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专题跟踪检测（五） 平面向量
一、选择题
1．已知＝a，＝b， ＝c， ＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a－b＋c－d＝0 B. a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0
解析：选A 依题意得＝，故＋＝0，所以－＋－＝0，即－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.故选A.
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A. b＋ c B.c－ b
C. b－ c D. b＋ c
解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝ b＋ c.
3．已知平面向量a与b不共线，若＝a＋5 b，＝－2a＋8b，＝3 a－3 b，则( )
A．A，C，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线
解析：选D ∵＝＋＝a＋5 b＝，∴A，B，D三点共线．
4．已知向量p＝＋，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是( )
A．[0，] B.[0,1]
C．(0,2] D.[0,2]
解析：选D 与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最大值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]．
5．设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B.5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D.5a＋4b＝14
解析：选A ∵与在方向上的投影相同，则＝，即·＝·，即4a＋5＝8＋5b，化简得4a－5b＝3.
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D.λμ＝1
解析：选D A，B，C三点共线?存在k∈R，使得＝k，即λa＋b＝ka＋μkb，则即λμ＝1.
8.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x， ＝y，则的值为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得＝.
9．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)．若t是实数，则|a－tb|的最小值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B (a－tb)2＝a2－2t a·b＋t2b2＝t2＋1－2t·＝t2－t＋1，当且仅当t＝时，|a－tb|min＝.
10．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为a··(a－b)＝|a|2－a·b＝4－1＝3，|a－b|＝＝＝，所以cos〈a，a－b〉＝＝＝，又〈a，a－b〉∈[0，π]，所以〈a，a－b〉＝，故选A.
11．设向量a＝(－2,1)，a＋b＝(m，－3)，c＝(3,1)，若(a＋b)⊥c，则cos〈a，b〉＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 由(a＋b)⊥c可得，m×3＋(－3)×1＝0，解得m＝1.所以a＋b＝(1，－3)，故b＝(a＋b b)－a＝(3，－4)．所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选D.
12．设向量a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)，c＝(－1，－1)，若b∥c，则a在b上的投影为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 由a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)可得b＝(t－3,12)，由b∥c得(t－3)×(－1)＝12×(－1)，解得t＝15，故b＝(12,12)，则a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.故选D.
13．已知△ABC中，点D为BC的中点，若向量＝(1,2)，＝(2,3)，则·＝( )
A．2 B.4
C．－2 D．－4
解析：选A 由点D为BC中点可得·＝(＋)·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(13－5)＝2，故选A.
14．等边三角形ABC中，若＝λ＋，则当·取得最小值时，λ＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 设等边三角形ABC的边长为a，则·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝·－(λ＋)·(＋)＋(λ＋)2＝λ22＋λ·－λ2＝a2λ2－a2λ＝a2，可知当λ＝时，·取得最小值，故选A.
15．已知向量a，b满足| b |＝| a |，且(2 a＋b)⊥b，则a，b的夹角等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由(2a＋b)⊥b可得(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b 2＝0.所以a·b＝.故cos〈a，b〉＝＝＝－.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.故选C.
16．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则·的最小值为( )
A．－4＋ B.－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2
解析：选D 如图所示，设OP＝x(x>1)，则PA＝PB＝，
设∠APO＝α，则∠APB＝2α，sin α＝.
·＝||·||cos 2α＝××(1－2sin2α)＝x2＋－3≥2－3，
当且仅当x2＝时，取“＝”，故·的最小值是2－3.
17．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A. B.
C．6 D．4
解析：选A ·＝3×2×cos 60°＝3，∵＝m＋n，⊥.
∴(m＋n)·＝(m＋n)·(－)＝(m－n)·－m2＋n2＝0，∴3(m－n)－9m＋4n＝0，∴＝，故选A.
18．设单位向量a，b的夹角为锐角，若对于任意的(x，y)∈{(x，y)||xa＋yb|＝1，xy≥0}，都有|x＋2y|≥，则a·b的最小值为( )
A．－ B.－
C. D.
解析：选C 设a，b的夹角为θ，则0<θ<.由|x a＋y b|＝1得，x2＋y2＋2xycos θ＝1.又设x＋2y＝t，则x＝t－2y，代入x2＋y2＋2xycos θ＝1，得(5－4cos θ)y2＋(2cos θ－4)ty＋t2－1＝0.所以Δ≥0，即(2cos θ－4)2t2－4(5－4cos θ)(t2－1)≥0，整理得t2≤，所以≥，解得≤cos θ≤，于是a·b＝cos θ≥.经检验，此时xy≥0符合要求，故a·b的最小值为.
