2019年数学浙江学考新一线同步（讲义+课件+专题跟踪检测）：第一部分 专题二 基本初等函数（65张）

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专题跟踪检测（二） 基本初等函数
一、选择题
1．已知0A．bm>an B.bmC．mb>na D．mb解析：选D　∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且02．函数f(x)＝log2(2x)的图象大致是(　　)
答案：A
3．已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)
解析：选D　当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条直线；当0＜x＜1时，f(x)＝e－ln x＝.函数y＝f(x＋1)的图象为函数y＝f(x)图象向左平移1个单位长度后得到的．故选D.
4．若a＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．2a＞a＞(0.2)a B.(0.2)a＞a＞2a
C.a＞(0.2)a＞2a D．2a＞(0.2)a＞a
解析：选B　∵a＜0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
∴(0.2)a＞a＞2a，故选B.
5．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
解析：选D　两个函数的定义域均为－16．函数y＝log|x|(x∈R且x≠0)为(　　)
A．奇函数且在(－∞，0)上是减函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数且在(－∞，0)上是增函数
答案：C
7．已知f(x)＝log3|x＋1|，则f(－4)，f(0)，f(4)的大小关系为(　　)
A．f(－4)C．f(4)答案：D
8．函数y＝lg的图象关于(　　)
A．y轴对称 B.x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C　∵y＝lg＝lg，∴该函数为奇函数，图象关于原点对称．
9．若(x－3)<(1＋2x)，则x的取值范围是(　　)
A.  B．{x|x<－4}
C.  D．{x|x>－4}
解析：选A　奇函数f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)内均为减函数，所以x－3>1＋2x>0或1＋2x10．不等式>22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,4)
B．(－4，－1)
C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
解析：选B　由不等式>22ax＋a得2>22ax＋a，即x2－(4＋2a)x－a>0对一切实数x都成立，令Δ＝[－(4＋2a)]2－4(－a)<0，解得－411．若log7[log3(log2x)]＝0，则x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，解得x＝8，所以x＝8＝.故选C.
12．设函数f(x)＝|logax|(0A. B.或
C. D.或
解析：选C　作出y＝|logax|(0令|logax|＝1，得x＝a或，
又1－a－＝1－a－＝<0，
故1－a<－1，所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.故选C.
13．设函数f(x)＝若f(x)>1，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.(2，＋∞)
C．(－1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选D　因为f(x)>1，所以当x≤0时，2－x－1>1，解得x<－1；当x>0时，x>1，解得x>2；所以满足条件的x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．故选D.
14．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝(　　)
A．－2 B.2
C．3 D．－3
解析：选B　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1.
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，从而f[f(－3)]＝f(9)＝log39＝2.
15．函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(0,3] B.[0,9]
C. D．(0,9]
解析：选D　设u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以u≥－2，因为y＝u是减函数，且u>0，所以0<u≤－2＝9，即函数的值域为(0,9]．故选D.
16．若－1A. B.
C.∪ D.∪
解析：选C　因为－1>a，解得01时，<.所以满足条件的实数a的取值范围是∪.故选C.
17．已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝则不等式log2x－(log4x－1)·f(log3x＋1)≤5的解集为(　　)
A. B.[1,4]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C　原不等式等价于
或解得1≤x≤4或＜x＜1，所以原不等式的解集为.
18．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B.(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C　作出f(x)的大致图象，如图所示．
不妨设a＜b＜c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b，
所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，
所以abc＝c∈(10,12)，故选C.
二、填空题
19．(0.027)－－2＋＝________；lg22＋lg 2·lg 5＋lg 5＝________.
答案：－44　1
20．已知f(x)＝log (x2－ax－a)在上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令u(x)＝x2－ax－a，∵f(x)＝logu(x)在上是增函数，
∴u(x)在上是减函数，且u(x)>0在上恒成立．
∴即
∴－1≤a≤，即实数a的取值范围为.
答案：
21.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
22．若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由x2－logax<0得x2设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，
要使x∈时，不等式x2只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a>1时，显然不成立；
当0要使x2需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥ ，∴≤a<1.
即实数a的取值范围是.
