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专题跟踪检测（十一） 点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m?α，n?β，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，则α∥β B.若m，n异面，则α，β异面
C．若m⊥n，则α⊥β D．若m，n相交，则α，β相交
解析：选D 本题可借助正方体模型解决．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B1∥AB，而平面ABB1A1⊥平面ABCD，A错误；A1B1与BC是异面直线，而平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，B错误；A1B1⊥BC，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，C错误；D显然正确．
2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α
B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α
D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
解析：选D 对于A，记a，b确定的平面为γ，α∩γ＝c，在平面γ内，∵a⊥c，a⊥b，∴b∥c，从而根据线面平行的判定可知A正确；B等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B正确；根据面面垂直的性质可知C正确；对于D，a⊥β或a?β或相交，故D错误，故选D.
3．如果直线a∥平面α，直线b?平面α，则下列说法正确的为( )
A．有且只有一个平面β，使得a⊥β，且b?β
B．有无数个平面β，使得a⊥β，且b?β
C．不存在平面β，使得a⊥β，且b?β
D．至多有一个平面β，使得a⊥β，且b?β
解析：选D 直线a∥平面α，直线b?平面α，则直线a与直线b平行或异面，当a∥b时，无法过b作平面β，使得a⊥β，而a与直线b异面但不垂直时，也无法过b作平面β，使得a⊥β，只有当a与直线b异面且垂直时，才能存在唯一的平面β，使得a⊥β，故选D.
4．在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )
A．30° B.45°
C．60° D．90°
解析：选A 如图所示，AB与二面角的棱成45°，过A作AC⊥l且交l于点C，过A作AD垂直β于点D，连接CD，易证∠ACD＝45°，连接BD，则∠ABD为所求线面角．设BC＝a，则AC＝a，AB＝a，AD＝a，所以sin∠ABD＝，从而∠ABD＝30°.
5．设不在同一条直线上的A，B，C三点到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一条边平行于α
C．△ABC中至多有两条边平行于α
D．△ABC中只可能有一条边平行于α
解析：选B 因为A?α，所以A，B，C均不在平面α内．当A，B，C三点在平面α的同侧时，α∥平面ABC，此时△ABC的三条边都平行于α，排除C，D；当A，B，C三点不在平面α的同侧时，易知△ABC中只有一条边平行于α，此时平面α和平面ABC相交，故选B.
6．已知a，b是空间中两条不同直线，α，β是空间中两个不同平面，下列命题中正确的是( )
A．若直线a∥b，b?α，则a∥α
B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
解析：选D A中a可以在α内．B中a可以在β内．C中a，b也可以异面．
7．(2016年10月浙江省学考T13)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上．若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P-AC-B大小的正切值是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 如图，过点O作直线OD⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDO为二面角P-AC-B的平面角．因为PA＝AB＝2，AC＝BC，所以OD＝BC＝.△PAB是等边三角形，所以PO＝.所以tan∠PDO＝＝＝.故选B.
8．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为不能得到l∥α，还可能l?α，即充分性不成立，但是?l⊥m，所以必要性成立．
9．M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是( )
A．②③④ B.①③④
C．①②④ D．①②③
解析：选C 如图，连接C1M并延长，交CO延长线于F，过B1作B1E∥C1F，交BA延长线于E，连接ME，则过M点有且只有一条直线ME与直线AB，B1C1都相交，故①正确；过M点有且仅有一条直线DD1与直线AB，B1C1都垂直，故②正确；当平面FEB1C1绕FC1旋转时，有无数个平面与直线AB，B1C1都相交，故③错；④显然正确，所以真命题的序号是①②④，故选C.
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：选B 若AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝，CD＝1，所以AC＝1，上述推导均是可逆的，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sin α的取值范围是.
12．对于直线m，n和平面α，下列命题中为真命题的是( )
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
解析：选C 在下图(1)中满足选项A的条件，但n∩α＝A，A错；在图(2)中满足选项B的条件，但m∩n＝A，B错；在图(3)中，∵n∥α，∴n与α无公共点，又m?α，∴n与m无公共点，又n，m共面，∴m∥n，C对；在图(4)中，满足选项D的条件，但m∩n＝A，D错．
13．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点. 则下列说法错误的是 ( )
A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形
B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形
D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形
解析：选B PA⊥底面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，则BC⊥平面PAB.
(1)当AE⊥PB时，BC⊥AE，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，A正确．
(2)当EF∥平面ABC时，又EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，则EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确．
(3)当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE,又BC⊥AE，则AE⊥平面PBC,AE⊥EF，故D正确．
用排除法可知，选B.
14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B.①④
C．②③ D．②④
解析：选B 如图，①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.
15.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.
