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专题跟踪检测（一） 集合与函数概念
一、选择题
1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B.0或3
C．1或 D．1或3
解析：选B 根据集合运算的定义求解．由A∪B＝A，可得B?A，所以m＝3或m＝，m≠1，解得m＝3或0，故选B.
2．设集合A＝{x∈R|x＋1≥0且x－3≤0}，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B等于( )
A．{x|2
C．{2,3} D．{x|－1≤x＜2}
答案：B
3．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3>0}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：选A由Venn图可知，阴影部分所表示的集合为(?UM)∩N，而?UM＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，故(?UM)∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.
4．已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B.3?B
C．A∪B＝B D．A∩B＝B
解析：选D 因为函数y＝lg(x＋3)的定义域是(－3，＋∞)，所以A＝(－3，＋∞)，所以－3?A，故A错误；又3∈B，故B错误；因为B?A，所以A∪B＝A，A∩B＝B，故C错误，D正确，故选D.
5．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．－7 B.7
C．－5 D．5
解析：选B 根据函数y＝f(x)＋x是偶函数，得f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，则f(－2)＝f(2)＋4＝7，故选B.
6．(2018年4月浙江省学考T11)用列表法将函数f(x)表示为
x
1
2
3
f(x)
－1
0
1
，则( )
A．f(x＋2)为奇函数 B.f(x＋2)为偶函数
C．f(x－2)为奇函数 D．f(x－2)为偶函数
解析：选A 令x＋2分别为1,2,3，解得x＝－1,0,1.则g(x)＝f(x＋2)为奇函数，故选A.
7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B.(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A 函数f(x)＝即函数f(x)在(－∞，－a)上是减函数，在[－a，＋∞)上是增函数，要使函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，则－a≥－1，即a≤1，故选A.
8．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B.1
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
9．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B.2
C．3 D．－1
解析：选A 因为f[g(1)]＝1,且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.
10．若函数f(x)＝x(3x＋m·3－x)(m∈R)为奇函数，则m的值为( )
A．1 B.－1
C．0 D．3
答案：A
11．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B.[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,2]
解析：选C 法一：依题意f(1)＝3，当a＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于或由此解得0法二：由f(x)＝＝x2＋2|x|为偶函数，所以f(－a)＋f(a)＝2f(a)＝2f(|a|)≤2f(1)，即f(|a|)≤f(1)，又可判断f(x)在[0，＋∞)为增函数，所以|a|≤1，故选C.
12．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )
A．－2x＋1 B.2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
13．令[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[－2]＝－2，[2.1]＝2，则函数f(x)＝x－[x]，x∈(－2,1.5]的图象大致是( )
答案：A
14．已知函数f(x)满足f(4＋x)＝f(－x)．当x1，x2∈(－∞，2)时，>0；当x1，x2∈(2，＋∞)时，<0.若x14，则f(x1)，f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不确定
解析：选B 易知f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．由f(4＋x)＝f(－x)，得f(4－x)＝f(x)．∵x14，∴若2f(x2)；若x1<24得x2>4－x1，∵x1<2，∴4－x1>2.则f(x2)f(x2)．
15．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B.{x|－2C．{x|x<0或x>4} D．{x|0解析：选C 由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)·(ax＋b)，(2a－b)·x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.
则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．
又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.
f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.
16．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)已知函数f(x)＝此函数的“友好点对”有( )
A．0对 B.1对
C．2对 D．3对
解析：选C 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.故选C.
17．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A-B-C-M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积y为因变量的函数的图象形状大致是( )
解析：选A 当点P在AB上(x∈[0,1))运动时，S△APM逐渐增大；当点P在BC(x∈[1,2))上时，S△APM逐渐减小；当点P在CM(x∈[2,2.5])上时，S△APM减小得更快且减到零．结合图象知A正确．
18．设函数f(x)＝x＋(0≤x≤2)．若当x＝0时函数值最大，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.(－∞，1]
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：选C 因为f(x)＝x＋1＋－1(0≤x≤2)，令x＋1＝t，则f(x)＝g(t)＝t＋－1(1≤t≤3)，由题意知当t＝1时函数取得最大值．当a≤0时，函数g(t)＝t＋－1(1≤t≤3)为增函数，不满足题意；当≤1时，函数在[1,3]上为增函数，同样不满足题意；当1<<3时，函数在[1， ]上单调递减，在[，3]上单调递增，故有?3≤a＜9；当≥3时，函数在[1,3]上单调递减，符合题意．综上可知a的取值范围是[3，＋∞)，故选C.
