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“专题跟踪检测”见“专题跟踪检测 (九)”
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专题跟踪检测（九） 不 等 式
一、选择题
1．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a＋－＝，所以若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立；当a＝，b＝时，不等式a＋>b＋成立，但不满足a>b>1，所以必要性不成立，故选A.
2．若正数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4
B．ab有最小值
C.＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
解析：选C 因为正数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝≥＝4，即＋有最小值4，A错误；ab≤2＝，即ab有最大值，B错误；＋＝＝＝≤＝，即＋有最大值，C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥1－2×＝，即a2＋b2有最小值，D错误，故选C.
3．若0
A．abC．2b<2a<2 D．a2解析：选C 若b＝，a＝，则ab＝，b2＝，a2＝，1>ab>b2，abloga>0，故B不正确；∵04．不等式组 的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B.{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：选C 由得即05．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x3f(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
解析：选D 由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．
6．已知关于x的不等式<2的解集为P.若1?P，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－1,0]
答案：B
7．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B.2
C．3 D．8
解析：选C y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
8．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B.1
C．1＋ D.
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2＋2＝9，又2＋2≥＝，当且仅当2x－＝2＋时等号成立，所以2≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值为－1＋.故选A.
9．不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D.∪[3，＋∞)
解析：选C ≤0可化为≥0，等价于解得x≤－或x>3，故选C.
10．(2018年4月浙江省学考T10)不等式|2x－1|－|x＋1|<1的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选B |2x－1|－|x＋1|＝由得x∈?；由得x∈；由得x∈，综上，原不等式的解集为.
11．在Rt△ABC中，已知AC＝4，BC＝1，P是斜边AB上的动点(除端点外)．设P到两直角边距离分别为d1，d2，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 以C为原点，CB，CA方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)．
则C(0,0)，A(0,4)，B(1,0)，直线AB：4x＋y－4＝0.
∵P(d1，d2)在AB上，
∴4d1＋d2－4＝0，即4d1＋d2＝4.
∵(4d1＋d2)＝5＋＋≥5＋2＝9.∴＋≥.
12.两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54 m2的直角梯形菜园(墙足够长)，则所用篱笆总长度的最小值为( )
A．16 m B.18 m
C．22.5 m D．15 m
解析：选B 设直角梯形高为x，篱笆总长为y，则直角梯形下底为y－x，上底为y－2x，由题意得＝54，化简整理得y＝＋，
又y＝＋≥2＝18，当且仅当＝，即x＝6 时等号成立．
所以篱笆长度最小值为18 m.
13．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解析：选D 由题意得，a<0，且2,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则－＝6，＝8，不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋1>0，即8x2－6x＋1>0，解得x<或x>，故选D.
14．已知a>1，则的最小值是( )
A．2＋2 B.－2＋2
C．2 D.＋2
解析：选A 由a>1得a－1>0，所以＝＝2(a－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当a＝1＋时取等号，故的最小值为2＋2，故选A.
15．若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B.3
C．4 D．5
解析：选C 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4.
16．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B.4
C．3 D．6
解析：选C 如图△PQR为线性区域，区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成了线段R′Q′，即AB，而R′Q′＝RQ，由得Q(－1,1)，由得R(2，－2)，
|AB|＝|QR|＝＝3.故选C.
17．如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B.18
C．25 D.
解析：选B ①当m＝2时，f(x)＝(n－8)x＋1，
则0≤n<8，所以0≤mn<16.
②m＞2时，抛物线的对称轴为x＝－.
根据题意得－≥2，即2m＋n≤12，
所以≤≤6，
所以mn≤18，当且仅当m＝3，n＝6时取等号．
③当m＜2时，由题意得－≤，即2n＋m≤18，所以≤≤9，所以mn≤，
由2n＋m＝18，且2n＝m，得m＝9(舍去)．
要使得mn取得最大值，应有2n＋m＝18(m＜2，n＞8)，
所以mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综上所述，mn的最大值为18.
18．已知a，b是正数，且满足2A. B.
C. D.
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域，如图，z＝的几何意义为区域内的点P(a，b)与定点A(－1，－1)连线的斜率．
由图象可知当P点位于点B(4,0)时，直线AP的斜率最小，即z＝的最小值为＝；当P点位于点C(0,2)时，直线AP的斜率最大，即z＝的最大值为＝3，所以的取值范围为，故选A.
二、填空题
19．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若－1，S5，S10成等差数列，则S10－2S5＝________，且S15－S10的最小值为________．
解析：－1，S5，S10成等差数列，所以2S5＝S10－1，所以S10－2S5＝1.又由等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，所以S15－S10＝＝＝＝S5＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当S5＝1时取到最小值．
答案：1 4
20．已知a∈R，b>0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．
解析：因为(a＋b)b＝1，所以a＋b＝，b>0，a＋b>0，又(a＋b)b≤2＝，所以a＋2b≥2，所以a＋＝a＋＝a＋2b≥2.