其中恒成立的是( )
A．①③ B.③④
C．①② D．②③④
解析：选A 如图，连接EM，EN，BD，AC，由中位线性质可知MN∥SD，因为MN?平面SBD，SD?平面SBD，故MN∥平面SBD，同理，EN∥平面SBD，因为MN∩EN＝N，故平面MEN∥平面SBD.因为EP?平面EMN，故EP∥平面SBD，故③正确，排除C；由正四棱锥性质可知，AC⊥平面SBD，因为平面MEN∥平面SBD，故AC⊥平面MEN，因为EP?平面EMN，故AC⊥EP，故①正确，排除B，D.故选A.
16.如图，已知在△ABC中，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′?CD?B的平面角为α，则( )
A．∠A′DB≤α
B．∠A′DB≥α
C．∠A′CB≤α
D．∠A′CB≥α
解析：选B 根据折叠过程可知∠A′CB与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得∠A′DB≥α，当且仅当AC＝BC时，等号成立．
17.在三棱锥D-ABC中，P为棱AD上一动点，Q为底面ABC上一动点，M是PQ的中点．若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是( )
A．棱柱 B.棱台
C．棱锥 D．球
解析：选A 考虑极限位置．
①当P在点D处时，点Q在底面ABC上，此时，点M在△DAB，△DBC，△DAC的三个中位线A1B1，B1C1，C1A1组成的三角形上，如图①.
②当P在点A处时，点Q在底面ABC上，此时，点M在如图②所示的△AB2C2上，其中，B2，C2分别是AB，AC的中点．
如图③，连接B1B2，C1C2，易证△A1B1C1≌△AB2C2，且平面A1B1C1∥平面AB2C2，则M构成的点集是三棱柱AB2C2?A1B1C1.
18.如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，＝＝2.分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α，β，γ，则( )
A．γ<α<β B.α<γ<β
C．α<β<γ D．β<γ<α
解析：选B 如图①，设O是点D在底面ABC内的射影，过O作OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥RQ，垂足分别为E，F，G，连接ED，FD，GD，易得ED⊥PR，∴∠OED就是二面角D-PR-Q的平面角，∴α＝∠OED，tan α＝，
同理tan β＝，tan γ＝.
底面的平面图如图②所示，以P为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB＝2，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，O，
∵AP＝PB，＝＝2，
∴Q，R，
则直线PR的方程为y＝－x，直线PQ的方程为y＝2x，直线QR的方程为y＝x＋，根据点到直线的距离公式，知OE＝，OF＝，OG＝，
∴OE>OG>OF，∴tan α
又α，β，γ为锐角，∴α<γ<β.
二、填空题
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD＝AD＝DC＝2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为________；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为________．
解析：因为PD⊥平面ABCD，所以∠PDC＝90°，由于AB∥CD，所以∠PCD为异面直线PC与AB所成的角．又因为PD＝DC，所以∠PCD＝.过点B作BE垂直CD于点E，连接PE(图略)，易证BE⊥平面PCD，所以∠BPE为直线PB与平面PDC所成的角，因为PD＝AD＝DC＝2AB，设AD＝1，则PB＝＝ ＝，BE＝AD＝1，所以sin∠BPE＝＝.
答案：
20.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：连接AC(图略)，则BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD，故BD⊥平面PAC，从而BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
21．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝2，将△ABC绕BC旋转得△PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P，A两点间的距离是________．
解析：如图，连接PA，取PA的中点D，连接BD，CD.过点C作CE⊥BD于点E，连接PE，则PA⊥CD.又PA⊥BC，所以PA⊥平面BCD，所以平面BCD⊥平面PBA，所以CE⊥平面PBA，所以∠CPE就是直线PC与平面PAB所成的角．因为直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC＝，所以CE＝.设CD＝x，则BD＝，所以×1×x＝××，解得x＝1.因为PC＝，所以PD＝，所以PA＝2PD＝2.
答案：2
22.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
解析：逐一判断，如图，取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，且MN，NB和A1D，DE都是相交直线，所以平面MNB∥平面A1DE，所以MB∥平面A1DE，④正确；又△MNB中，MN＝A1D＝AD，NB＝DE，∠MNB＝∠A1DE＝∠ADE，都是定值，所以|BM|是定值，①正确；过点M作MH⊥BN于点H，则在△MNB中，MH的长为定值，点H为定点，因此，M在平面A1CH内以H为圆心，HM的长为半径的圆上，②正确；若DE⊥A1C，则AB＝BC，而这一条件不一定成立，所以③错误，故正确命题是①②④.