二、填空题
19．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________； ·的最大值为________．
解析：法一：以，为基向量，设＝λ (0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为(t,0) (0≤t≤1)可得·＝(t, －1) ·(0, －1)＝1, ·＝(t, －1) ·(1, 0)＝t≤1，
故·＝1，·的最大值为1.
答案：1 1
20．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足|BM|＝3|CM|，若＝x＋y，则xy＝________.
解析：因为＝＋＝＋，＝－，所以＝＋(－)＝－，所以x＝－，y＝，故xy＝－.
答案：－
21.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：设＝t.∵D在圆外，∴t<－1，又D，A，B共线，∴存在λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，∴tm＋tn＝λ＋μ，∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
22．A，B，C为单位圆上三个不同的点，若∠ABC＝，＝m＋n，(m，n∈R)，则m＋n最小值为________．
解析：因为∠ABC＝，所以∠AOC＝，不妨设A(1,0)，C(0,1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈，则cos θ＝m，sin θ＝n?m＋n＝cos θ＋sin θ＝sin≥－，当且仅当θ＝时取等号．
答案：－
三、解答题
23.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解：法一：在△ADM中，
＝－＝c－，①
在△ABN中，＝－＝d－，②
由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝ b，＝a，于是有：
解得
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
24．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值．
解：(1)当A＝90°时，
∵⊥，∴·＝0.
∴2×1＋3k＝0，解得k＝－.
(2)当B＝90°时，∵⊥，
又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，
∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，
解得k＝.
(3)当C＝90°时，
∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，
即k2－3k－1＝0.∴k＝.
综上可得k的值为－或或.
25．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，
得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.
(2) b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
|b＋c|2＝sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＋16cos2β－32cos βsin β＋16sin2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a∥b.
专题五平面向量
[备考学什么——以纲忆知]
一、平面向量的背景及基本概念
知识条目
要求
1.向量的物理背景与概念
向量的概念
b
2.向量的几何表示
零向量、单位向量、向量的模的概念
b
3.相等向量与共线向量
相等向量、平行向量、共线向量的概念
b
1.向量的概念
既有大小又有方向的量叫做向量，如物理学中的力、速度、加速度等．
2．向量的几何表示
(1)向量的模：向量可以用有向线段表示，如图所示的向量，方向是由起点指向终点．向量也可以用字母表示，如向量a，b等，该表示法对于向量的代数运算较方便．向量的大小(长度)也叫做向量的模，的模记作||，a的模记作|a|.
(2)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
3．相等向量和共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a∥b，或∥，规定0与任一向量平行．平行向量也叫做共线向量．
二、平面向量的线性运算
知识条目
要求
1.向量加法运算及其几何意义
①向量加法的定义及其几何意义
②向量加法的交换律与结合律
b
c
2.向量减法运算及其几何意义
①相反向量的概念
②向量减法的定义及其几何意义
a
b
3.向量数乘运算及其几何意义
①向量的数乘运算
②向量数乘运算的几何意义
c
b
1.向量的加法及其几何意义
(1)向量加法的三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ ，如图甲所示．对于零向量与任一向量a，我们规定：0＋a＝a＋0＝a.
图甲
(2)向量加法的平行四边形法则：设A为任意一点，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD，则对角线 就是a与b的和向量．如图乙所示．
图乙
(3)向量加法满足的运算律：①a＋b＝b＋a (交换律)；
②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)．
2．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
(2)向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，特别地，a＋(－a)＝0.
(3)向量减法的几何意义：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，记a－b＝－＝ .
3．向量的数乘
(1)向量的数乘运算：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算法则：设λ，μ为实数，那么
①λ(μa)＝(λμ) a；
②(λ＋μ) a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)向量共线的条件：向量a (a≠0)与b共线．当且仅当存在唯一一个实数λ，
使得b＝λa.
三、平面向量基本定理及坐标表示
知识条目
要求
知识条目
要求
1.平面向量基本定理
①平面向量基本定理
②平面内所有向量的一组基底
③向量夹角的概念
c
a
b
3.平面向量的坐标运算
平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示
c
2.平面向量的正交分解及坐标表示
①正交分解的概念
②向量的坐标表示
a
b
4.平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
b
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解的概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
(3)平面向量的坐标运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)；若a＝(x，y)，λ为实数，则λa＝(λx，λy)．
(4)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a，b共线(a∥b)的充要条件是：x1y2－x2y1＝0.
