学考第23题(一)三角函数与解三角形问题
1．利用正、余弦定理解决解三角形问题的一般思路
(1)定条件：正确分析三角形中的已知和所求，确定转化的方向．
(2)定工具：根据已知条件合理选择正弦定理、余弦定理等工具进行三角形中边角关系的互化．
(3)求结果：利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理、大边对大角、三角形面积公式等知识求出三角形的基本量．
2．已知三角函数解析式求解函数性质问题的一般思路
(1)利用三角恒等变换将给出的三角函数解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，三角函数解析式化简的关键：①找差异，主要观察角、三角函数名称、运算间的差异；②抓联系，运用相关公式，寻找差异间的联系；③促转化，选择恰当公式，促进差异转化．
(2)根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的相关性质与图象进行求解．
三角函数的图象与性质
[典例1] (本题满分10分)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的最小值．
[解题思路]
第一步：将函数解析式化简为“一角一函数型”，即f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：利用三角函数的周期公式，求得函数的最小正周期；
第三步：利用整体代换，结合三角函数的图象，求得函数的最小值．
[规范解答]
解：f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.(3分)
(1)由三角函数的周期公式，得函数的最小正周期为T＝＝π.(5分)
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.(7分)
由正弦曲线的图象知，当2x＋＝－，x＝－时，
f(x)min＝f＝sin＋＝.(10分)
[名师点拨]
1．求三角函数的周期通常情况下需要将函数化简成为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后利用T＝进行求解．
2．研究函数的单调性时要利用整体代换的思想，将ωx＋φ看成整体，然后根据正弦曲线y＝sin x的单调性，建立并求解不等式，得到函数的单调区间．求解过程中要注意A的正负对单调性的影响．
3．函数的最值或值域的几种常见形式：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B形式，再求解；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设t＝sin x(t∈[－1,1])，然后转化为关于t的二次函数形式求解；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x(t∈[－， ])，然后转化为关于t的二次函数形式求最值．在换元过程中要注意“新元”的取值范围要和“旧元”保持一致．
[变式训练]
1．已知函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g的值．
解：(1)因为函数f(x)的最大值为3，
所以A＋1＝3，解得A＝2.
因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝＝，解得ω＝2.
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)g(x)＝f＝2sin＋1
＝2sin＋1＝2cos 2x＋1.
所以g＝2cos ＋1＝＋1.
解三角形及其应用
[典例2] (本题满分10分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的大小．
[解题思路]
第一步：利用正弦定理，化角为边，得到三角形三边的等量关系；
第二步：利用三角形的周长，结合三边的等量关系，求得边AB的长；
第三步：利用三角形面积公式，得到角C两邻边的关系；
第四步：利用余弦定理，求得角C.
[规范解答]
解：(1)设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
因为sin A＋sin B＝sin C，
所以由正弦定理可得a＋b＝c.(2分)
因为a＋b＋c＝＋1，
所以c＋c＝＋1，
解得c＝1，即AB＝1.(5分)
(2)设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝sin C，
解得ab＝.(7分)
因为a＋b＝c＝，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C可得：1＝2－－cos C，解得cos C＝.(9分)
因为0
[名师点拨]
1．正弦定理是一个连比等式，反映了三角形边与其对角的比值关系，利用该关系可以边化角、角化边，实现边角的统一．
2．余弦定理反映了三角形三边一角的等量关系，利用余弦定理时要注意整体思想的应用．
3．利用两边一夹角的方式求解三角形的面积时，常利用正弦定理、余弦定理进行化简消元．
4．解三角形的应用中，还应注意利用大边对大角的性质，确定三角形的解的情况．
[变式训练]
2．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2asin B＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若边a＝2，b＋c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为2asin B＝b，
由正弦定理可得，2sin Asin B＝sin B，
因为sin B>0，所以sin A＝.
因为0(2)因为a＝2，b＋c＝2，A＝，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得
4＝(b＋c)2－2bc－bc＝12－3bc，解得bc＝.
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
三角函数与解三角形的综合问题
[典例3] (本题满分10分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若f＝2，且c2＝ab，试判断△ABC的形状．
[解题思路]
第一步：将函数化简成为Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：利用T＝求得函数的最小正周期；
第三步：代入赋值，求得角C；
第四步：利用余弦定理，判断得到a，b关系；
第五步：下结论，判断三角形的形状．
[规范解答]
解：(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，(3分)
所以T＝＝π，即函数的最小正周期为π.(5分)
(2)f＝2sin＝2，
因为0又因为c2＝ab＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab，
所以(a－b)2＝0，即a＝b.(9分)
所以△ABC是正三角形．(10分)
[名师点拨]
1．正确分析已知条件，利用三角恒等变换将给出的三角函数解析式化简为y＝Asin＋h的形式，常利用“sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β，asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝ ”等公式进行化简；根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的相关性质与图象进行计算；利用三角函数的性质求函数解析式、角、三角函数值等．
2．通过求角，将角和边联系起来，然后利用正弦定理、余弦定理、面积公式，求解三角形．
[变式训练]
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＝a2＋c2－ac.