答案：①②④
三、解答题
23.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
(1)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
(2)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°？若存在，试确定E的位置，并求此时二面角A1-BD-E的大小；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，连接AB1，
∵AB＝BB1，
∴四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1，
又∵AC1⊥平面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
又∵AB1∩AC1＝A，
∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，A1B∩BB1＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(2)设AB＝BB1＝a，CE＝x，
∵AC1⊥平面A1BD，∴BD⊥AC1，
又BD⊥CC1，AC1∩CC1＝C1，
∴BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC，
又∵D为AC的中点，∴AB＝BC＝B1C1＝a，
∴A1B＝A1C1＝a，BE＝，
A1E＝＝，
在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1Ecos 45°，
即a2＋x2＝2a2＋3a2＋x2－2ax－2·a·，
∴＝2a－x?x＝a，
即E是CC1的中点．
连接DE，∵D，E分别为AC，CC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE，
故二面角A1-BD-E的大小为90°.
24.如图，在三棱台ABC?DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求二面角B?AD?F的平面角的余弦值．
解：(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，
则BF⊥CK.又CK∩BC＝C，
所以BF⊥平面ACFD.
(2)过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.
因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角B?AD? F的平面角．
在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，易得FQ＝.
在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，
得cos∠BQF＝.
所以二面角B?AD?F的平面角的余弦值为.
25.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．
(1)求证：FG∥平面BED；
(2)求证：平面BED⊥平面AED；
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OE，OG.
在△BCD中，因为G是BC的中点，
所以OG∥DC且OG＝DC＝1.
又因为EF∥AB，AB∥DC，
所以EF∥OG且EF＝OG，
即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.
又FG?平面BED，OE?平面BED，
所以FG∥平面BED.
(2)证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，
由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，
即BD⊥AD.
又因为平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.
又因为BD?平面BED，所以平面BED⊥平面AED.
(3)因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．
过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.
又平面BED∩平面AED＝ED，
由(2)知AH⊥平面BED，
所以直线AB与平面BED 所成的角即为∠ABH.
在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝，
由余弦定理得cos∠ADE＝，
所以sin∠ADE＝，
因此AH＝AD·sin∠ADE＝.
在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝.
所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.
专题十一点、直线、平面之间的位置关系
[备考学什么——以纲忆知]
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
知识条目
要求
1.平面
①平面的概念
②平面的画法及表示方法
③平面的基本性质，即公理1、2、3
④“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转化
a
a
a
b
2.空间中直线与直线之间的位置关系
①异面直线的概念与图形表示
②公理4
③等角定理
④异面直线所成的角
⑤两条直线垂直的概念
b
b
b
b
a
3.空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的三种位置关系
b
4.平面与平面之间的位置关系
平面与平面的位置关系
b
1.平面
(1)平面的概念：①平面是没有厚度的；②平面是无限延展的．
(2)平面的表示：通常用希腊字母α，β，γ表示，如平面α；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.
(3)点与平面的关系：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作A?α.
点与直线的关系：点A在直线l上，记作A∈l；点A在直线l外，记作A?l.
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l不在平面α内，记作l?α.
2．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．空间直线与直线之间的位置关系
(1)按公共点个数分
(2)按是否共面分
4．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
5．异面直线所成的角
设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)，其范围为.
6．空间直线与平面之间的位置关系
(1)直线在平面(无数个公共点)．
(2)直线在平面外：①直线和平面相交(有且只有一个公共点)；②直线和平面平行(没有公共点)．
7．平面与平面之间的位置关系
(1)平行(没有公共点)：α∥β.
(2)相交(有一条公共直线)：α∩β＝l.
二、直线、平面平行的判定及其性质
知识条目
要求
1.直线与平面平行的判定定理
b
2.平面与平面平行的判定定理
b
3.直线与平面平行的性质定理
c
4.平面与平面平行的性质定理
c
1.直线与平面平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
(2)直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
2．平面与平面平行的判定与性质
(1)两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
推论：如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行．
(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
三、直线、平面垂直的判定及其性质
知识条目
要求
1.直线与平面垂直的判定
①直线和平面垂直的定义
②直线与平面垂直的判定定理
③直线与平面所成的角
b
b
b
2.平面与平面垂直的判定
①二面角及其平面角的概念
②二面角的平面角的计算
③两个平面垂直的定义
④两个平面垂直的判定定理
a
b
a
b
3.直线与平面垂直的性质
直线和平面垂直的性质定理
c
4.平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
c
1.线面、面面垂直的定义
直线和平面垂直
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直
平面和平面垂直
如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
2.线面垂直的判定定理和性质定理
(1)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
3．面面垂直的判定定理和性质定理
(1)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
4．直线和平面所成的角
(1)平面的平行线与平面所成的角：规定为.
(2)平面的垂线与平面所成的角：规定为.
(3)平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
5．二面角和二面角的平面角
(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．两个相交平面，如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反之，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角．
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年11月浙江省学考T10)若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内只存在有限条直线与l共面
C．α内存在唯一直线与l平行
D．α内存在无数条直线与l相交
解析：选D 由题意可知直线l与平面α相交，而平面内过直线l与平面交点的直线有无数条，则α内存在无数条直线与l相交．故选D.