四、平面向量的数量积
知识条目
要求
1.平面向量的数量积的物理背景及其含义
①平面向量的数量积及其几何意义
②平面向量的数量积与向量投影的关系
③平面向量的数量积的性质及运算律
b
b
c
2.平面向量数量积、模、夹角的坐标表示
①数量积的坐标表示
②数量积表示两个向量夹角的坐标运算
③平面向量模的坐标运算
c
c
b
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a和b的夹角，如果a和b的夹角是90°，就称a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
4．平面向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是 a与e的夹角，则
(1) a·a＝|a|cos θ；
(2) a⊥b?a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)| a·b|≤|a||b|.
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)( a＋b)·c＝a·c＋b· c.
6．平面向量数量积的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量的模：若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝；若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则||＝.
(3)两向量的夹角公式：设θ为两个非零向量a与b的夹角，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ .
(4)向量垂直的条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a，b垂直的充要条件是：x1x2＋y1y2＝0.
五、平面向量应用举例
知识条目
要求
1.平面几何中的向量方法
平面向量在平面几何中的简单应用
b
2.向量在物理中的应用举例
平面向量在物理中的简单应用
a
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年11月浙江省学考T2)已知向量a＝(4,3)，则|a|＝( )
A．3 B.4
C．5 D．7
解析：选C |a|＝＝5.
2．(2018年6月浙江省学考T6)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，－3)，若a∥b，则实数x的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由a∥b得－3x－2＝0，所以x＝－.
3．(2016年10月浙江省学考T12)设向量a＝(x－2,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)，x，y∈R.若a⊥b，则|c|的最小值是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选B 因为a⊥b，所以a·b＝4(x－2)＋2y＝0，即2x＋y＝4.| c|＝可以看成是坐标原点(0,0)与直线2x＋y＝4上的点的连线的距离．所以其最小值为d＝＝.故选B.
4．(2018年6月浙江省学考T22)已知动点P在直线l：2x＋y＝2上，过点P作互相垂直的直线PA，PB分别交x轴，y轴于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则·的最小值是________．
解析：∵点P在直线l上，∴设P(a,2－2a)，
设M(x，y)，∵M为AB中点，∴A(2x,0)，B(0,2y)，
∴＝(a－2x,2－2a)，＝(a,2－2a－2y)，
∵AP⊥BP，∴·＝0，
即(a－2x)a＋(2－2a)(2－2a－2y)＝0，
整理得2ax＋4y－4ay＝5a2－8a＋4，
∵·＝ax＋(2－2a)y＝ax＋2y－2ay＝(5a2－8a＋4)＝，
∴当a＝时，取得最小值为.
答案：
5．(2018年4月浙江省学考T20)若平面向量a，b满足2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，则a·b＝________.
解析：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则由得解得即a＝(2,1)，b＝(－3,4)，a· b＝2×(－3)＋1×4＝－2.
答案：－2
6．(2017年4月浙江省学考T22)设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则·(＋)的取值范围为________．
解析：取BC中点O，连接AO(图略)，则AO⊥BC.所以·(＋)＝2·.因为点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，由正三角形的对称性，所以只需考虑点P在AB或BO上．若点P在BO上，则2·＝22∈[0,2]；若点P在AB上，设||＝λ(λ∈[0,2])，则2·＝2·(＋)＝2·＋2·＝－2λ(2－λ)＋λ＝2λ2－3λ.因为λ∈[0,2]，所以－≤2λ2－3λ≤2.综上可知，－≤·(＋)≤2.
答案：
[考情分析]
本专题在学考中主要以选择、填空题的形式进行考查．
(1)在选择、填空的前几题，考查比较基础，主要考查平面向量的线性运算及数量积运算的基本运算；
(2)在选择、填空题的后几题则结合不等式，考查以几何背景为主的向量不等式问题，难点在于如何挖掘向量不等式所蕴含的几何条件．
平面向量的基本概念及运算
[典题例析]
1．给出下列命题：①由于0的方向不确定，故0不与任何向量平行；②单位向量都相等；③在△ABC中，＋＋＝0；④若与共线，则A，B，C，D四点共线；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中正确命题的个数有( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：规定0与任何向量都平行，所以①错；单位向量的模都相等，但方向不一定相同，所以②错；与共线不能得到线段AB，CD共线，所以④错．③⑤正确．
答案：B
2.如图， 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点， 且＝x＋y，则( )
A．x＝－1，y＝－
B．x＝1，y＝
C．x＝－1，y＝
D．x＝1，y＝－
解析：因为＝＋＝－，所以x＝1，y＝－.