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
解：(1)由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，所以有cos B＝.因为0(2)因为B＝，所以A＋C＝，即C＝－A，且0所以sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin.
因为0所以当A＋＝，A＝＝C时，max＝；当A＋＝或A＋＝，即A＝或A＝0时，min＝.
所以sin A＋sin C∈.
[典例1] 已知在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，求AB的长．
[技法演示]
解法一：构造向量
因为cos B＝，根据公式sin2B＋cos2B＝1，
所以sin B＝.
由sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
得sin A＝.
根据正弦定理＝，得＝，
解得a＝BC＝7.
因为－＝，所以(－)2＝()2，
即||2＋||2＋2||||cos A＝||2，
解得||＝5，
所以AB的长为5.
[点评]
此方法把解三角形和平面向量联系在一起，虽然过程稍微复杂，但是其中所体现出的数学思想是值得大家借鉴的，在平面向量数量积运算中，涉及两向量夹角的余弦值，因此很多时候可以将其与解三角形公式结合使用．
解法二：利用余弦定理
根据余弦定理有
cos B＝，①
cos C＝.②
联立①②，可解得AB＝5.
[点评]
此方法直接应用余弦定理列出2个方程，联立求解AB和BC的长，虽然思路很简单，容易想到，但在实际解题的过程中，计算量比较大．
解法三：利用正弦定理
因为cos B＝，根据公式sin2B＋cos2B＝1，得sin B＝.根据正弦定理：＝可解得c＝5，即AB＝5.
[点评]
这是解此题最直接的方法，先利用同角基本关系求出sin B，再利用＝求出最后的结果，在平时练习时，需要多注意总结一道题最直接的方法．
解法四：利用直角三角形中的三角函数
因为C＝，AC＝6，所以AD＝3.
设BD＝x，则AB＝，在Rt△ABD中，应用勾股定理AB2＝AD2＋BD2，将BD＝x，AB＝，代入解得x2＝32.将x2＝32代入AB＝，得AD＝5.
[点评]
此方法巧妙地将解三角形和几何图形的性质结合在一起，利用直角三角形中解三角形的定义设出未知边长，再根据题中给出的条件，解出未知数．数形结合是高中的一个基本数学思想，不仅可以用在函数、立体几何以及解析几何上，在解三角形中也有很广泛的应用．虽然此题所使用的方法较为简单，但是其中所体现的数学思想是值得大家思考的．另外，此种方法计算量小，不容易出现错误，在考试中，推荐使用此方法．
[迁移训练]
1．(2016年10月浙江学考T23)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin 2C＝cos C，其中C为锐角．
(1)求角C的大小；
(2)若a＝1，b＝4，求边c的长．
解：(1)因为sin 2C＝cos C，
所以2sin Ccos C＝cos C.
因为C为锐角，所以sin C＝.所以C＝.
(2)因为a＝1，b＝4，C＝，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋16－2×1×4×＝13，
所以c＝.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝.
(1)求b和sin A的值；
(2)求sin的值．
解：(1)在△ABC中，因为a>b，故由sin B＝，可得cos B＝.
由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B＝13，所以b＝.
由正弦定理＝，得sin A＝＝.
所以b的值为，sin A的值为.
(2)由(1)及a所以sin 2A＝2sin A·cos A＝，
cos 2A＝1－2sin2A＝－.
故sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝.
[典例2] 已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)若F(x)＝f(x)－g(x)＋1，求F(x)的最小值．
[技法演示]
(1)解法一：直接法
根据题意有f(x)＝sin xcos －cos xsin ＋cos xcos ＋sin xsin ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x.
由上可知f(α)＝sin α＝，
则有sin α＝，α∈，k∈Z.
于是有cos α＝，且g(α)＝2sin2＝1－cos α＝.
[点评]
解法一的第一步是把f(x)的解析式根据两角差的正弦、余弦公式展开化简，比较直接有效，第一步的化简是解决本题的关键．
解法二：配角法
令θ＝x－.
f＝sin θ＋cos
＝sin θ＋cos θ＋sin θ
＝sin θ＋cos θ
＝
＝sin，
即f(x)＝sin x．以下解法同解法一．
[点评]
解法二主要是运用x－＝－，然后运用两角差的余弦以及两角和正弦公式的逆用进行化简．
解法三：诱导公式转化法
sin＋cos
＝－cos＋cos
＝－cos xcos ＋sin xsin ＋cos xcos ＋sin
＝2sin xsin
＝sin x．以下解法同解法一．
[点评]
解法三主要找出了x－与x＋的内在联系，然后运用三角函数的诱导公式促使其转化．
(2)由(1)知f(x)＝sin x，
所以F(x)＝sin x－2sin2＋1＝sin x＋cos x＝2sin.