二、填空题
19．函数f(x)＝的定义域为________，其值域为________．
解析：由题可得，4－x2≥0，解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为－2≤x≤2，所以0≤4－x2≤4，所以0≤≤2，所以函数f(x)的值域为[0,2]．
答案：[－2,2] [0,2]
20．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝符合要求；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.故a＝0或.
答案：0或
21．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)．又x<0时，f(x)＝x＋ex，所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－f＝－ln－＝ln 6－.
答案：ln 6－
22．已知函数f(x)是奇函数，当1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，函数f(x)的取值范围为________．
解析：因为函数是奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)．因为－4≤x≤－1，所以1≤－x≤4，则f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋5＝x2＋4x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1.所以当x＝－2∈[－4，－1]时，f(x)max＝－1，当x＝－4时，f(x)min＝－5.
答案：[－5，－1]
三、解答题
23．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A?(?RB)，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝[0,3]，
所以所以m＝2.
(2)?RB＝{x|xm＋2}，因为A?(?RB)，
所以m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<－3}．
24．已知函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)在区间(0,1)和(1，＋∞)上的单调性；
(2)当0(3)若存在实数a，b(1解：(1)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当01.
∴－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由题意知即
∴a，b为方程1－＝mx的解，即mx2－x＋1＝0(m>0)在(1，＋∞)上的两个不相等的实数根，
∴解得0即实数m的取值范围为.
25．已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，x∈[1,6]，a∈R.
(1)若a＝1，试判断并证明函数f(x)的单调性；
(2)当α∈(1,6)时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．
解：(1)判断：若a＝1，函数f(x)在[1,6]上是增函数．
证明：当a＝1时，f(x)＝x－，
在区间[1,6]上任意x1，x2，设x1f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝<0.
(2)因为a∈(1,6)，
所以f(x)＝
①当1所以当x＝6时，f(x)取得最大值为.
②当3而f(3)＝2a－6，f(6)＝，
当3当，当x＝3时，函数f(x)取最大值为2a－6.
综上得，M(a)＝
专题一集合与函数概念
[备考学什么——以纲忆知]
一、集 合
知识条目
要求
知识条目
要求
1.集合的含义与表示
①集合的含义
②集合元素的特性
③集合的相等
④集合与元素关系
⑤常用数集的记法
⑥集合的表示法
a
a
a
a
a
b
2.集合间的基本关系
①子集、真子集的概念
②空集的概念
b
b
3.集合的基本运算
①并集的含义
②交集的含义
③全集与补集
b
b
b
[说明] 普通高中数学学业水平考试对考试内容掌握要求分为四个层次，从低到高依次为：了解、理解、掌握、综合应用，分别用a，b，c，d来表示．
1．集合的含义与表示
(1)集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
(2)集合元素的特性：确定性、互异性和无序性．
(3)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A；a不是集合A的元素,记作a?A.
(4)常用数集：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
(5)集合的表示方法：列举法，描述法，图示法．
2．集合间的基本关系
(1)子集的概念：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作A?B(或B?A)．
[提醒] 当A?B且B≠?时，A有两种情况，即A＝?与A≠?.
