课件89张PPT。－sin α－sin αsin αcos αcos α－ cos αcos α－ cos αsin α－ sin αtan α－ tan α－ tan αφ
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专题跟踪检测（四） 三角函数
一、选择题
1．已知扇形的周长为4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
A．2 B.1
C. D．3
解析：选A 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，面积最大．此时l＝4－2r＝2，所以α＝＝2.
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合图象知C正确．
3．下列角中，终边在y轴正半轴上的是( )
A. B.
C．π D.
答案：B
4．(2018年4月浙江省学考T7)若锐角α满足sin＝，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D sin ＝cos α＝，又α是锐角，则sin α＝＝.
5．200°角是( )
A．第一象限角 B.第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
6．已知sin θ>0且cos θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
7．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 点P(cos α，tan α)在第三象限，故∴角α的终边在第二象限．故选B.
8．已知cos<0，cos(θ－π)>0，则下列不等式中必成立的是( )
A．tan>0 B.sin>cos
C．tan<0 D．sin
解析：选A 由cos<0得sin θ>0，由cos(θ－π)>0得cos θ<0，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋<9．下列函数中，存在最小正周期的是( )
A．y＝sin|x| B.y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x2＋1)0
解析：选B A：y＝sin|x|＝不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cos x，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．
10．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B.－1
C．3 D．－3
解析：选B ∵角θ与角α的终边相同，α＝2kπ－(k∈Z)，∴θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，∴y＝－1.
11．已知角α的正弦线与余弦线的长度相等，且α的终边在第二象限，则的值为( )
A．0 B.1
C．－1 D.
解析：选C 由题目条件知，|sin α|＝|cos α|，又α终边在第二象限，∴sin α＝－cos α，∴原式＝＝－1.
12．满足f(π＋x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)的函数f(x)可能是( )
A．sin x B.sin
C．cos 2x D．cos x
解析：选D 由f(π＋x)＝－f(x)得f(x＋2π)＝－f(x＋π)＝f(x)，即函数的周期为2π，又f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，故可知f(x)＝cos x符合条件，故选D.
13．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动到达Q点，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知∠POQ＝，所以点Q的坐标为.
14．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为( )
A．2 B.－2
C．0 D．1
解析：选C 由题目条件知角α是第二或第四象限角．∴原式＝＋＝0.
15.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．b＝4
解析：选C 由图象可知：A＝＝2，b＝＝2，T＝4＝π，ω＝＝2.由图象过点，且|φ|<，得φ＝.
16．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋ B.1－
C．1± D．－1－
解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.故选B.
17．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B.2
C．1 D.
解析：选B f(x1)为函数的最小值，f(x2)为函数的最大值，所以|x1－x2|的最小值恰为半个周期．又最小正周期T＝＝4，所以|x1－x2|的最小值为2.
18.函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位得到的g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴可以是( )
A．x＝0 B.x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：选D 由三角函数图象可得函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2＝π＝，解得ω＝2，又f＝2sin＝2，－<φ<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin，图象向左平移个单位得到g(x)＝2sin＝2sin，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝＋，k∈Z，当k＝－1时得对称轴方程为x＝－，故选D.
二、填空题
19.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，∠C＝90°，则f (x)＝________，f 的值为________．
解析：依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，k∈Z.由0<φ<π，得φ＝，故f(x)＝－·sin πx，f＝－sin＝－.
答案：－sin πx －
20．函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：
21．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：由sin θ－2cos θ＝－及sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋cos2θ＝1，解得cos θ＝或cos θ＝－，因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，从而sin θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－.
答案：－
22．已知函数f(x)＝2sin ωx(其中常数ω>0)，若存在x1∈，x2∈，使得f(x1)＝f(x2)，则ω的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝2sin ωx的图象如图所示(图为临界状态)．因为存在x1∈，x2∈，使得f(x1)＝f(x2)，故函数f (x)满足f >0，即>，故T<，即<.因为ω>0，故ω>，即ω的取值范围为.