答案：2
21．若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．
解析：当x，y满足x2＋y2≤1时，6－x－3y>0.由
?5x2－8x＋3＝0?x＝或x＝1，直线2x＋y－2＝0把单位圆分成如图所示的两部分．
①当(x，y)在阴影部分内时，2x＋y－2≥0，则原式＝2x＋y－2＋6－x－3y＝x－2y＋4，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.
②当(x，y)在另一部分内时，2x＋y－2≤0，则原式＝－2x－y＋2＋6－x－3y＝－3x－4y＋8，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.
综上，原式的最小值为3.
答案：3
22．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
解析：在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tan Btan C－1＞0，∴tan Btan C＞1.
由①得tan Btan C＝.
又由tan Btan C＞1得＞1，∴tan A＞2.
∴tan Atan Btan C＝
＝
＝(tan A－2)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．
故tan Atan Btan C的最小值为8.
答案：8
三、解答题
23．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|＞1，等价于或或解得所以不等式f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
所以△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2＞6，解得a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
24．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N*)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
解：(1)依题意得
解得又n∈N*，所以n＝6.
(2)由题知s＝＋≤12.6，即v2＋24v－5 040≤0，
解得－84≤v≤60.因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.
25．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＝2，当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值不大于7，求b＋c的最大值；
(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[－1,1]恒成立时，都有|ax＋b|≤M对任意的x∈[－1,1]恒成立，求M的最小值．
解：(1)由题意知，f(x)＝2x2＋bx＋c，当x∈[－1,3]时，f(x)≤7恒成立，即f(x)max≤7.
①当－≤1，即b≥－4时，f(x)max＝f(3)＝18＋3b＋c≤7，得3b＋c≤－11，
故b＋c＝(3b＋c)＋2(－b)≤－11＋8＝－3.
②当－＞1，即b<－4时，f(x)max＝f(－1)＝2－b＋c≤7，得－b＋c≤5，
故b＋c＝(－b＋c)＋2b<5－8＝－3.
综上可得，(b＋c)max＝－3.
(2)当|x|≤1时，易知≤1，≤1，
故由题意知≤1，≤1，
所以|ax＋b|＝≤＋≤1＋1＝2，
故M≥2，所以M的最小值为2.
专题九不 等 式
[备考学什么——以纲忆知]
一、不等关系与不等式
知识条目
要求
①不等关系、不等式(组)的实际背景
②不等式(组)对于刻画不等关系的意义
③用不等式(组)表示、研究实际问题的不等关系
④不等式的基本性质
a
b
b
b
1.两个实数比较大小的依据
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的主要性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c.
(3)加法法则：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d.
(4)乘法法则：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd.
(5)倒数法则：a>b，ab>0?<.
(6)乘方法则：a>b>0?an>bn(n∈N，且n≥1)．
(7)开方法则：a>b>0?>(n∈N，且n≥2)．
二、一元二次不等式的解法
知识条目
要求
①从实际情境中抽象出一元二次不等式模型
②一元二次不等式的概念
③三个二次的关系
④一元二次不等式的解法
⑤一元二次不等式的实际应用
a
b
b
c
c
1.三个“二次”的关系
求一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集时，设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如表所示：
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
无实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1
?
2.解一元二次不等式的基本步骤
三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识条目
要求
1.二元一次不等式(组)与平面区域
①从实际情境中抽象出二元一次不等式模型
②二元一次不等式(组)的解集的概念
③二元一次不等式(组)的几何意义
④平面区域、边界、实线、虚线的含义
⑤二元一次不等式(组)表示平面区域
a
b
a
a
c
2.简单的线性规划
①线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念
②简单的二元线性规划问题的解法
a
c
1.二元一次不等式(组)与平面区域
(1)用二元一次不等式(组)表示平面区域：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线)．
(2)二元一次不等式表示平面区域的判断方法：对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
2．简单的线性规划
名 称
意 义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
四、基本不等式：≤
知识条目
要求
①a2＋b2≥2ab，≤的背景
②算术平均数、几何平均数的概念
③两个正变量的和或积为常数的最值问题
④基本不等式的实际应用
ｃ
c
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为， 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)积定和最小：如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2.
(2)和定积最大：如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是.
五、绝对值不等式
知识条目
要求
①绝对值三角不等式的代数证明和几何意义
②不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用
③|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
④|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法
b
c
c
c
1.绝对值三角不等式
如果a，b∈R，那么||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
2．含绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≤－c，或ax＋b≥c；
(3)|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法：①利用零点分段法去绝对值号；②利用绝对值的几何意义．
[学考怎样考——真题导析]
1．(2018年6月浙江省学考T18)已知x，y是正实数，则下列式子中能使x>y恒成立的是( )
A．x＋>y＋ B.x＋>y＋
C．x－>y－ D．x－>y－
解析：选B 对于A、D选项，当x＝y＝1时，不等式x＋>y＋，x－>y－也成立，故不能使x>y恒成立；对于C，当x＝，y＝1时，不等式x－>y－也成立，故不能使x>y恒成立，选B.