(2)真子集的概念：如果集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)空集的概念：不含任何元素的集合叫做空集，记作?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的运算
(1)并集的定义：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
(2)交集的定义：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
(3)补集的定义：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
二、函数及其表示
知识条目
要求
知识条目
要求
1.函数的概念
①函数的概念
②函数符号y＝f(x)
③函数的定义域
④函数的值域
⑤区间的概念及其表示法
b
b
b
b
a
2.函数的表示法
①函数的解析法表示
②函数的图象法表示，描点法作图
③函数的列表法表示
④分段函数的意义与应用
⑤映射的概念
b
b
a
b
a
1.函数的概念
(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域，对应关系，值域．
(3)区间的概念及其表示法
设a，b是两个实数，而且a①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]．
②满足不等式a③满足不等式a≤x＜b或a2．函数的表示法
(1)函数的常用表示方法：解析法、图象法、列表法．
(2)分段函数：如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，存在着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域为各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)映射：设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．函数是特殊的映射，是从一个非空数集到另一非空数集的映射．
三、函数的基本性质
知识条目
要求
知识条目
要求
1.单调性与最大(小)值
①增函数、减函数的概念
②函数的单调性、单调区间
③函数的最大值和最小值
b
c
c
2.奇偶性
①奇函数、偶函数的概念
②奇函数、偶函数的性质
b
c
1.函数的单调性
(1)增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(2)函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上是增(减)函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最大值与最小值
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；②存在x0∈I，使f(x0)＝M.那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
(2)性质：定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值．
3．函数的奇偶性
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶(奇)函数．
(2)性质：
①偶函数的图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；
②奇函数在对称的两个区间内单调性相同，偶函数在对称的两个区间内单调性相反；
③在公共定义域内：两个奇函数的积和商(分母不为零)为偶函数；两个奇函数的和为奇函数；两个偶函数的和、积与商(分母不为零)均为偶函数；一奇一偶函数的积与商(分母不为零)为奇函数．
[学考怎样考——真题导析]
1．(2018年4月浙江省学考T1)已知集合P＝{x|0≤x<1}，Q＝{x|2≤x≤3}，记M＝P∪Q，则( )
A．{0,1,2}?M B.{0,1,3}?M
C．{0,2,3}?M D．{1,2,3}?M
解析：选C M＝P∪Q＝[0,1)∪[2,3]，则1?M，排除A，B，D，故选C.
2．(2017年11月浙江省学考T1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,3} B.{1,2,3}
C．{1,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：选D A∪B＝{1,2,3}∪{1,3,4}＝{1,2,3,4}．
3．(2018年6月浙江省学考T1)已知集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝( )
A．{1} B.{2}
C．{1,2} D．{1,2,3}
解析：选B 由集合交集的定义可知A∩B＝{2}．
4．(2017年4月浙江省学考T1)已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，则?UA＝( )
A．{1,2} B.{1,4}
C．{2,3} D．{2,4}
解析：选D ?UA＝{2,4}．故选D.
5．(2018年4月浙江省学考T2)函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．{x|x>0} B.{x|x≥0}
C．{x|x≠0} D．R
解析：选A 若使函数有意义，必须即x＞0.
6．(2017年11月浙江省学考T9)函数f(x)＝x·ln|x|的图象可能是( )
解析：选D 因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－x·ln|－x|＝－xln|x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除A、C，又f＝ln＝－ln 2<0，故选D.
7．(2017年11月浙江省学考T25)已知函数g(x)＝－t·2x＋1－3x＋1，h(x)＝t·2x－3x，其中x，t∈R.
(1)求g(2)－h(2)的值(用t表示)；
(2)定义[1，＋∞)上的函数f(x)如下：
f(x)＝ (k∈N*)．
若f(x)在[1，m)上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．
解：(1)g(2)－h(2)＝t·22＋1－32＋1－(t·22－32)＝－12t－18.
(2)由g(2)≥h(2)及h(3)≥g(3)，得－≤t≤－，
此时g(4)－h(4)＝－48t－162<0，
所以m≤4.
①任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x12x1＋1>0.
即g(x1)>g(x2)．
从而g(x)在[1，＋∞)上为减函数，故g(x)在[1,2)和[3,4)上都是减函数．
②因为－≤t≤－，所以h(x)＝t·2x－3x在[2,3)上为减函数．
综上所述，f(x)在[1，m)上是减函数，实数m的最大值为4，此时t的取值范围是.
8．(2018年6月浙江省学考T25)设函数f(x)＝3|ax|－(x＋a)2，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
(2)若对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x)≥－1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝
①当x≤0时，f(x)＝－2＋，此时f(x)∈；
②当x>0时，f(x)＝－2－，此时f(x)∈，
由①②得f(x)的值域为 .