所以F(x)的最小值为－2.
[迁移训练]
3．(2017年4月浙江学考T23)已知函数f(x)＝2cos2x－1，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)设g(x)＝f＋cos 2x，求g(x)的值域．
解：(1)f＝2cos2－1＝2×2－1＝.
(2)f(x)＝2cos2x－1＝cos 2x.
所以T＝＝π，所以函数的最小正周期为π.
(3)g(x)＝f＋cos 2x＝cos＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
所以函数g(x)的值域为[－2,2]．
1．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2 sin x cos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由sin ＝，cos ＝－，f＝2－2－2××得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π，
由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
解：(1)因为a＋c＝6，b＝2，cos B＝，
所以4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac＝36－ac，
解得ac＝9.所以a＝c＝3.
(2)因为a＝c＝3，b＝2，
所以cos A＝＝＝，
所以sin A＝.
因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝.
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2，
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得：
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
4．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin，
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，
g(x)取得最小值－.
5．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中b＝3c.
(1)若cos A＝，求sin C的值；
(2)若AD是∠A的角平分线，且AD＝kAC，求k的取值范围．
解：(1)cos A＝＝＝，
∴＝2，
∴＝2，又sin A＝，
∴sin C＝.
(2)cbsin A＝c·kbsin ＋b·kbsin ，
∴k＝cos .
∵0∴k∈.
6．已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b＋c)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f＝，0<α<π，求sin α的值．
解：(1)f(x)＝a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为f＝－sin＝，
所以sin＝－.
因为0<α<π，所以<α＋<，
则cos＝－.
所以sin α＝sin＝sincos－cossin＝－×＋×＝.
7．已知f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(C)＝1，求的最大值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(C)＝sin＋＝1，
所以2C＋＝，解得C＝.
由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－ab，
所以＝2－1＝2－1≥2×2－1＝3，
当且仅当a＝b时，取等号．
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asin B－b＝0.
(1)求角A的大小；
(2)当角A为锐角时，求函数y＝sin B＋sin的值域．
解：(1)因为2asin B－b＝0，
所以由正弦定理可得，2sin Asin B－sin B＝0，
解得sin A＝.因为0(2)因为A为锐角，所以A＝.
则B＋C＝，即C＝－B，且0所以y＝sin B＋sin＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝2sin.
因为0则sin∈，2sin∈(1,2]．
即函数的值域为(1,2]．
题型专练（一） 三角函数与解三角形问题
1．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2 sin x cos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由sin ＝，cos ＝－，f＝2－2－2××得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π，
由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
解：(1)因为a＋c＝6，b＝2，cos B＝，
所以4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac＝36－ac，
解得ac＝9.所以a＝c＝3.
(2)因为a＝c＝3，b＝2，
所以cos A＝＝＝，
所以sin A＝.
因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝.
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2，
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得：
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
4．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin，
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，
g(x)取得最小值－.
5．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中b＝3c.
(1)若cos A＝，求sin C的值；
(2)若AD是∠A的角平分线，且AD＝kAC，求k的取值范围．
解：(1)cos A＝＝＝，
∴＝2，
∴＝2，又sin A＝，
∴sin C＝.
(2)cbsin A＝c·kbsin ＋b·kbsin ，
∴k＝cos .
∵0∴k∈.
6．已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b＋c)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f＝，0<α<π，求sin α的值．
解：(1)f(x)＝a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为f＝－sin＝，
所以sin＝－.
因为0<α<π，所以<α＋<，
则cos＝－.
所以sin α＝sin＝sincos－cossin＝－×＋×＝.
7．已知f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(C)＝1，求的最大值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(C)＝sin＋＝1，
所以2C＋＝，解得C＝.
由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－ab，
所以＝2－1＝2－1≥2×2－1＝3，
当且仅当a＝b时，取等号．
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asin B－b＝0.
(1)求角A的大小；
(2)当角A为锐角时，求函数y＝sin B＋sin的值域．
解：(1)因为2asin B－b＝0，
所以由正弦定理可得，2sin Asin B－sin B＝0，
解得sin A＝.因为0(2)因为A为锐角，所以A＝.
则B＋C＝，即C＝－B，且0所以y＝sin B＋sin＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝2sin.
因为0则sin∈，2sin∈(1,2]．
即函数的值域为(1,2]．