答案：
三、解答题
23．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
24．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝logat为增函数，
∴a>1.
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
又a≠1，故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
25．定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0,2)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－2,2]上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并证明；
(3)当λ为何值时，关于x的方程f(x)＝λ在[－2,2]上有实数解？
解：(1)f(0)＝0，f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，
又f(－2)＝－f(2)，
∴f(－2)＝f(2)＝0.
当－2故f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
∴f(x)＝
(2)f(x)在(0,2)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵x1，x2∈(0,2)，且x1∴，
∴f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在(0,2)上单调递减．
(3)由(2)知，当x∈(0,2)时，f(x)∈.
∵f(x)为奇函数，
∴当x∈(－2,0)时，f(x)∈.
当x∈{0，－2,2}时，f(x)＝0.
综上所述，λ∈∪{0}∪.

专题二基本初等函数
[备考学什么——以纲忆知]
一、指数函数
知识条目
要求
知识条目
要求
1.指数与指数幂的运算
①根式的意义
②分数指数幂的意义
③无理数指数幂的意义
④有理数指数幂的运算性质
a
b
a
c
2.指数函数及其性质
①指数函数的概念
②指数函数的图象
③指数函数的性质
b
c
c
1.指数与指数幂的运算
(1)根式：如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂：
①正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定a－＝a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质：设a>0，b>0，r∈Q，s∈Q.①ar·as＝ar＋s；②(ar)s＝ars；③(ab)r＝arbr.
(4)无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质也同样适用于无理数指数幂．
2．指数函数及其性质
(1)指数函数：函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数．
(2)指数函数的图象与性质：
定义
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
性质
定义域：.
②值域：(0，＋∞)．
③过点(0,1)，即当x＝0时，y＝1.
④当a>1时，在R上是增函数，x>0时，y>1；x<0时，0当00时，01
图象特点
图象位于x轴上方；随着x增大，y＝ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行．
函数y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称
二、对数函数
知识条目
要求
知识条目
要求
1.对数与对数运算
①对数的概念
②常用对数与自然对数
③对数的运算性质
④对数的换底公式
b
a
c
a
2.对数函数及其性质
①对数函数的概念
②对数函数的图象
③对数函数的性质
④指数函数与对数函数的关系
b
c
c
a
1.对数与对数运算
(1)对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
(2)对数的性质：
①负数和零没有对数；
②1的对数为；
③底数的对数为.
(3)常用对数与自然对数：
①以10为底的对数叫做常用对数，log10N通常写成lg_N；
②以e为底的对数称为自然对数，logeN通常写成ln_N(其中e为无理数，e≈2.718 28…)．
(4)对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；④loga＝logaM.
推广：logamMn＝logaM.
(5)对数换底公式：logab＝(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)．
(6)对数恒等式：alogaN＝，logaab＝.
2．对数函数及其性质
(1)对数函数：一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)叫做对数函数．
(2)对数函数的图象及其性质：
定义
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
图象
性质
①定义域：(0，＋∞)．
②值域：.
③过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
④当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，x>1时，y>0；0当01时，y<0；00
图象特点
图象位于y轴右侧；随着x增大，y＝logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行．
函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
(3)指数函数与对数函数的关系：同底数的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且单调性相同．
三、幂函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1)
知识条目
要求
①幂函数的概念
②幂函数的图象
③幂函数的性质
a
c
c
1.幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上是增函数
在(－∞，0]上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数
公共点
(1,1)
3.幂函数的图象比较
[学考怎样考——真题导析]
1.(2018年6月浙江省学考T16)函数f(x)＝e (其中e为自然对数的底数)的图象如图所示，则(　　)
A．m>0,00，－1C．m<0,0解析：选C　函数f(x)＝e的对称轴为x＝n，由函数图象可得01时，函数f(x)＝e单调递减，所以m<0.
2．(2017年11月浙江省学考T4)log2＝(　　)
A．－2 B.－
C. D．2
解析：选A　log2＝log2(2－2)＝－2×log22＝－2.
3．(2017年4月浙江省学考T3)计算lg 4＋lg 25＝(　　)
A．2 B.3
C．4 D．10
解析：选A　lg 4＋lg 25＝lg 100＝lg 102＝2.故选A.