(2)因为对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x)≥－1，
所以
即
解得－1≤a≤0.
下面证明，当a∈[－1,0]时，对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x)≥－1，
①当a≤x≤0时，f(x)＝－x2＋ax－a2，
f(a)＝f(0)＝－a2≥－1，故f(x)≥min{f(a)，f(0)}≥－1成立；
②当0≤x≤a＋1时，f(x)＝－x2－5ax－a2，
f(a＋1)≥－1，f(0)≥－1，故f(x)≥min{f(a＋1)，f(0)}≥－1成立，
由此，对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x)≥－1.
所以实数a的取值范围为[－1,0]．
[考情分析]
(1)集合是必考知识点，经常以不等式、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，有时也会出现一些集合的新定义问题．
(2)对函数的三要素、函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．
(3)函数图象和性质是学考的重点和热点．对图象的考查主要是识图和用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，难度较大．
集合的运算
[典题例析]
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7,8}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．(?UA)∩(?UB) D．(?UA)∪(?UB)
解析：因为A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，所以?UA＝{1,2,6,7,8}，?UB＝{2,4,5,7,8}，所以(?UA)∩(?UB)＝{2,7,8}．故选C.
答案：C
2．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.
解：由9∈A，可知x2＝9，或2x－1＝9，解得x＝±3，或x＝5.当x＝3时，x－5＝1－x＝－2，舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意；当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，A∩B＝{－4,9}，不合题意，舍去．综上所述，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
[类题通法]
集合运算问题的解题策略
(1)集合表示形式的选择：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时一定要注意端点的情况．
(2)注意参数讨论中的空集：当集合中的元素未确定，特别是与字母有关时，一定要注意对字母的讨论，特别要注意空集的情况．
(3)讨论后要检验：对于离散型含字母的集合，求出字母后要注意检验，是否满足集合元素的互异性．
[即时应用]
1．设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{x|x－3<0，x∈N}，则?UA＝( )
A．{4,5} B.{3,4,5}
C．{0,3,4,5} D．{x|x≥3}
解析：选B 因为A＝{0,1,2}，U＝{0,1,2,3,4,5}，所以?UA＝{3,4,5}．故选B.
2．已知a，b∈R，集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，解得a＝1，所以b＝2.所以A∪B＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
3．已知集合M＝{(x，y)|y＝3x－2}，N＝{(x，y)|y＝x2，x>0}，则M∩N＝____________.
解析：由题意可得解得或
所以M∩N＝{(1,1)，(2,4)}．
答案：{(1,1)，(2,4)}
4．已知A＝{x|ax2－2x－3＝0}，B＝{x|－3解：①当a＝0时，由ax2－2x－3＝0解得x＝－，A∩B≠?，故a≠0；
②当a<－时，Δ＝4＋12a<0，A＝?，则A∩B＝?；
③当a＝－时，Δ＝0，A＝{－3}，A∩B＝?；
④当－⑤当a>0时，<0<，要使A∩B＝?，则应满足该不等式组无解．
综合①②③④⑤可知，实数a的取值范围为.