2．(2017年11月浙江省学考T8)设不等式组所表示的平面区域为M，则点(1,0)，(3,2)，(－1,1)中在M内的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：选B 因为
所以只有点(1,0)在M内．
3．(2018年4月浙江省学考T3)将不等式组表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是( )
A．(－3,1) B.(1，－3)
C．(1,3) D．(3,1)
解析：选D 将各选项点的坐标分别代入不等式组验证可得．
4．(2017年11月浙江省学考T16)正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是( )
A．3＋ B.2＋2
C．5 D.
解析：选B ＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝时等号成立，故＋的最小值是2＋2.
5．(2018年6月浙江省学考T7)设实数x，y满足则x＋y的最大值为( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，作出直线x＋y＝0并平移该直线，当直线过点A(1,1)时目标函数z＝x＋y取得最大值，且zmax＝2.
6．(2018年6月浙江省学考T11)若关于x的不等式|2x－m|A．与m有关，且与n有关
B．与m有关，但与n无关
C．与m无关，且与n无关
D．与m无关，但与n有关
解析：选D 由不等式|2x－m|7．(2017年11月浙江省学考T21)若不等式|2x－a|＋|x＋1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|，由2x－a＝0得x＝，由x＋1＝0得x＝－1.
①当＝－1，即a＝－2时，
f(x)＝3|x＋1|，易知f(x)≥1不恒成立；
②当<－1，即a<－2时，
f(x)＝
则f(x)min＝f ＝－－1，由－－1≥1，解得a≤－4；
③当>－1，即a>－2时，
f(x)＝
则f(x)min＝f ＝＋1，由＋1≥1解得a≥0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)
[考情分析]
本专题主要在选择、填空题中进行考查，重点在于考查不等式的概念与性质(与充分条件、必要条件结合较多)、一元二次不等式的解法、简单的线性规划及基本不等式、绝对值不等式等，要求能够进行简单的应用，掌握一般的处理方法．难点在于线性规划中如何构建平面区域，绝对值不等式中如何去掉绝对值号，基本不等式中如何构建不等式模型等．
不等式的性质
[典题例析]
1．已知－1A．AC．A解析：法一(作差比较)：由－10，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，所以A>B，C－A＝－1－a2＝－＝－>0，则C>A，因此C>A>B，故选B.
法二(作商比较)：由－10,1－a2>0，＝＝1＋>1，所以A>B.＝(1＋a2)(1＋a)＝1＋a(1＋a＋a2)＝1＋a，所以0<<1，所以C>A，所以C>A>B，故选B.
答案：B
2．对于实数a，b，c，有以下命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则>；⑤若a>b，>，则a>0，b<0.其中真命题的个数是( )
A．2 B.3
C．4 D．5
解析：①中，c的符号不确定，故ac，bc的大小也不能确定，故为假．
②中，由ac2>bc2知c≠0，则c2>0，则a>b，故为真．
③中，由可得ab>b2，
由可得a2>ab，∴a2>ab>b2，故为真．
④中，由a>b得－a<－b，∴c－a而c>a>b>0，∴0>0.
又a>b>0，∴>，故为真．
⑤中，由a>b得a－b>0，由>?>0，
又b－a<0，∴ab<0，
而a>b，∴a>0，b<0，故为真．
答案：C
[类题通法]
比较大小的3种常用方法
方 法
阐 释
作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差
作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论
特值法
若是选择题、填空题，可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差法或作商法判断
[即时应用]
1．给出下列命题：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( )
A．①② B.②③
C．③④ D．①④
解析：选B 当c＝0时，①不成立；当|a|＝1，b＝－2时，④不成立．
2．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＞N B.M＜N
C．M＝N D．不能确定
解析：选A ∵0＜a＜，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0.
3．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D ∵<<0，∴0>a>b.∴a24．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若m解析：f(m)－f(n)＝am2＋2am－an2－2an＝a(m2－n2)＋2a(m－n)＝a(m－n)(m＋n＋2)＝a(m－n)(a＋1)．
∵a>0，∴a(a＋1)>0.又m∴f(m)答案：f(m)解不等式
[典题例析]
1．解不等式<2.
解：法一：注意到x2＋2x＋3>0，
所以不等式可化为x＋8<2(x2＋2x＋3)，
即2x2＋3x－2>0，解得x<－2，或x>.
故原不等式的解集为.