2.(2018年4月浙江省学考T6)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D．
解析：选D 连接AC(图略)，显然AC是A1C在平面ABCD内的投影，∠A1CA即为A1C与平面ABCD所成的角，设AB＝1，则AC＝，A1C＝，cos ∠A1CA＝＝.
3．(2015年10月浙江省学考T18)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，线段AD，BD的中点分别为E，F.现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选C 由题可知，当平面ABD⊥平面BDC时，CF⊥BE，此时所成的角最大，为，故可排除A，D；当这两个平面重合时，这两条直线所成的角为，根据条件是异面直线，所以取不到，故可排除B.故选C.
4．(2017年11月浙江省学考T18)等腰直角△ABC斜边CB上的一点P满足CP≤CB.将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′-AP-B为60°.记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则( )
A．α<β<γ B.α<γ<β
C．β<α<γ D．γ<α<β
解析：选C 过点C′作平面ABP的垂线，交平面ABP于点N，连接AN，BN，PN，如图所示．由线面角的定义知∠C′AN＝α，∠C′BN＝β，∠C′PN＝γ，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，由图易知PNtan α>tan β，即γ>α>β.故选C.
[考情分析]
本专题主要在选择、填空题中进行考查，是学考的重点考查内容．重点考查空间直线、平面位置关系的判断，空间直线、平面平行、垂直的证明，空间角的计算等；难点在于平面图形在折叠过程中所产生的问题的解决，平行、垂直关系的证明以及空间角的计算等，需要具备较强的空间想象能力及逻辑推理能力．
平面基本性质
[典题例析]
1．下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，若三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．
答案：C
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，则正方体的过P，Q，R的截面图形是( )
A．三角形 B.四边形
C．五边形 D．六边形
解析：如图，作RG∥PQ交C1D1于G，延长QP与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE.同理延长PQ交CD的延长线于N.连接NG交DD1于F，连接QF.显然P，Q，F，G，R，E共面．
∴截面为PQFGRE为六边形．
答案：D
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：(1)连接B1D1，如图所示．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
又在正方体AC1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α，
又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点，
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，R∈α且R∈β，
则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．
[类题通法]
1．点共线问题的证明方法
证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．
2．线共点问题的证明方法
证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上．
3．点线共面问题的证明方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[即时应用]
1．以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：选B ①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．
2．在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：选A 选项B，C，D中的都是公理，都是平面的三个基本性质．
3．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．(填序号)
解析：①中可证四边形PQRS为梯形；②中，如图所示取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．③中可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．
答案：①②③
4.如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，
∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.
空间点、线、面的位置关系
[典题例析]
1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A．平行 B.相交
C．垂直 D．互为异面直线
解析：当直线l与平面α相交时A不成立；当直线l与平面α平行时B不成立；当直线l在平面α内时D不成立．故选C.
答案：C
2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
答案：B
[类题通法]
判断与空间位置关系有关命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
[即时应用]
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β( )
A．若l⊥β，则α⊥β B.若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：选A 选项A中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l∥β时，α，β可以相交；选项D中，α∥β 时，l，m也可以异面．
2．给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A，B，C∈平面α，且点A，B，C∈平面β，则平面α与平面β重合．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)
解析：如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P?α，过P作PD⊥AB，垂足为D，PE⊥BC，垂足为E，则四边形PDBE有三个直角，故①假；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，则③假；图(3)中，平面α∩平面β＝l，A，B，C都在l上，则④假，只有②真．
答案：②
3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．
①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．
解析：①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l，m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l，m都异面．
答案：①③④
直线、平面平行的判定与性质
[典题例析]
1．已知平面α∥β，直线a?α，有下列说法：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中正确的序号是________．
解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．
答案：②
2．已知三棱柱ABC-A1B1C1，O为BC的中点．求证：A1B∥平面AOC1.
证明：法一：连接A1C，交AC1于D，连接OD，则D为A1C的中点，
又O为BC的中点，
∴A1B∥OD，
又A1B?平面AOC1，OD?平面AOC1，
∴A1B∥平面AOC1.
法二：如图所示，取B1C1的中点E，连接BE，A1E，OE，
∵O为BC的中点，且四边形BCC1B1为平行四边形，
∴BE∥OC1，又OC1?平面AOC1，BE?平面AOC1，
∴BE∥平面AOC1.
∵O为BC的中点，E是B1C1的中点，
∴OE∥BB1，且OE＝BB1，
又AA1綊BB1，
∴OE∥AA1，且OE＝AA1，
则四边形AA1EO为平行四边形，
∴A1E∥AO，
又AO?平面AOC1，A1E?平面AOC1，
∴A1E∥平面AOC1.
∵A1E∩BE＝E，
∴平面A1BE∥平面AOC1，
又A1B?平面A1BE，
∴A1B∥平面AOC1.
法三：∵＝＋，＝－＝－，＝＋＝＋，
∴＝＋，
又A1B?平面AOC，
∴A1B∥平面AOC1.