函数及其表示
[典题例析]
1．已知函数f(x)＝则下列函数的图象错误的是( )
解析：先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0答案：D
2．求函数f(x)＝＋log2的值域．
解：由解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1,2)，又当x∈[1,2)时，f(x)＝＋log2(x＋3)－log2(2－x)在[1,2)上为增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝求分别满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)f(2)>f(1)；
(2)f(x)在R上为增函数．
解：(1)由f(2)>f(1)可得a2>4－a＋2，即a2＋a－6>0，解得a<－3或a>2，又a>0，且a≠1，所以a>2，故a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)若f(x)在R上为增函数，应满足解得3≤a<4，故a的取值范围为[3,4)．
[类题通法]
1．函数图象问题的处理方法
(1)用描点法或变换法作函数图象．
(2)函数图象辨识时可从以下几个方面入手：
从图象的左右、上下分布函数的定义域、值域，
从图象的循环反复函数的周期性，
从图象的对称函数的奇偶性，
从图象的变化趋势函数的单调性．
2．函数定义域的求解策略
函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．使函数解析式有意义的条件可能有多个，在求解时，要充分考虑不能漏掉．注意以下几点：
当f(x)是分式时
其定义域就是使分母不为0的实数的集合
当f(x)是偶次根式时
其定义域就是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
当f(x)是指数式时
其定义域就是使底数大于0且不等于1的实数的集合
3.函数值域的求解策略
对于一个函数来说，当其对应关系与定义域确定时，其函数的值域也随之确定．因此函数的值域要根据函数的定义域与对应关系来处理．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、换元法等，有时也可以根据函数的图象直接得到函数的值域．
4．分段函数2种题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
[即时应用]
1．下列图象中，不能成为y关于x的函数图象的是( )
解析：选C 根据函数的定义，每个x值都有唯一的函数值y与之对应．对比选项可知，选C.
2．(2018年6月浙江省学考T2)函数y＝log3(x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B.[－1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选A 要使函数有意义，需满足x＋1>0，即x>－1，所以原函数定义域为(－1，＋∞)．
3．(2017年4月浙江省学考T4)函数y＝3x的值域为( )
A．(0，＋∞) B.[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0,3]
解析：选A 因为x∈R，所以3x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)．故选A.
4．已知函数f(x)＝则f(2 017)的值为( )
A．2 022 B.7
C．3 D．2
解析：选D 因为2 017>0，所以f(2 017)＝f(2)＝f(－3)＝－3＋5＝2.故选D.
5．设f(x)＝若f[f(2)]＝4，则实数a的值为________．
解析：f(2)＝2－3＝－1，所以f[f(2)]＝f(－1)＝－1＋a＝4，即a＝5.
答案：5
函数的基本性质
[典题例析]
已知函数f(x)＝ax＋＋，a∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减；
(3)若对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式(x－1)·≥0恒成立，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)为奇函数，理由如下：
因为f(－x)＝－ax＋＋＝－＝－f(x)，又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}，所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(0,1)，设x12,0<(x－1)·(x－1)<1，所以>2>a，所以a－<0.
又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x) 在(0,1)上单调递减．
(3)因为(x－1)＝(x－1)·＝＝，
所以不等式ax2(x2－1)＋2≥0对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)恒成立．令函数g(t)＝at2－at＋2，其中t＝x2，t>0且t≠1.
①当a<0时，抛物线y＝g(t)开口向下，不合题意；
②当a＝0时，g(t)＝2>0恒成立，所以a＝0符合题意；
③当a>0时，因为g(t)＝a2－＋2，
所以只需－＋2≥0，即0综上，a的取值范围是[0,8]．
[类题通法]
1．定义法判断或证明函数单调性的方法步骤
(1)取值：设x1，x2为给定区间内任意两个值，且x1(2)作差(商)变形：作差或作商，并将差(商)向有利于判断差(商)值的符号的方向变形．
(3)定号：判断符号的依据是自变量的取值范围，假定的大小关系及符号的运算法则．
(4)判断：根据定义得出结论．
2．判断函数奇偶性的思路方法
在判断一个函数的奇偶性时，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)相等还是互为相反数．
常用方法有：定义法、图象法、性质法等．
[即时应用]
1．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)>f(0)>f(1) B.f(－2)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0)
解析：选B 因为函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以f(－2)＝f(2)>f(1)>f(0)．故选B.
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－(2＋1)＝－3.
答案：－3
3．若函数f(x)＝|x－2|·(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|·(x－4)＝在坐标系中画出函数f(x)的图象，如图，则可得函数f(x)的递减区间是[2,3]，而函数f(x)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，所以应有解得≤a≤.
答案：
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，求满足f(2x－1)解：f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，故f(2x－1)[基础随堂巩固]
一、选择题
1．设集合A＝{1,3，x}，B＝{1,2}，若A∪B＝{1,2,3,4}，则x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：D
3．设P(a，b)是函数f(x)＝x3图象上的任意一点，则下列各点中一定在该图象上的是( )
A．P1(a，－b) B.P2(－a，－b)
C．P3(－|a|，b) D．P4(|a|，－b)
解析：选B 由题知f(a)＝b，则f(－a)＝－f(a)＝－b.