答案：D
[类题通法]
平面向量的概念辨析题的解题方法及重要结论
(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
(2)几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
③向量平行与向量起点的位置无关．
[即时应用]
1．若a＝(2,1)，b＝(－1,1)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( )
A. B.2
C．－2 D．－
解析：选D 由已知，2a＋b＝(3,3)，a－mb＝(2＋m,1－m)，又(2a＋b)∥(a－mb)，
所以2＋m＝1－m，即m＝－.故选D.
2．已知向量a＝(m,4)，b＝(m＋4,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则与a方向相同的单位向量的坐标是________．
解析：∵a＝(m,4)，b＝(m＋4,1)，∴a＋b＝(2m＋4,5)，a－b＝(－4,3)，
由|a＋b|＝|a－b|，可得(2m＋4)2＋52＝25，∴m＝－2，
则a＝(－2,4)＝2，
即与a方向相同的单位向量的坐标是.
答案：
3．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
解析：由＝(＋)，故O，B，C三点共线，且O是线段BC中点，
故BC是圆O的直径，从而∠BAC＝90°，因此与的夹角为90°.
答案：90°
4．给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；③若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；④若M为线段AB的中点，则＝(＋)，其中P为平面内任一点；⑤λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b平行．
其中正确命题的个数有( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选A 若b＝0，则a与c就不一定平行，所以①错；向量不可以比较大小，所以②错；|a＝|b|，但a与b的方向可以任意，所以③错；如果λ＝μ＝0，则λa＝μb，但a与b不一定平行，所以⑤错．④正确．
平面向量的数量积
[典题例析]
1．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.2＋＋＝0，且||＝||，则·等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：由题意，＋＝－2，所以O是边BC的中点，又因为O是外接圆圆心，所以BC是外接圆直径，∠A＝90°，BC＝2OA＝2，如图所示，因为OB＝OA＝AB，所以∠B＝60°，所以∠C＝90°－∠B＝30°，CA＝CB·sin 60°＝.所以·＝×2×cos 30°＝3.
答案：D
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．π B.
C. D.
解析：(a－b)·(3 a＋2 b)＝3| a |2－a·b－2| b |2＝3| a |2－| a |·| b |cos α－2| b |2，
因为(a－b b)⊥(3 a＋2 b)，所以有3| a |2－| a |·| b |cos α－2| b |2＝0，其中α为a与b的夹角，
将|a|＝|b|代入前式中，可求得cos α＝?α＝.
答案：D
3．已知向量a＝(1，)，向量a，c的夹角是，a·c＝2，则|c|等于________．
解析：由题意，得|a|＝2，向量a·c的夹角是，且a·c＝|a|·|c|cos＝2，解得|c|＝2.
答案：2
[类题通法]
解决平面向量数量积的常用方法
(1)定义法
利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解.
定义式具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径．解题时一定注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)坐标法
首先对题中的点和向量进行坐标化，利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2解题．
坐标式具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解，即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便．
(3)基底法
基底是平面向量中非常重要的概念．
求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，将所求的向量转化为“同起点”的，或者“模固定”的两个向量，然后进行计算．
[即时应用]
1．在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，CD是AB边上的高，则·＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选C 如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，CD是AB边上的高，则∠ABC＝120°，所以CD＝BCsin 60°＝，且∠BCD＝30°，所以·＝||·||cos∠BCD＝×3cos 30°＝.
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B.－
C．－ D．－1
解析：选B 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.
3.如图，等边△ABC的边长为2，D为AC的中点，且△ADE也是等边三角形，△ADE以点A为中心向下转动，从开始转到稳定位置(即DE∥BC)的过程中， ·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 以A为原点，初始位置时的AE所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示，A(0,0)，B(－1，－)，C(1，－)，点D，E在以A为圆心，1为半径的圆上运动．设动点E(cos α，sin α)，其中－≤α≤0，则D.
则＝，＝(cos α－1，sin α＋)，则·＝cos αcos＋sin αsin＋cos α－cos＋sin α＋sin＋2＝＋2sin.