答案：
三、解答题
23．已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝4cos xsin＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a，
又函数f(x)的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f (x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
图象如下：
24．已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
25．已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈时，若f(x)＝8，求函数f的值；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．
解：(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋
＝5sin xcos x＋2cos2x＋sin2x＋4cos2x＋
＝5sin xcos x＋5cos2x＋
＝sin 2x＋5×＋
＝5sin＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为.
(2)f(x)＝5sin＋5＝8，
则sin＝，因为≤2x＋≤，所以cos<0，
所以cos＝－，
f＝5sin 2x＋5＝5sin＋5＝＋7.
(3)由题意知g(x)＝5sin＋5－5＝5sin 2x，
即g(x)＝5sin 2x，g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数．
专题四三角函数
[备考学什么——以纲忆知]
一、任意角和弧度制
知识条目
要求
知识条目
要求
1.任意角
①任意角的概念
②终边相同的角的表示
③象限角的概念
a
b
b
2.弧度制
①弧度制的概念
②弧度与角度的换算
③圆弧长公式
a
b
a
1.任意角
(1)任意角
(2)象限角与轴线角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，可称之为轴线角．
(3)终边相同的角：与α(0°≤α＜360°)终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(4)特殊终边的角：
①终边在x轴上的角的集合：{β|β＝k·180°，k∈Z}；
②终边在y轴上的角的集合：{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；
③终边在坐标轴上的角的集合：{β|β＝k·90°，k∈Z}；
④终边在直线y＝x上的角的集合：{β|β＝k·180°＋45°，k∈Z}；
⑤终边在直线y＝－x上的角的集合：{β|β＝k·180°－45°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)弧度制的概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.360°＝2π弧度．若圆心角所对弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|＝，其中r是圆的半径．
(2)弧度与角度互换公式：1 rad＝°≈57.3°，1°＝.
(3)弧长与扇形面积公式：
①弧长公式：l＝|α|·R；
②扇形面积公式：S＝lR＝|α|R2.
二、任意角的三角函数
知识条目
要求
1.任意角的三角函数
①任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义
②判断各象限角的正弦、余弦、正切函数的符号
③终边相同的角的同一三角函数值的关系
④单位圆中的正弦线、余弦线、正切线
b
b
b
a
2.同角三角函数的基本关系
同角三角函数的两个基本关系
b
1.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的概念：设α为任意一个角，P(x，y)是角α终边上任意一点(异于原点)，它与原点的距离为r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
三、三角函数的诱导公式
知识条目
要求
①π＋α与α的正弦、余弦、正切值的关系
②－α与α的正弦、余弦、正切值的关系
③π－α与α的正弦、余弦、正切值的关系
④±α与α的正弦、余弦值的关系
b
b
b
b
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
四、三角函数的图象和性质
知识条目
要求
1.正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的图象
b
2.正弦函数、余弦函数的性质
①周期函数的概念
②正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
③正弦函数、余弦函数的递增区间和递减区间
④正弦函数、余弦函数的最大、最小值
a
c
c
c
3.正切函数的性质和图象
①正切函数的周期性与奇偶性
②正切函数的单调区间
③正切函数的图象
b
c
b
1.周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．三角函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R，且x
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上增；在上减
在[2kπ，2kπ＋π]上减；在[2kπ－π，2kπ]上增
在上增
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
五、y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
知识条目
要求
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
②函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x 的图象间的关系
③函数y＝Asin(ωx＋φ)的振幅、周期
④函数y＝Asin(ωx＋φ)的频率、相位和初相
b
b
b
a
2.三角函数模型的简单应用
三角函数在实际问题中的简单应用
b
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点作图法
设X＝ωx＋φ，令X＝0，，π，，2π，求出相应的x的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象与函数y＝sin x的图象之间的关系
(1)振幅变换：y＝sin x→y＝Asin x，当A>1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍；当0(2)周期变换：y＝sin x→y＝sin ωx，当ω>1时，图象上各点的横坐标缩短到原来的；当0<ω<1时，图象上各点的横坐标伸长到原来的倍．
(3)相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，当φ>0时，图象上各点向平移|φ|个单位；当φ<0时，图象上各点向平移|φ|个单位．
(4)平移变换：
①y＝Asin ωx→y＝Asin(ωx＋φ)，考虑ω>0的情况下，如果φ>0，图象上各点向左平移个单位；如果φ<0，图象上各点向右平移个单位．
②y＝Asin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)＋k，如果k>0，图象上各点向平移|k|个单位；如果k<0，图象上各点向平移|k|个单位．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝
ωx＋φ
φ
[学考怎样考——真题导析]
1．(2018年6月浙江省学考T3)设α∈R，则sin＝( )
A．sin α B.－sin α
C．cos α D．－cos α
解析：选C 由诱导公式可知sin＝cos α.