4．若函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，则f(2)的值为( )
A．2 B.4
C．－2 D．－4
解析：选B 由f(x)是奇函数，知f(2)＋f(－2)＝0，即2(2－a)＋2(－2－a)＝0，得a＝0，f(x)＝|x|x，f(2)＝4.
5．下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－ B.y＝2x
C．y＝log2x D．y＝2x
解析：选B A项中y＝－是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数，但不能说在定义域上是增函数，C，D两项中的函数不是奇函数，只有B项符合题意，故选B.
二、填空题
6．已知f(x)＝则f(1)＝________，f(f(3))＝________.
解析：依题意，f(1)＝－log31＝0，f(3)＝－log33＝－1，故f(f(3))＝f(－1)＝3.
答案：0 3
7．设集合A＝{x|－10}，则(?RB)∪A＝________.
答案：{x|x<2}
8．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________.
解析：因为x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2，f(3)＝11.
答案：11
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若b>1，g(x)＝f(x)＋mx在[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在[2,3]上单调递增，
故即所以
②当a<0时，f(x)在[2,3]上单调递减，
故即所以
所以f(x)＝x2－2x＋2或f(x)＝－x2＋2x＋5.
(2)因为b>1，
所以f(x)＝－x2＋2x＋5，
所以g(x)＝－x2＋(m＋2)x＋5在[2,4]上为单调函数，
故≤2或≥4，所以m≤2或m≥6，
即实数m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
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一、选择题
1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B.0或3
C．1或 D．1或3
解析：选B 根据集合运算的定义求解．由A∪B＝A，可得B?A，所以m＝3或m＝，m≠1，解得m＝3或0，故选B.
2．设集合A＝{x∈R|x＋1≥0且x－3≤0}，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B等于( )
A．{x|2C．{2,3} D．{x|－1≤x＜2}
答案：B
3．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3>0}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：选A 由Venn图可知，阴影部分所表示的集合为(?UM)∩N，而?UM＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，故(?UM)∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.
4．已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B.3?B
C．A∪B＝B D．A∩B＝B
解析：选D 因为函数y＝lg(x＋3)的定义域是(－3，＋∞)，所以A＝(－3，＋∞)，所以－3?A，故A错误；又3∈B，故B错误；因为B?A，所以A∪B＝A，A∩B＝B，故C错误，D正确，故选D.
5．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．－7 B.7
C．－5 D．5
解析：选B 根据函数y＝f(x)＋x是偶函数，得f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，则f(－2)＝f(2)＋4＝7，故选B.
6．(2018年4月浙江省学考T11)用列表法将函数f(x)表示为
x
1
2
3
f(x)
－1
0
1
，则( )
A．f(x＋2)为奇函数 B.f(x＋2)为偶函数
C．f(x－2)为奇函数 D．f(x－2)为偶函数
解析：选A 令x＋2分别为1,2,3，解得x＝－1,0,1.则g(x)＝f(x＋2)为奇函数，故选A.
7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B.(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A 函数f(x)＝即函数f(x)在(－∞，－a)上是减函数，在[－a，＋∞)上是增函数，要使函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，则－a≥－1，即a≤1，故选A.
8．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B.1
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
9．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B.2
C．3 D．－1
解析：选A 因为f[g(1)]＝1,且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.
10．若函数f(x)＝x(3x＋m·3－x)(m∈R)为奇函数，则m的值为( )
A．1 B.－1
C．0 D．3
答案：A
11．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B.[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,2]
解析：选C 法一：依题意f(1)＝3，当a＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于或由此解得0法二：由f(x)＝＝x2＋2|x|为偶函数，所以f(－a)＋f(a)＝2f(a)＝2f(|a|)≤2f(1)，即f(|a|)≤f(1)，又可判断f(x)在[0，＋∞)为增函数，所以|a|≤1，故选C.
