4的值是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝×(－m)×4＝2，两边平方即可得m6＋m4＝2.
答案：2
22.如图，点A是椭圆＋＝1的右顶点，∠AOB＝，点C是椭圆上的动点，则·的最小值等于________．
解析：设C(x，y)，将OB所在直线与椭圆方程联立易得B(，1)，故＝(x－，y－1)，又·＝3(x－)(－3≤x≤3)，故其最小值·≥3(－3－)＝－9－3.
答案：－9－3
三、解答题
23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，
整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.
综上，·＋·的取值范围为.
24.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F.圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n交l于点A，交圆M于另一点B，且|AO|＝|OB|＝2.
(1)求圆M和抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求·的最小值；
(3)过l上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．
解：(1)∵＝|OA|·cos ＝2×＝1，得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
设圆M的半径为r，则r＝·＝2，
∴圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P(x，y)(x≥0)，
则·＝(2－x，－y)·(1－x，－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2.
∴当x＝0时，·有最小值为2.
(3)证明：以点Q为圆心，QS为半径作圆Q，则线段ST即为圆Q与圆M的公共弦．
设点Q(－1，t)，则|QS|2＝|QM|2－4＝t2＋5，
∴圆Q的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5.
∴直线ST的方程为3x－ty－2＝0.(*)
∵一定是方程(*)的解，
∴直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为.
25.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)由题意设直线AB的方程为x＝－my＋n，
代入椭圆方程＋y2＝1，可得
(m2＋2)y2－2mny＋n2－2＝0，
则Δ＝4m2n2－4(n2－2)(m2＋2)
＝8(m2－n2＋2)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P(x0，y0)．
则y1＋y2＝，y1y2＝，
y0＝＝，x0＝－m·＋n＝，
又点P在直线y＝mx＋上，
∴＝＋，
∴n＝－，代入Δ>0，可得3m4＋4m2－4>0，
解得m2>，即m<－或m>，则m的取值范围是∪.
(2)直线AB与x轴的交点的横坐标为n，
∴S△AOB＝|n|·|y1－y2|＝|n|
＝＝，
又n2(m2＋2－n2)≤2＝，∴S△AOB≤·＝，
当且仅当n2＝m2＋2－n2，
即2n2＝m2＋2时等号成立．
又n＝－，则m＝±，
故当且仅当m＝±时，S△AOB取最大值为.