2．(2017年11月浙江省学考T3)设θ为锐角，sin θ＝，则cos θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为θ是锐角，所以cos θ>0，则cos θ＝＝.
3．(2017年11月浙江省学考T5)下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝sin x B.y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝sin
解析：选C 函数y＝sin x和y＝cos x的最小正周期是2π，函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝sin的最小正周期是4π，故选C.
4．(2018年6月浙江省学考T10)要得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位 B.向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选A 函数f(x)＝sin＝sin，所以只需将函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位，就可得到函数f(x)＝sin的图象．
5．(2018年4月浙江省学考T19)已知函数f(x)＝2sin＋1，则f(x)的最小正周期是________，f(x)的最大值是________．
解析：由函数解析式知f(x)的最小正周期T＝＝π，f(x)max＝2＋1＝3.
答案：π 3
6．(2018年6月浙江省学考T23)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合．
解：(1)f＝sin ＋cos ＝＋＝1.
(2)因为f(x)＝cos sin x＋sin cos x＝sin，
所以函数f(x)的最大值为1，
当x＋＝2kπ＋，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取到最大值，所以取到最大值时x的集合为.
[考情分析]
从近几年学考试题来看，本专题是重点考查内容，以中低档题为主，主要考查三角函数的定义，利用三角公式对三角函数进行求值计算，以及三角函数的图象与性质的应用．
难点在于三角公式的正确选用，以及整体代换思想在三角函数图象与性质中的应用．
任意角和弧度制
[典题例析]
1．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：①错；②错，其中内角若为是轴线角；③对；④错，如60°和120°；⑤错，如当θ＝π时，cos θ＝－1.故选A.
答案：A
2．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝(cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin＝π－＝50(cm2)．
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝αR2＝α2＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
[类题通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[即时应用]
1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
2．设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B.M?N
C．N?M D．M∩N＝?
解析：选B 法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M?N，故选B.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；
而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选B.
任意角的三角函数
[典题例析]
1．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为P ，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
解：由三角函数定义可知tan α＝－1.
(1)＝＝.
(2)＝＝＝1.
(3)＋＝＋＝－2tan α＋tan α＝1.
(4)＝＝＝.
2．已知－(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
解：(1)法一：联立方程，得
整理得25cos2x－5cos x－12＝0.
∵－∴∴sin x－cos x＝－.
法二：由sin x＋cos x＝，
得(sin x＋cos x)2＝2，
即1＋2sin xcos x＝，
∴2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝1－2sin xcos x＝1＋＝，
且－0，
∴sin x－cos x<0.
sin x－cos x＝－.
法三：由－0，所以sin x－cos x<0，又(sin x－cos x)2＋(sin x＋cos x)2＝2，且sin x＋cos x＝，所以sin x－cos x＝－.
(2)由已知条件及(1)可知，tan x＝－.
∴＝＝
＝＝.