由－≤α≤0，得－≤α－≤－，则－1≤sin≤－，从而有≤·≤，即·的取值范围是.
4．已知向量a＝，b＝(1,0)，则b在a上的投影等于________．
解析：b在a方向上的投影为：|b|cos〈a，b〉＝＝＝.
答案：
平面向量的综合运用
[典题例析]
?类型一 平面向量与不等式相结合的最值问题
1．若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足＝x＋y，则当＋取最小值时，·＝( )
A．6 B.5
C．4 D．3
解析：设＝t (t>0)，则－＝＝t，∴＝＋，所以x＋y＝1(x>0，y>0)，∴＋＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．所以·＝·＝2＋2＋·＝3.
答案：D
2．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
可得AD＝DC＝1.
建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0,0)，B(2,0)，C，D，
＝－(2,0)＝，
＝－＝(1,0)．
∵＝λ＝，∴E.
∵＝＝，∴F.
∴·＝·
＝＋λ＝＋＋λ
≥＋2＝.
当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，符合题意．
∴·的最小值为.
答案：
?类型二 平面向量与函数相结合的最值问题
3．设a，b是单位向量，其夹角为θ.若|ta＋b|的最小值为，其中t∈R.则θ＝________.
解析：因为t∈R，所以|ta＋b|2＝t2＋2tcos θ＋1＝(t＋cos θ)2＋1－cos2θ≥1－cos2θ＝，得cos θ＝±?θ＝或.
答案：或
4．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2θ)，b＝，其中λ，μ，θ∈R.若a＝2b，则的最小值为________．
解析：∵a＝2b，则λ＋2＝2μ，λ2－cos2θ＝μ＋2sin θ，将λ＝2μ－2代入得4μ2－9μ＋4＝cos2θ＋2sin θ＝－sin2θ＋2sin θ＋1＝－(sin θ－1)2＋2∈[－2,2]，则－2≤4μ2－9μ＋4≤2，解得≤μ≤2，所以≤≤4，－8≤－≤－1，又λ＝2μ－2，则＝2－，则－6≤≤1，则的最小值为－6.
答案：－6
?类型三 平面向量与解析几何相结合的最值问题
5．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||＝||，则·的最小值为( )
A．－ B.－
C．－ D．－1
解析：可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点A(－1,0)，点B，C为动点，由||＝||可知B，C的坐标关于横轴对称，所以可假设B(x，y)，C(x，－y)，其中x，y满足x2＋y2＝1且x≠－1，则＝(x＋1，y)，＝(x＋1，－y)，所以·＝(x＋1)2－y2＝2x2＋2x＝22－，可见当x＝－时，·取得最小值－.
答案：B
6．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1， ＝，则||2的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知易得∠ADC＝∠ADB＝∠BDC＝120°，||＝||＝||＝2.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，C.设P，由已知||＝1，得2＋y2＝1，又＝，∴M，所以＝，所以||2＝，它表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点(x，y)与点(－1，－3)的距离的平方的，所以(||2)max＝2＝.
答案：B
[类题通法]
解平面向量综合题的2个策略
(1)图形化策略
所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考并解决问题．图形化策略体现了数形结合思想，同时，转化与化归思想和函数与方程思想也深蕴其中．
(2)代数化策略
所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题．代数化策略体现了转化与化归思想和函数与方程思想．通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题一般性的通法．
[即时应用]
1．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为( )
A．6 B.7
C．8 D．9
解析：选B 法一：AC为Rt△ABC的斜边，则AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则＋＝2，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(－1,0)处时|＋＋|取得最大值，此时，＝(－2,0)，＝(－3,0)，2||＋||＝2×2＋3＝7，故|＋＋|的最大值为7.
法二：同法一，得|＋＋|＝|2＋|.
又＝－，
∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|
＝
＝
＝≤＝7，
当且仅当∠POB＝180°时取等号，
故|＋＋|的最大值为7.
法三：同法一，得|＋＋|＝|2＋|.
设B(cos α，sin α)，则|2＋|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝＝≤＝7(当cos α＝－1，即B落在点(－1,0)处时取等号)．
故|＋＋|的最大值为7.