3.如图所示，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：平面AB1C∥平面DA1C1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B1C，
又AB1∩B1C＝B1，A1D∩DC1＝D，
所以平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在这样的点P满足题意．
∵A1B1綊AB綊DC，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，如图所示．
∵B1B綊CC1，∴BB1綊CP，
∴四边形BB1CP为平行四边形，
∴BP∥B1C，
∴BP∥A1D，又BP?平面DA1C1，A1D?平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1.
[类题通法]
1．线面平行的判定方法
定义法
证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明
判定定理法
在平面内找到一条直线与已知直线平行
性质定理法
利用面面平行的性质定理证明直线为一平面与两平行平面的交线
向量法
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；或证明直线的方向向量能被平面上的两个不共线向量线性表示
2.面面平行的判定方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．
(2)判定定理法：证明一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面．
(3)转化为证明线线平行：证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行．
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(5)向量法：证明两平面的法向量共线．
[即时应用]
1．平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D．
解析：选A 因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为.
2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
解析：选D 根据两平面平行的条件，可得选项D符合．
3.如图，P为?ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)结论：BC∥l，
因为AD∥BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以BC∥l.
(2)结论：MN∥平面PAD.
设Q为CD的中点，如图所示，连接NQ，MQ，
则NQ∥PD，MQ∥AD.
又因为NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，
所以平面MNQ∥平面PAD.
又因为MN?平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.
直线、平面垂直的判定与性质
[典题例析]
1．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①任意给定一条直线a和一个平面α，则平面内必存在与直线a垂直的直线；
②任意给定三条不同的直线a，b，c，必存在与a，b，c都相交的直线；
③若α∥β，a?α，b?β，则必存在与a，b都垂直的直线；
④已知α⊥β，α∩β＝c，a?α，b?β，若a不垂直于c，则a不垂直于b.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：显然①正确；当a∥b，a，b?α，c∥α时，不存在与a，b，c都相交的直线，故②错误；显然③正确；当b⊥c时，b⊥α，显然此时无论a是不是垂直于c，a都垂直于b，故④错误．所以正确命题的个数是2，选B.
答案：B
2.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)由四棱锥P?ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
[类题通法]
1．证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理．
(2)利用垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．
(3)利用面面垂直的性质．
(4)利用空间向量解决．
2．证明面面垂直的常用方法
(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
[即时应用]
1．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：选D 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面ADD1A1，平面ABB1A1都垂直于平面ABCD，但这两个平面不平行，A错；直线A1D1和A1B1都平行于平面ABCD，但这两条直线不平行，B错；平面ADD1A1与平面ABCD不平行，但平面ADD1A1内的直线A1D1与平面ABCD平行，C错；D的逆否命题是“若m，n都垂直于同一平面，则m，n必平行”，此逆否命题为真，故D正确．
2．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
解析： 对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确．故正确的有②③④.
答案：②③④
3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC.
在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝PC，∴AN＝BN.
∴△ABN为等腰三角形．
又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB.
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
(2)连接PM，CM，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴△PAM≌△CBM，PM＝CM.又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.
4.如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD.
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
空间动点的轨迹问题
[典题例析]
如图，在长方形ABCD中，AB＝，BC＝1，E为线段DC上一动点．现将△AED沿AE折起得到△D′AE，且点D′在平面ABCE上的射影K在直线AE上，当点E从点D运动到点C时，点K所形成的轨迹的长度为( )
A. B.
C. D．
解析：由于D′K⊥平面ABCE，所以D′K⊥AE.连接DK，则在折叠前，有DK⊥AE.因此，点K的轨迹是以AD为直径的圆上被∠DAC所截的那部分圆弧，如图所示，易得圆弧所对圆心角为，即圆周角的，所以点K所形成的轨迹的长度为2π××＝，故选C.
答案：C
[类题通法]
解决空间动点轨迹问题的方法
空间动点的轨迹是平面内动点轨迹问题在空间的拓展，其处理方法有：
(1)借助平面常见曲线的定义得到其曲线的形状，然后将其放置到某个平面或用平面去截取，就得到了平面曲线．这要求对平面曲线类型非常熟悉，并具备一定的空间想象能力．
(2)借助空间坐标系，用坐标表示动点，得到动点坐标满足的曲线方程，从代数角度进行分析．
[即时应用]
1.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
A．直线 B.抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
解析：选C 由题可知，当P点运动时，在空间中满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．
2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE＝2BF，则线段EF中点的轨迹是( )
A．一条线段
B．一段圆弧
C．抛物线的一部分
D．一个平行四边形
解析：选A 设EF的中点是O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连接FG，取GF中点N，则OMBN为平行四边形，从而MO∥BN.作CH∥GF于H，取CH中点K.因为AE＝2BF，所以BG＝2BF，而∠CBP是确定的角，故△BGF与△BCH相似，从而N在BK上．所以O在平行于直线BK的一条直线上．
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．(2016年1月浙江省学考T20)如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，则直线SA与直线BC的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
解析：选C 显然SA与BC异面．由SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A知SA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，故SA⊥BC.