[类题通法]
1．同角三角函数关系的基本用途
(1)根据角的某个三角函数值求另外的三角函数值；
(2)利用关系对三角函数式进行变换．sin α，cos α，tan α之间是知一求二，由角的一个三角函数值求其它的三角函数值时要注意根据角的范围确定符号．
2．正弦、余弦的齐次式化正切处理
一个关于正弦和余弦的齐次分式可分子分母同除以一个余弦的方幂化为正切的分式．
3．sin α±cos α与sin αcos α的关系
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α和(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2即可知一求二．
[即时应用]
1．已知角α的终边经过点(－8,6)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由三角函数的定义知cos α＝＝－.故选D.
2．点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D －＝－4π＋?tan ＝－＝－y?y＝.
3．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B.－
C．－2 D．2
解析：选A 由＝5，得＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
4．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．
解析：设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，
∴x＝2cos 60°＝1，
∴y＝2sin 60°＝，
∴B点的坐标为(1，)．
答案：(1，)
5．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求：
(1)tan α；
(2).
解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝＝，则＝1，即4tan2α－3tan α－1＝0.解得tan α＝－或tan α＝1.
(2)原式＝＝.当tan α＝－时，原式＝；当tan α＝1时，原式＝.
三角函数的诱导公式
[典题例析]
1．已知cos＝，则sin＝________.
解析：∵＋＝－，
∴α－＝－－，
∴sin＝sin
＝－cos＝－.
答案：－
2．已知A＝＋(n∈Z)，当α＝时，求A的所有可能取值．
解：①当n＝4k(k∈Z)时，A＝＋＝＋＝2；
②当n＝4k＋1(k∈Z)时，A＝＋＝＋＝＋＝－1＋tan α＝0；
③当n＝4k＋2(k∈Z)时，A＝＋＝＋＝1－＝0；
④当n＝4k＋3(k∈Z)时，A＝＋＝＋＝＋＝－1－tan α＝－2.
所以A的所有可能取值为2,0，－2.
[类题通法]
1．用诱导公式化简求值的一般步骤
2．常见角的变形及角的互余关系
(1)诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin.
(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
[即时应用]
1．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A cos＝cos＝sin＝－sin＝－.
2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝( )
A．－2 B.2
C．0 D.
解析：选B 由题意知tan θ＝2，原式＝＝＝＝＝2.
3．tan 480°＋sin 450°＝________.
解析：tan 480°＋sin 450°＝tan(360°＋120°)＋sin＝tan 120°＋sin 90°＝tan(180°－60°)＋1＝－tan 60°＋1＝1－.
答案：1－
4．已知sin(π＋α)＝，α∈，则sin的值为________．
解析：由sin(π＋α)＝可得sin α＝－，因为α∈，所以α∈，所以sin＝cos α＝＝ ＝.
答案：
y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
[典题例析]
1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的一段图象如图所示，则函
数f(x)的解析式可以为( )
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
解析：由三角函数图象可得A＝2，T＝－＝，所以函数的最小正周期T＝π＝，ω＝2.
又函数图象经过点，
所以sin＝－1,2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝1，则φ＝，所以f (x)＝2sin，故选C.
答案：C
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos 2x的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos 2，故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin(－2x＋φ)的图象关于x＝对称，求f(x)的对称中心和单调递减区间．
解：f(x)图象关于x＝对称，则－2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋，又|φ|<，取k＝－1，所以φ＝－，则f(x)＝sin.
令－2x－＝kπ，解得x＝－－(k∈Z)，所以对称中心坐标为(k∈Z)．
f(x)＝sin＝－sin，求f(x)的单调递减区间，转化为求sin的单调递增区间，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，所以递减区间为(k∈Z)．
[类题通法]
1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)解析式的步骤
(1)根据函数的最大值M和最小值m确定A，b，即A＝，b＝；
(2)根据周期T确定ω，即ω＝；
(3)确定φ，可选择图象上的最高点或最低点坐标代入解析式再结合题目所给φ的范围确定φ的值，若选其它点代入则要注意检验．
2．有关对称轴的结论
在y＝Asin(ωx＋φ)图象中，对称轴非常关键：对称轴处取到最值；两条相邻的对称轴之间为半个周期；两条相邻的对称轴之间为一个单调区间．
[提醒] 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的符号．
[即时应用]
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝( )
A．5 B.4
C．3 D．2
解析：选B 设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，
∴＜，∴k＝－1，φ＝－，
∴f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－.∴A、C错误；
当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
[典题例析]
函数f(x)＝Asin(ωx＋α)的最小正周期是π，且当x＝时f(x)取得最大值3.