4．(2018年4月浙江省学考T4)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，则f(1)＝(　　)
A．1 B.log26
C．3 D．log29
解析：选C　f(1)＝log2(3＋1)＋log2(3－1)＝log24＋log22＝3.
5．(2018年6月浙江省学考T21)已知lg a－lg b＝lg(a－b)，则实数a的取值范围是________．
解析：由lg a－lg b＝lg(a－b)得a>0，b>0，a－b>0，且＝a－b，即a＝，又a>0，所以b>1，b－1>0，a＝＝＝b－1＋＝b－1＋＋2≥4，当且仅当b＝2时等号成立．
答案：[4，＋∞)
[考情分析]
基本初等函数是学考必考知识点，经常以选择、填空题的形式出现．主要有三种考查方向：
(1)以基本初等函数为知识载体，考查运算、图象性质及其应用；
(2)以基本初等函数型函数为命题背景，重点考查参数的求解和比较大小；
(3)以基本初等函数为载体的复合函数，考查函数、方程、不等式等内容结合的综合问题.
指数幂、对数的运算
[典题例析]
1．已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
解：法一：∵loga2＝m，∴am＝2.∵loga3＝n，∴an＝3.故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
法二：∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝a＝a＝12.
2．化简： (a>0，b>0)．
解：原式＝＝＝＝ab－1.
3．计算：(log43＋log83)·(log32＋log92)．
解：原式＝＝·＝×＝.
[类题通法]
指数幂、对数运算的注意事项
(1)运算形式要统一：指数幂的运算一般将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，再利用法则计算．
(2)对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活运用对数运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形．
[即时应用]
1．计算2＋－的结果是(　　)
A．1 B.2
C. D．2
解析：选B　原式＝＋＋1－1＝2.
2．lg 50－lg＝________.
解析：lg 50－lg ＝lg(50×2)＝lg 100＝2.
答案：2
3．计算log2.56.25＋lg＋ln＋的值为________．
解析：原式＝2＋(－2)＋＋2×3＝.
答案：
指数函数、对数函数、幂函数的图象
[典题例析]
1．如图所示的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±四个值，与曲线c1，c2，c3，c4对应的n依次为(　　)
A．2，，－，－2 B.2，，－2，－
C．－，－2,2， D．－2，－，，2
解析：法一：根据n的取值范围逐个比较；
法二：作直线x＝2(即取相同的自变量的值)，再比较直线与各函数图象交点的纵坐标(即各个函数对应的函数值)即可．选A.
答案：A
2．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0A．1个 B.2个
C．3个 D．4个
解析：函数y1＝x与y2＝x的图象如图：
由a＝b得a答案：B
3．已知f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，则下列各式成立的是(　　)
A．f(2)>f >f 
B．f >f(2)>f 
C．f >f(2)>f 
D．f >f>f(2)
解析：|loga2|＝，又结合函数f(x)＝|logax|的图象可知，无论01，函数在(0,1)内均单调递减，所以f >f >f ＝f (2)，选D.
答案：D
[类题通法]
1．根据图象确定解析式的方法
作与x轴(或y轴)垂直的直线，比较纵坐标(或横坐标)从而判断同一坐标系内的指数函数、对数函数、幂函数的底数或指数的大小．
2．与函数y＝|logax|有关的两个结论
(1)若ab＝1，则y＝|logax|与y＝|logbx|的图象是相同的；
(2)对于函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，|logax|＝.
[即时应用]
1．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A．00 B.a>1且b>0
C．01且b<0
解析：选C　由f(x)不经过第二、三、四象限知，02．已知函数f(x)＝|lg x|.若a≠b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C　不妨令a2，故选C.
3．已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；②x1f(x1)；④<.其中正确结论的序号是(　　)
A．①② B.①③
C．②④ D．②③
解析：选D　设函数f(x)＝xα，由点在函数图象上，得α＝，解得α＝.故f(x)＝x，所以g(x)＝xf(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，故①错误，②正确；而h(x)＝＝x为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误.