2．(2018年6月浙江省学考T15)三棱柱各面所在平面将空间分成( )
A．14部分 B.18部分
C．21部分 D．24部分
解析：选C 由三条不相交于一点且两两不平行的直线可将平面分成7部分，所以三棱柱各面所在平面将空间分成21部分．
3．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
4.如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，则异面直线AC与BE所成的角为( )
A．30° B.45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，取SA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AC，EF＝AC＝，∠BEF即为异面直线AC与BE所成的角．由SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，得BF＝BE＝，则△BEF是正三角形，∠BEF＝60°.
5．(2016年10月浙江省学考T18)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C 因为AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，所以可得AB⊥CD.所以EFGH是矩形．因为直线AB，CD都平行于平面EFGH，所以EF∥AB，GF∥CD.所以有＝，＝.设DF＝λ，则BF＝3－λ.所以EF＝λ，GF＝(3－λ)．所以四边形EFGH面积为S＝EF·GF＝λ·(3－λ)≤×2＝1.当且仅当λ＝时，有Smax＝1.故选C.
二、填空题
6.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为________．
解析：设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x，x∈[0，h]，则BE2＝a2＋x2，C1E2＝(a)2＋(h－x)2，BC＝a2＋h2.又∠C1EB＝90°，所以BE2＋C1E2＝BC，a2＋x2＋(a)2＋(h－x)2＝a2＋h2，即关于x的方程x2－hx＋a2＝0，x∈[0，h]有解，所以h＝＋x≥2a,0答案：2a
7.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E，F分别是点A在PC，PB上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中真命题的序号是________．
解析：①易知正确；由BC⊥平面PAC?BC⊥AE，所以AE⊥平面PBC，∴④正确；由AE⊥PB，AF⊥PB?PB⊥平面AEF?PB⊥EF，∴②正确；∵BC⊥AE，所以BC不垂直于AF，∴③错误．
答案：①②④
8．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________.
解析：PQ⊥DQ，即AQ⊥DQ，由题意知以AD为直径的圆与BC有且只有一个交点，则＝1，a＝2.
答案：2
三、解答题
9．(2015年7月浙江省学考T32)如图，在三棱锥D-ABC中，△ABC，△BCD均是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，∠ACD＝60°.
(1)求证：BC⊥AD；
(2)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值．
解：(1)证明：由已知△ABC，△BCD均是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以BC⊥AC，BC⊥CD，
又AC∩CD＝C，
所以BC⊥平面ACD.
又AD?平面ACD，
所以BC⊥AD.
(2)如图，在△ACD中，作DE⊥AC，垂足为E，连接BE.
又因为BC⊥平面ACD，
所以DE⊥BC.
而AC∩BC＝C，故DE⊥平面ABC.
所以∠DBE为直线DB与平面ABC所成的角．
设CD＝2a，则DE＝CDsin 60°＝a，DB＝2a.
在直角三角形DEB中，可得sin∠DBE＝.
故直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.
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一、选择题
1．在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m?α，n?β，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，则α∥β B.若m，n异面，则α，β异面
C．若m⊥n，则α⊥β D．若m，n相交，则α，β相交
解析：选D 本题可借助正方体模型解决．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B1∥AB，而平面ABB1A1⊥平面ABCD，A错误；A1B1与BC是异面直线，而平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，B错误；A1B1⊥BC，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，C错误；D显然正确．
2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α
B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α
D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
解析：选D 对于A，记a，b确定的平面为γ，α∩γ＝c，在平面γ内，∵a⊥c，a⊥b，∴b∥c，从而根据线面平行的判定可知A正确；B等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B正确；根据面面垂直的性质可知C正确；对于D，a⊥β或a?β或相交，故D错误，故选D.
3．如果直线a∥平面α，直线b?平面α，则下列说法正确的为( )
A．有且只有一个平面β，使得a⊥β，且b?β
B．有无数个平面β，使得a⊥β，且b?β
C．不存在平面β，使得a⊥β，且b?β
D．至多有一个平面β，使得a⊥β，且b?β
解析：选D 直线a∥平面α，直线b?平面α，则直线a与直线b平行或异面，当a∥b时，无法过b作平面β，使得a⊥β，而a与直线b异面但不垂直时，也无法过b作平面β，使得a⊥β，只有当a与直线b异面且垂直时，才能存在唯一的平面β，使得a⊥β，故选D.
4．在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )
A．30° B.45°
C．60° D．90°
解析：选A 如图所示，AB与二面角的棱成45°，过A作AC⊥l且交l于点C，过A作AD垂直β于点D，连接CD，易证∠ACD＝45°，连接BD，则∠ABD为所求线面角．设BC＝a，则AC＝a，AB＝a，AD＝a，所以sin∠ABD＝，从而∠ABD＝30°.