(1)求f(x)的解析式及单调增区间；
(2)若x0∈[0,2π)，且f(x0)＝，求x0；
(3)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解：(1)∵ω＝＝＝2，A＝3，
又∵f ＝3sin＝3，－<α<，
∴α＝，即f(x)＝3sin；
令2x＋∈(k∈Z)得函数的单调增区间是(k∈Z)．
(2)f(x0)＝3sin＝，
∴2x0＋＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，即x0＝kπ或x0＝＋kπ(k∈Z)，
又∵x0∈[0,2π)，
∴x0＝0，，π，.
(3)由题意知g(x)＝3sin，
∵y＝g(x)是偶函数，
∴－2m＋＝＋kπ(k∈Z)，
即m＝－－(k∈Z)，∵m>0，∴mmin＝.
[类题通法]
与三角函数相关的综合问题的解题规律
求三角函数的值域(最值)、单调性、周期性等，常常要通过三角恒等变换将三角函数的解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再根据函数y＝sin x的性质进行求解，但必须注意未知数x的取值范围．讨论三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0)的性质时，首先要将“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象与性质，去研究该函数的性质．
[即时应用]
1．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
2．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A 法一：由f ＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f ＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
法二：∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
3．已知函数f(x)＝2sin xcos x，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数g(x)＝f(x)＋f 的最大值．
解：(1)f ＝2sin cos＝2××＝1.
(2)f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，
所以T＝＝π.
即函数的最小正周期为π.
(3)g(x)＝f(x)＋f ＝sin 2x＋sin
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以函数的最大值为g(x)max＝.
当且仅当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z时取到．
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．与－角终边相同的角是( )
A. B.
C. D.
答案：C
2．圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于( )
A．π B.2π
C．4π D．6π
答案：B
3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由三角函数的定义知cos α＝＝－.故选D.
4．若cos θ＝－，θ∈[0，π]，则tan θ＝( )
A. B.－
C．－2 D．2
解析：选C 因为cos θ＝－且θ∈[0，π]，所以sin θ＝，tan θ＝＝－2，故选C.
5．为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析：选D 因为y＝cos＝sin＝sin 2，所以由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得y＝sin 2的图象，故选D.
二、填空题
6．设函数f(x)＝2cos，则该函数的最小正周期为________，值域为________，单调递增区间为________．
解析：因为f(x)＝2cos，所以其最小正周期为＝4π，值域为[－2,2]，由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z得4kπ－≤x≤4kπ－，所以其单调增区间为，k∈Z.
答案：4π [－2,2] ，k∈Z
7．若sin θcos θ＝，θ∈，则cos θ－sin θ＝________.
解析：(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×＝.∴cos θ－sin θ＝±.又∵θ∈，∴cos θ答案：－
8．当0解析：当0答案：4
三、解答题
9．已知＝3，求的值．
解：由＝3得sin α＝2cos α，即tan α＝2.
＝
＝＝＝.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．已知扇形的周长为4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
A．2 B.1
C. D．3
解析：选A 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，面积最大．此时l＝4－2r＝2，所以α＝＝2.
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合图象知C正确．
3．下列角中，终边在y轴正半轴上的是( )
A. B.
C．π D.
答案：B
4．(2018年4月浙江省学考T7)若锐角α满足sin＝，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D sin ＝cos α＝，又α是锐角，则sin α＝＝.
5．200°角是( )
A．第一象限角 B.第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
6．已知sin θ>0且cos θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
7．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 点P(cos α，tan α)在第三象限，故∴角α的终边在第二象限．故选B.