12．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )
A．－2x＋1 B.2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
13．令[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[－2]＝－2，[2.1]＝2，则函数f(x)＝x－[x]，x∈(－2,1.5]的图象大致是( )
答案：A
14．已知函数f(x)满足f(4＋x)＝f(－x)．当x1，x2∈(－∞，2)时，>0；当x1，x2∈(2，＋∞)时，<0.若x14，则f(x1)，f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不确定
解析：选B 易知f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．由f(4＋x)＝f(－x)，得f(4－x)＝f(x)．∵x14，∴若2f(x2)；若x1<24得x2>4－x1，∵x1<2，∴4－x1>2.则f(x2)f(x2)．
15．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B.{x|－2C．{x|x<0或x>4} D．{x|0解析：选C 由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)·(ax＋b)，(2a－b)·x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.
则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．
又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.
f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.
16．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)已知函数f(x)＝此函数的“友好点对”有( )
A．0对 B.1对
C．2对 D．3对
解析：选C 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.故选C.
17．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A-B-C-M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积y为因变量的函数的图象形状大致是( )
解析：选A 当点P在AB上(x∈[0,1))运动时，S△APM逐渐增大；当点P在BC(x∈[1,2))上时，S△APM逐渐减小；当点P在CM(x∈[2,2.5])上时，S△APM减小得更快且减到零．结合图象知A正确．
18．设函数f(x)＝x＋(0≤x≤2)．若当x＝0时函数值最大，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.(－∞，1]
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：选C 因为f(x)＝x＋1＋－1(0≤x≤2)，令x＋1＝t，则f(x)＝g(t)＝t＋－1(1≤t≤3)，由题意知当t＝1时函数取得最大值．当a≤0时，函数g(t)＝t＋－1(1≤t≤3)为增函数，不满足题意；当≤1时，函数在[1,3]上为增函数，同样不满足题意；当1<<3时，函数在[1， ]上单调递减，在[，3]上单调递增，故有?3≤a＜9；当≥3时，函数在[1,3]上单调递减，符合题意．综上可知a的取值范围是[3，＋∞)，故选C.
二、填空题
19．函数f(x)＝的定义域为________，其值域为________．
解析：由题可得，4－x2≥0，解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为－2≤x≤2，所以0≤4－x2≤4，所以0≤≤2，所以函数f(x)的值域为[0,2]．
答案：[－2,2] [0,2]
20．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝符合要求；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.故a＝0或.
答案：0或
21．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)．又x<0时，f(x)＝x＋ex，所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－f＝－ln－＝ln 6－.
答案：ln 6－
22．已知函数f(x)是奇函数，当1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，函数f(x)的取值范围为________．
解析：因为函数是奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)．因为－4≤x≤－1，所以1≤－x≤4，则f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋5＝x2＋4x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1.所以当x＝－2∈[－4，－1]时，f(x)max＝－1，当x＝－4时，f(x)min＝－5.
答案：[－5，－1]
三、解答题
23．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A?(?RB)，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝[0,3]，
所以所以m＝2.
(2)?RB＝{x|xm＋2}，因为A?(?RB)，
所以m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<－3}．
24．已知函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)在区间(0,1)和(1，＋∞)上的单调性；
(2)当0(3)若存在实数a，b(1解：(1)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当01.
∴－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由题意知即
∴a，b为方程1－＝mx的解，即mx2－x＋1＝0(m>0)在(1，＋∞)上的两个不相等的实数根，∴解得0即实数m的取值范围为.
25．已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，x∈[1,6]，a∈R.
(1)若a＝1，试判断并证明函数f(x)的单调性；
(2)当α∈(1,6)时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．
解：(1)判断：若a＝1，函数f(x)在[1,6]上是增函数．
证明：当a＝1时，f(x)＝x－，
在区间[1,6]上任意x1，x2，设x1f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝<0.
(2)因为a∈(1,6)，所以f(x)＝
①当1所以当x＝6时，f(x)取得最大值为.
②当3而f(3)＝2a－6，f(6)＝，
当3当，当x＝3时，函数f(x)取最大值为2a－6.
综上得，M(a)＝