含参数的指数函数、对数函数讨论
[典题例析]
设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B.[0,1]
C. D．[1，＋∞)
解析：当a≥1时，f(a)＝2a>1，所以f(f(a))＝2f(a)，即a≥1符合题意．当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，a≥，所以≤a<1.
综上所述，a的取值范围是.
答案：C
[类题通法]
底数的讨论
无论对数式还是指数式，只要底数含未确定范围的参数，就要对参数进行讨论．
[即时应用]
1．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是(　　)
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
解析：选C　x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，
若a>1，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<，故有1若0，故有综上，a的范围为∪(1，)．
2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B.(0,1)
C．(1，＋∞) D.
解析：选D　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实数根，即函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．
当0当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．

综上，03．已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：当a>1时，要使y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，
则解得a>1.当0y＝ax2－x>0恒成立，则此时无解．综上，a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
对数函数性质的综合应用
[典题例析]
1．求函数y＝log2(x2＋2x－8)的单调递增区间．
解：令t＝x2＋2x－8，则y＝log2t为增函数，要使y＝log2(x2＋2x－8)递增，只要使
t＝x2＋2x－8递增且t>0，即解得x>2,所以单调递增区间为(2，＋∞)．
2．若函数y＝log2(x2＋2x＋a)的值域为R，求实数a的取值范围．
解：令t＝x2＋2x＋a，若y＝log2t的值域为R，则t能取到一切正实数，所以t＝x2＋2x＋a的最小值小于或等于0，即Δ＝4－4a≥0，所以a的取值范围为(－∞，1]．
[类题通法]
定义域优先原则
在解决与对数函数有关的问题时，首先要考虑其定义域，即保证真数部分为正．
[即时应用]
　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：设g(x)＝ax2－x，并假设符合条件的实数a存在．当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足解得a>，又∵a>1，∴a>1；
当0综上，当a>1时，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数．
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．下列算式正确的是(　　)
A．lg 8＋lg 2＝lg 10 B.lg 8＋lg 2＝lg 6
C．lg 8＋lg 2＝lg 16 D．lg 8＋lg 2＝lg 4
答案：C
2．函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．|a|>1 B.|a|<2
C．a< D．1<|a|<
解析：选D　由03．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则a的值为(　　)
A．－1或2 B.－2或1
C．－1 D．1
解析：选C　由幂函数的定义知得a＝－1.
4．函数f(x)＝log(x2－9)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B.(－∞，0)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选D　函数f(x)＝log(x2－9)的定义域为x2－9>0，即x<－3或x>3，又因为函数f(u)＝logu在(0，＋∞)上单调递减，函数u＝x2－9在(－∞，－3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log(x2－9)的单调递增区间为(－∞，－3)，故选D.
5．若2x＝0.02y＝100，则－＝(　　)
A．1 B.2
C．10 D．－1
解析：选A　因为2x＝0.02y＝100，所以＝log1002，＝log1000.02，所以－＝log1002－log1000.02＝log100＝log100100＝1，故选A.
二、填空题
6．设0≤x≤2，则函数f(x)＝4－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：令t＝2x(1≤t≤4)，则y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，当t＝1时，ymax＝，当t＝3时，ymin＝.
答案：　
7．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，那么f＝________.
解析：f ＝f (－log23)＝－f (log23)＝－＝－3.
答案：－3
8．若函数y＝log2(x2＋ax－3a)在[1，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：令t(x)＝x2＋ax－3a，y＝log2t为增函数，要使y＝log2(x2＋ax－3a)在[1，＋∞)单调递增，则t(x)＝x2＋ax－3a在[1，＋∞)单调递增且为正，即解得－2≤a＜，所以a的取值范围为.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．已知0A．bm>an B.bmC．mb>na D．mb解析：选D　∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且02．函数f(x)＝log2(2x)的图象大致是(　　)
答案：A
3．已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)
解析：选D　当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条直线；当0＜x＜1时，f(x)＝e－ln x＝.函数y＝f(x＋1)的图象为函数y＝f(x)图象向左平移1个单位长度后得到的．故选D.
4．若a＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．2a＞a＞(0.2)a B.(0.2)a＞a＞2a
C.a＞(0.2)a＞2a D．2a＞(0.2)a＞a
解析：选B　∵a＜0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
∴(0.2)a＞a＞2a，故选B.