5．设不在同一条直线上的A，B，C三点到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一条边平行于α
C．△ABC中至多有两条边平行于α
D．△ABC中只可能有一条边平行于α
解析：选B 因为A?α，所以A，B，C均不在平面α内．当A，B，C三点在平面α的同侧时，α∥平面ABC，此时△ABC的三条边都平行于α，排除C，D；当A，B，C三点不在平面α的同侧时，易知△ABC中只有一条边平行于α，此时平面α和平面ABC相交，故选B.
6．已知a，b是空间中两条不同直线，α，β是空间中两个不同平面，下列命题中正确的是( )
A．若直线a∥b，b?α，则a∥α
B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
解析：选D A中a可以在α内．B中a可以在β内．C中a，b也可以异面．
7．(2016年10月浙江省学考T13)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上．若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P-AC-B大小的正切值是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 如图，过点O作直线OD⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDO为二面角P-AC-B的平面角．因为PA＝AB＝2，AC＝BC，所以OD＝BC＝.△PAB是等边三角形，所以PO＝.所以tan∠PDO＝＝＝.故选B.
8．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为不能得到l∥α，还可能l?α，即充分性不成立，但是?l⊥m，所以必要性成立．
9．M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是( )
A．②③④ B.①③④
C．①②④ D．①②③
解析：选C 如图，连接C1M并延长，交CO延长线于F，过B1作B1E∥C1F，交BA延长线于E，连接ME，则过M点有且只有一条直线ME与直线AB，B1C1都相交，故①正确；过M点有且仅有一条直线DD1与直线AB，B1C1都垂直，故②正确；当平面FEB1C1绕FC1旋转时，有无数个平面与直线AB，B1C1都相交，故③错；④显然正确，所以真命题的序号是①②④，故选C.
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：选B 若AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝，CD＝1，所以AC＝1，上述推导均是可逆的，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sin α的取值范围是.
12．对于直线m，n和平面α，下列命题中为真命题的是( )
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
解析：选C 在下图(1)中满足选项A的条件，但n∩α＝A，A错；在图(2)中满足选项B的条件，但m∩n＝A，B错；在图(3)中，∵n∥α，∴n与α无公共点，又m?α，∴n与m无公共点，又n，m共面，∴m∥n，C对；在图(4)中，满足选项D的条件，但m∩n＝A，D错．
13．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点. 则下列说法错误的是 ( )
A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形
B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形
D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形
解析：选B PA⊥底面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，则BC⊥平面PAB.
(1)当AE⊥PB时，BC⊥AE，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，A正确．
(2)当EF∥平面ABC时，又EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，则EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确．
(3)当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，故D正确．
用排除法可知，选B.
14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B.①④
C．②③ D．②④
解析：选B 如图，①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.
15.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.
其中恒成立的是( )
A．①③ B.③④
C．①② D．②③④
解析：选A 如图，连接EM，EN，BD，AC，由中位线性质可知MN∥SD，因为MN?平面SBD，SD?平面SBD，故MN∥平面SBD，同理，EN∥平面SBD，因为MN∩EN＝N，故平面MEN∥平面SBD.因为EP?平面EMN，故EP∥平面SBD，故③正确，排除C；由正四棱锥性质可知，AC⊥平面SBD，因为平面MEN∥平面SBD，故AC⊥平面MEN，因为EP?平面EMN，故AC⊥EP，故①正确，排除B，D.故选A.
16.如图，已知在△ABC中，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′?CD?B的平面角为α，则( )
A．∠A′DB≤α
B．∠A′DB≥α
C．∠A′CB≤α
D．∠A′CB≥α
解析：选B 根据折叠过程可知∠A′CB与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得∠A′DB≥α，当且仅当AC＝BC时，等号成立．
17.在三棱锥D-ABC中，P为棱AD上一动点，Q为底面ABC上一动点，M是PQ的中点．若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是( )
A．棱柱 B.棱台
C．棱锥 D．球
解析：选A 考虑极限位置．
①当P在点D处时，点Q在底面ABC上，此时，点M在△DAB，△DBC，△DAC的三个中位线A1B1，B1C1，C1A1组成的三角形上，如图①.
②当P在点A处时，点Q在底面ABC上，此时，点M在如图②所示的△AB2C2上，其中，B2，C2分别是AB，AC的中点．
如图③，连接B1B2，C1C2，易证△A1B1C1≌△AB2C2，且平面A1B1C1∥平面AB2C2，则M构成的点集是三棱柱AB2C2?A1B1C1.