2．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且|AB|＝1，若P(1，)，则|＋＋|的取值范围是( )
A．[5,6] B.[6,7]
C．[6,9] D．[5,7]
解析：选D 设A(cos θ，0)，B(0，sin θ)，则＋＋＝(3－cos θ，3－sin θ)，|＋＋|2＝(3－cos θ)2＋(3－sin θ)2＝37－6(cos θ＋sin θ)＝37－12sin，所以25≤|＋＋|2≤49，故|＋＋|的取值范围是[5,7]．
3．已知＝(1,0)，＝(1,1)，(x，y)＝λ＋μ.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝＋(m>0，n>0)的最大值为2，则m＋n的最小值为________．
解析：(x，y)＝λ＋μ＝(λ＋μ，μ)?λ＝x－y，μ＝y，所以0≤x－y≤1≤y≤2，可行域为如图所示的平行四边形及其内部，由直线z＝＋斜率小于零知直线z＝＋过点(3,2)取最大值，即＋＝2，因此m＋n＝(m＋n)·＝≥＝＋，当且仅当＝时取等号．
答案：＋
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，则a＋b＝( )
A．(3,4) B．(2,4)
C．(3，－2) D．(1，－2)
答案：A
2．已知向量a＝(n,1)与b＝(2,4)垂直，则实数n的值为( )
A．－2 B.－
C. D．2
答案：A
3．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b的方向上的投影是( )
A．－4 B.4
C．－2 D．2
解析：选A 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b的方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，∴|a|cos θ＝6×＝－4，故选A.
4．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 显然a与b的夹角不可能为π.∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0.∴a·b<0，∴－3λ＋10<0，∴λ>，故选A.
5．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e 2＝(1,2)
B．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)
C．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)
解析：选B 经检验，只有B中两向量不共线，可以把a＝(3,2)表示出来．
二、填空题
6．已知a＝(2,3)，b＝(－1，－1)，则a＋b＝________；|a－b |＝________.
解析：由条件得a＋b＝(2－1,3－1)＝(1,2)，a－b＝((2－(－1)，3－(－1))＝(3,4)，|a－b＝＝5.
答案：(1,2) 5
7.如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是AB上的两个三等分点，且AB＝6，则·＝________.
解析：·＝(＋)·(＋)＝2－2＝8.
答案：8
8．已知O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，若＝λ1＋λ2，则λ1＋λ2＝________.
解析：由题意可得·＝4×2×＝－4，·＝||2＝8，·＝||2＝2.在＝λ1＋λ2两边同时乘以得·＝λ1||2＋λ2·，即2＝4λ1－λ2 ①.在＝λ1＋λ2两边同时乘以得·＝λ1·＋λ2
||2，即1＝－2λ1＋2λ2 ②，①②联立解得所以λ1＋λ2＝＋＝.
答案：
三、解答题
9．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)∵＝(1,2)，＝(3,3)，
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在第三象限，则解得t<－.
(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，
则＝，即
∵该方程组无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形．
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．已知＝a，＝b， ＝c， ＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a－b＋c－d＝0 B. a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0
解析：选A 依题意得＝，故＋＝0，所以－＋－＝0，即－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.故选A.
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A. b＋ c B.c－ b
C. b－ c D. b＋ c
解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝ b＋ c.
3．已知平面向量a与b不共线，若＝a＋5 b，＝－2a＋8b，＝3 a－3 b，则( )
A．A，C，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线
解析：选D ∵＝＋＝a＋5 b＝，∴A，B，D三点共线．
4．已知向量p＝＋，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是( )
A．[0，] B.[0,1]
C．(0,2] D．[0,2]
解析：选D 与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最大值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]．
5．设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B.5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：选A ∵与在方向上的投影相同，则＝，即·＝·，即4a＋5＝8＋5b，化简得4a－5b＝3.
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D A，B，C三点共线?存在k∈R，使得＝k，即λa＋b＝ka＋μkb，则即λμ＝1.
8.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x， ＝y，则的值为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得＝.
9．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)．若t是实数，则|a－tb|的最小值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B (a－tb)2＝a2－2t a·b＋t2b2＝t2＋1－2t·＝t2－t＋1，当且仅当t＝时，|a－tb|min＝.
10．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为a·(a－b)＝|a|2－a·b＝4－1＝3，|a－b|＝＝＝，所以cos〈a，a－b〉＝＝＝，又〈a，a－b〉∈[0，π]，所以〈a，a－b〉＝，故选A.
11．设向量a＝(－2,1)，a＋b＝(m，－3)，c＝(3,1)，若(a＋b)⊥c，则cos〈a，b〉＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 由(a＋b)⊥c可得，m×3＋(－3)×1＝0，解得m＝1.所以a＋b＝(1，－3)，故b＝(a＋b b)－a＝(3,－4)．所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选D.