5．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
解析：选D　两个函数的定义域均为－16．函数y＝log|x|(x∈R且x≠0)为(　　)
A．奇函数且在(－∞，0)上是减函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数且在(－∞，0)上是增函数
答案：C
7．已知f(x)＝log3|x＋1|，则f(－4)，f(0)，f(4)的大小关系为(　　)
A．f(－4)C．f(4)答案：D
8．函数y＝lg的图象关于(　　)
A．y轴对称 B.x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C　∵y＝lg＝lg，∴该函数为奇函数，图象关于原点对称．
9．若(x－3)<(1＋2x)，则x的取值范围是(　　)
A. 
B．{x|x<－4}
C. 
D．{x|x>－4}
解析：选A　奇函数f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)内均为减函数，所以x－3>1＋2x>0或1＋2x10．不等式>22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,4)
B．(－4，－1)
C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
解析：选B　由不等式>22ax＋a得2>22ax＋a，即x2－(4＋2a)x－a>0对一切实数x都成立，令Δ＝[－(4＋2a)]2－4(－a)<0，解得－411．若log7[log3(log2x)]＝0，则x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，解得x＝8，所以x＝8＝.故选C.
12．设函数f(x)＝|logax|(0A. B.或
C. D.或
解析：选C　作出y＝|logax|(0令|logax|＝1，得x＝a或，
又1－a－＝1－a－
＝<0，
故1－a<－1，所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.故选C.
13．设函数f(x)＝若f(x)>1，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.(2，＋∞)
C．(－1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选D　因为f(x)>1，所以当x≤0时，2－x－1>1，解得x<－1；当x>0时，x>1，解得x>2；所以满足条件的x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．故选D.
14．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝(　　)
A．－2 B.2
C．3 D．－3
解析：选B　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1.
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，从而f[f(－3)]＝f(9)＝log39＝2.
15．函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(0,3] B.[0,9]
C. D．(0,9]
解析：选D　设u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以u≥－2，因为y＝u是减函数，且u>0，所以0<u≤－2＝9，即函数的值域为(0,9]．故选D.
16．若－1A. B.
C.∪ D.∪
解析：选C　因为－1>a，解得01时，<.所以满足条件的实数a的取值范围是∪.故选C.
17．已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝则不等式log2x－(log4x－1)·f(log3x＋1)≤5的解集为(　　)
A. B.[1,4]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C　原不等式等价于
或
解得1≤x≤4或＜x＜1，
所以原不等式的解集为.
18．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B.(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C　作出f(x)的大致图象，如图所示．
不妨设a＜b＜c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b，
所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，
所以abc＝c∈(10,12)，故选C.
二、填空题
19．(0.027)－－2＋＝________；lg22＋lg 2·lg 5＋lg 5＝________.
答案：－44　1
20．已知f(x)＝log (x2－ax－a)在上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令u(x)＝x2－ax－a，∵f(x)＝logu(x)在上是增函数，
∴u(x)在上是减函数，且u(x)>0在上恒成立．
∴即
∴－1≤a≤，即实数a的取值范围为.
答案：
21.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
22．若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由x2－logax<0得x2设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，
要使x∈时，不等式x2只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a>1时，显然不成立；
当0要使x2需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥ ，∴≤a<1.
即实数a的取值范围是.
答案：
三、解答题
23．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
24．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝logat为增函数，
∴a>1.
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
又a≠1，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
25．定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0,2)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－2,2]上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并证明；
(3)当λ为何值时，关于x的方程f(x)＝λ在[－2,2]上有实数解？
解：(1)f(0)＝0，f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，
又f(－2)＝－f(2)，
∴f(－2)＝f(2)＝0.
当－2故f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
∴f(x)＝
(2)f(x)在(0,2)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵x1，x2∈(0,2)，且x1∴，
∴f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在(0,2)上单调递减．
(3)由(2)知，当x∈(0,2)时，f(x)∈.
∵f(x)为奇函数，
∴当x∈(－2,0)时，f(x)∈.
当x∈{0，－2,2}时，f(x)＝0.
综上所述，λ∈∪{0}∪.