18.如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，＝＝2.分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α，β，γ，则( )
A．γ<α<β B.α<γ<β
C．α<β<γ D．β<γ<α
解析：选B 如图①，设O是点D在底面ABC内的射影，过O作OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥RQ，垂足分别为E，F，G，连接ED，FD，GD，易得ED⊥PR，∴∠OED就是二面角D-PR-Q的平面角，∴α＝∠OED，tan α＝，
同理tan β＝，tan γ＝.
底面的平面图如图②所示，以P为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB＝2，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，O，
∵AP＝PB，＝＝2，
∴Q，R，
则直线PR的方程为y＝－x，直线PQ的方程为y＝2x，直线QR的方程为y＝x＋，根据点到直线的距离公式，知OE＝，OF＝，OG＝，
∴OE>OG>OF，∴tan α又α，β，γ为锐角，∴α<γ<β.
二、填空题
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD＝AD＝DC＝2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为________；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为________．
解析：因为PD⊥平面ABCD，所以∠PDC＝90°，由于AB∥CD，所以∠PCD为异面直线PC与AB所成的角．又因为PD＝DC，所以∠PCD＝.过点B作BE垂直CD于点E，连接PE(图略)，易证BE⊥平面PCD，所以∠BPE为直线PB与平面PDC所成的角，因为PD＝AD＝DC＝2AB，设AD＝1，则PB＝＝ ＝，BE＝AD＝1，所以sin∠BPE＝＝.
答案：
20.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：连接AC(图略)，则BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD，故BD⊥平面PAC，从而BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
21．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝2，将△ABC绕BC旋转得△PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P，A两点间的距离是________．
解析：如图，连接PA，取PA的中点D，连接BD，CD.过点C作CE⊥BD于点E，连接PE，则PA⊥CD.又PA⊥BC，所以PA⊥平面BCD，所以平面BCD⊥平面PBA，所以CE⊥平面PBA，所以∠CPE就是直线PC与平面PAB所成的角．因为直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC＝，所以CE＝.设CD＝x，则BD＝，所以×1×x＝××，解得x＝1.因为PC＝，所以PD＝，所以PA＝2PD＝2.
答案：2
22.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
解析：逐一判断，如图，取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，且MN，NB和A1D，DE都是相交直线，所以平面MNB∥平面A1DE，所以MB∥平面A1DE，④正确；又△MNB中，MN＝A1D＝AD，NB＝DE，∠MNB＝∠A1DE＝∠ADE，都是定值，所以|BM|是定值，①正确；过点M作MH⊥BN于点H，则在△MNB中，MH的长为定值，点H为定点，因此，M在平面A1CH内以H为圆心，HM的长为半径的圆上，②正确；若DE⊥A1C，则AB＝BC，而这一条件不一定成立，所以③错误，故正确命题是①②④.
答案：①②④
三、解答题
23.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
(1)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
(2)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°？若存在，试确定E的位置，并求此时二面角A1-BD-E的大小；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，连接AB1，
∵AB＝BB1，
∴四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1，
又∵AC1⊥平面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
又∵AB1∩AC1＝A，
∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，A1B∩BB1＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(2)设AB＝BB1＝a，CE＝x，
∵AC1⊥平面A1BD，∴BD⊥AC1，
又BD⊥CC1，AC1∩CC1＝C1，
∴BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC，
又∵D为AC的中点，∴AB＝BC＝B1C1＝a，
∴A1B＝A1C1＝a，BE＝，
A1E＝＝，
在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1Ecos 45°，
即a2＋x2＝2a2＋3a2＋x2－2ax－2·a·，
∴＝2a－x?x＝a，
即E是CC1的中点．
连接DE，∵D，E分别为AC，CC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE，
故二面角A1-BD-E的大小为90°.
24.如图，在三棱台ABC?DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求二面角B?AD?F的平面角的余弦值．
解：(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，
则BF⊥CK.又CK∩BC＝C，
所以BF⊥平面ACFD.
(2)过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.
因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角B?AD? F的平面角．
在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，易得FQ＝.
在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，
得cos∠BQF＝.
所以二面角B?AD?F的平面角的余弦值为.
25.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．
(1)求证：FG∥平面BED；
(2)求证：平面BED⊥平面AED；
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OE，OG.
在△BCD中，因为G是BC的中点，
所以OG∥DC且OG＝DC＝1.
又因为EF∥AB，AB∥DC，
所以EF∥OG且EF＝OG，
即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.
又FG?平面BED，OE?平面BED，
所以FG∥平面BED.
(2)证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，
由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，
即BD⊥AD.
又因为平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.
又因为BD?平面BED，所以平面BED⊥平面AED.
(3)因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．
过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.
又平面BED∩平面AED＝ED，
由(2)知AH⊥平面BED，
所以直线AB与平面BED 所成的角即为∠ABH.
在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝，
由余弦定理得cos∠ADE＝，
所以sin∠ADE＝，
因此AH＝AD·sin∠ADE＝.
在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝.
所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.