12．设向量a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)，c＝(－1，－1)，若b∥c，则a在b上的投影为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 由a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)可得b＝(t－3,12)，由b∥c得(t－3)×(－1)＝12×(－1)，解得t＝15，故b＝(12,12)，则a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.故选D.
13．已知△ABC中，点D为BC的中点，若向量＝(1,2)，＝(2,3)，则·＝( )
A．2 B.4
C．－2 D．－4
解析：选A 由点D为BC中点可得·＝(＋)·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(13－5)＝2，故选A.
14．等边三角形ABC中，若＝λ＋，则当·取得最小值时，λ＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 设等边三角形ABC的边长为a，则·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝·－(λ＋)·(＋)＋(λ＋)2＝λ22＋λ·－λ2＝a2λ2－a2λ＝a2，可知当λ＝时，·取得最小值，故选A.
15．已知向量a，b满足| b |＝| a |，且(2 a＋b)⊥b，则a，b的夹角等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由(2a＋b)⊥b可得(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b 2＝0.所以a·b＝.故cos〈a，b〉＝＝＝－.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.故选C.
16．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则·的最小值为( )
A．－4＋ B.－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2
解析：选D 如图所示，设OP＝x(x>1)，
则PA＝PB＝，
设∠APO＝α，则∠APB＝2α，sin α＝.
·＝||·||cos 2α＝××(1－2sin2α)＝x2＋－3≥2－3，
当且仅当x2＝时，取“＝”，故·的最小值是2－3.
17．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A. B.
C．6 D．4
解析：选A ·＝3×2×cos 60°＝3，∵＝m＋n，⊥.
∴(m＋n)·＝(m＋n)·(－)＝(m－n)·－m2＋n2＝0，∴3(m－n)－9m＋4n＝0，∴＝，故选A.
18．设单位向量a，b的夹角为锐角，若对于任意的(x，y)∈{(x，y)||xa＋yb|＝1，xy≥0}，都有|x＋2y|≥，则a·b的最小值为( )
A．－ B.－
C. D.
解析：选C 设a，b的夹角为θ，则0<θ<.由|x a＋y b|＝1得，x2＋y2＋2xycos θ＝1.又设x＋2y＝t，则x＝t－2y，代入x2＋y2＋2xycos θ＝1，得(5－4cos θ)y2＋(2cos θ－4)ty＋t2－1＝0.所以Δ≥0，即(2cos θ－4)2t2－4(5－4cos θ)(t2－1)≥0，整理得t2≤，所以≥，解得≤cos θ≤，于是a·b＝cos θ≥.经检验，此时xy≥0符合要求，故a·b的最小值为.
二、填空题
19．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________； ·的最大值为________．
解析：法一：以，为基向量，设＝λ (0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为(t,0) (0≤t≤1)可得·＝(t, －1) ·(0, －1)＝1, ·＝(t, －1) ·(1, 0)＝t≤1，
故·＝1，·的最大值为1.
答案：1 1
20．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足|BM|＝3|CM|，若＝x＋y，则xy＝________.
解析：因为＝＋＝＋，＝－，所以＝＋(－)＝－，所以x＝－，y＝，故xy＝－.
答案：－
21.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：设＝t.∵D在圆外，∴t<－1，又D，A，B共线，
∴存在λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
22．A，B，C为单位圆上三个不同的点，若∠ABC＝，＝m＋n，(m，n∈R)，则m＋n最小值为________．
解析：因为∠ABC＝，所以∠AOC＝，不妨设A(1,0)，C(0,1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈，则cos θ＝m，sin θ＝n?m＋n＝cos θ＋sin θ＝sin≥－，当且仅当θ＝时取等号．
答案：－
三、解答题
23.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解：法一：在△ADM中，
＝－＝c－，①
在△ABN中，＝－＝d－，②
由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝ b，＝a，于是有：
解得
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
24．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值．
解：(1)当A＝90°时，
∵⊥，∴·＝0.
∴2×1＋3k＝0，解得k＝－.
(2)当B＝90°时，∵⊥，
又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，
∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，
解得k＝.
(3)当C＝90°时，
∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，
即k2－3k－1＝0.∴k＝.
综上可得k的值为－或或.
25．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，
得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.
(2) b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
|b＋c|2＝sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＋16cos2β－32cos βsin β＋16sin2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a∥b.