8．已知cos<0，cos(θ－π)>0，则下列不等式中必成立的是( )
A．tan>0 B.sin>cos
C．tan<0 D．sin解析：选A 由cos<0得sin θ>0，由cos(θ－π)>0得cos θ<0，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋<9．下列函数中，存在最小正周期的是( )
A．y＝sin|x| B.y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x2＋1)0
解析：选B A：y＝sin|x|＝不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cos x，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．
10．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B.－1
C．3 D．－3
解析：选B ∵角θ与角α的终边相同，α＝2kπ－(k∈Z)，∴θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，∴y＝－1.
11．已知角α的正弦线与余弦线的长度相等，且α的终边在第二象限，则的值为( )
A．0 B.1
C．－1 D.
解析：选C 由题目条件知，|sin α|＝|cos α|，又α终边在第二象限，∴sin α＝－cos α，∴原式＝＝－1.
12．满足f(π＋x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)的函数f(x)可能是( )
A．sin x B.sin
C．cos 2x D．cos x
解析：选D 由f(π＋x)＝－f(x)得f(x＋2π)＝－f(x＋π)＝f(x)，即函数的周期为2π，又f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，故可知f(x)＝cos x符合条件，故选D.
13．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动到达Q点，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知∠POQ＝，所以点Q的坐标为.
14．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为( )
A．2 B.－2
C．0 D．1
解析：选C 由题目条件知角α是第二或第四象限角．∴原式＝＋＝0.
15.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．b＝4
解析：选C 由图象可知：A＝＝2，b＝＝2，T＝4＝π，ω＝＝2.由图象过点，且|φ|<，得φ＝.
16．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋ B.1－
C．1± D．－1－
解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.故选B.
17．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B.2
C．1 D.
解析：选B f(x1)为函数的最小值，f(x2)为函数的最大值，所以|x1－x2|的最小值恰为半个周期．又最小正周期T＝＝4，所以|x1－x2|的最小值为2.
18.函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位得到的g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴可以是( )
A．x＝0 B.x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：选D 由三角函数图象可得函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2＝π＝，解得ω＝2，又f＝2sin＝2，－<φ<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin，图象向左平移个单位得到g(x)＝2sin＝2sin，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝＋，k∈Z，当k＝－1时得对称轴方程为x＝－，故选D.
二、填空题
19.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，∠C＝90°，则f (x)＝________，f 的值为________．
解析：依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，k∈Z.由0<φ<π，得φ＝，故f(x)＝－·sin πx，f＝－sin＝－.
答案：－sin πx －
20．函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：
21．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：由sin θ－2cos θ＝－及sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋cos2θ＝1，解得cos θ＝或cos θ＝－，因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，从而sin θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－.
答案：－
22．已知函数f(x)＝2sin ωx(其中常数ω>0)，若存在x1∈，x2∈，使得f(x1)＝f(x2)，则ω的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝2sin ωx的图象如图所示(图为临界状态)．因为存在x1∈，x2∈，使得f(x1)＝f(x2)，故函数f (x)满足f >0，即>，故T<，即<.因为ω>0，故ω>，即ω的取值范围为.
答案：
三、解答题
23．已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝4cos xsin＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a，
又函数f(x)的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f (x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
图象如下：
24．已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
25．已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈时，若f(x)＝8，求函数f的值；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．
解：(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋
＝5sin xcos x＋2cos2x＋sin2x＋4cos2x＋
＝5sin xcos x＋5cos2x＋
＝sin 2x＋5×＋＝5sin＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为.
(2)f(x)＝5sin＋5＝8，
则sin＝，因为≤2x＋≤，所以cos<0，
所以cos＝－，
f＝5sin 2x＋5＝5sin＋5＝＋7.
(3)由题意知g(x)＝5sin＋5－5＝5sin 2x，
即g(x)＝5sin 2x，g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数．