法二：不等式可化为－2<0，
整理得<0，即>0，
即(x2＋2x＋3)·(2x2＋3x－2)>0，
也就是2x2＋3x－2>0，
解得x<－2，或x>.
故原不等式的解集为.
2．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：当a＝0时，原不等式可化为－x＋1<0，即x>1.
当a<0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，即(x－1)>0.
因为<1，所以x>1，或x<，
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0，
①若01，所以1②若a＝1，则＝1，不等式无解；
③若a>1，则<1，所以综上知，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a>1时，原不等式的解集为.
[类题通法]
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[即时应用]
1．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为( )
A．－6 B.－5
C．6 D．5
解析：选C ∵x＝－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴－＝－1＋，即＝.又－1×＝，
∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.
2．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为( )
A. B.(－∞，1)∪
C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：选A 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)知a<0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴－4＋1＝－，－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－3．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )
A．[1,19] B.(1,19)
C．[1,19) D．(1,19]
解析：选C 函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．
(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．
(2)当a2＋4a－5≠0时，应有
解得1综上可知，a的取值范围是1≤a<19.
简单的线性规划问题
[典题例析]
已知实数x，y满足约束条件
(1)求－2x＋y的取值范围；
(2)求|2x－y|的取值范围；
(3)求(x－2)2＋y2的取值范围；
(4)求的取值范围；
(5)求xy的取值范围．
解：根据题意作出约束条件确定的可行域，如图．
记l1：x－y＝0，l2：y－1＝0，l3：x＋y－4＝0.l1与l2的交点为A(1,1)，l2与l3的交点为B(3,1)，l1与l3的交点为C(2,2)．
(1)令z＝－2x＋y，则y＝2x＋z，平移直线y＝2x＋z可知，当直线过点A时，z取到最大值－1；当直线过点B时，z取到最小值－5，所以－5≤－2x＋y≤－1.
(2)法一：由(1)可知，－5≤－2x＋y≤－1，所以1≤|2x－y|≤5；
法二：表示区域内的点到直线l：2x－y＝0的距离，结合图形可知，区域内点A到直线的距离最小为，区域内点B到直线的距离最大为，所以1≤|2x－y|≤5.
(3)(x－2)2＋y2表示区域内点到定点(2,0)的距离的平方，令(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，结合图形可知，当动圆(x－2)2＋y2＝r2与直线l2：y－1＝0相切时，r的最小值为1，当动圆(x－2)2＋y2＝r2过点C(2,2)时，r的最大值为2，所以1≤(x－2)2＋y2≤4.
(4)表示区域内动点与定点(0，－1)连线的斜率，结合图形可知，区域内的点位于A时，斜率最大，最大值为2，区域内的点位于B时，斜率最小，最小为.所以≤≤2.
(5)令xy＝t，则y＝为反比例函数，对应的图形为双曲线．结合图形可知，当双曲线过点A时，t取最小值，最小值为1；当双曲线与直线l3：x＋y－4＝0相切时，t取最大值，最大值为4，此时切点为C(2,2)．所以1≤xy≤4.
[类题通法]
1．利用线性规划求目标函数最值的步骤
2．常见的4种目标函数
类 型
举 例
截距型
z＝－2x＋y，z＝，z＝· (其中M(x，y)为区域内动点，P(－2,1))
距离型
z＝(x－2)2＋y2，z＝|2x－y|
斜率型
z＝，z＝，z＝，z＝＋＝
二次曲线型
z＝xy，z＝，z＝＋y2
[提醒] 解题时要注意可行解是区域内的所有点还是区域内的整点．
[即时应用]
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
解析： 选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或
2．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.将点(1,1)代入x＋y－1得1>0，代入x－2y＋2得1>0，即点(1,1)在x－2y＋2≥0的内部，在x＋y－1≥0的内部，故所求二元一次不等式组为
3．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B.11
C．3 D．－1
解析：选B 如图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点C时， z取得最大值．
由解得此时z＝y＋3x＝11.
4．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )
A．1 B.－3
C．1或－3 D．0
解析：选A 其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.
基本不等式及其应用
[典题例析]
1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
解析：因为x>0，y>0,5x＋10y＝5，
所以＋＝[(3x＋4y)＋(2x＋6y)]·＝≥＝，当且仅当2x＋6y＝(3x＋4y)．即x＝5－7，y＝4－时取等号，故＋的最小值为.
答案：
2．已知x，y>0，且x＋y＋＋＝10，则x＋y的最大值为________．
解析：由x＋y＋＋＝10得x＋y＋＝10，(x＋y)·＝10.
由xy≤2得1＋≥1＋，所以10≥(x＋y)，整理得(x＋y)2－10(x＋y)＋4≤0，得5－≤x＋y≤5＋，(x＋y)max＝5＋.
答案：5＋
3．求函数y＝(x>2)的值域．
解：y＝＝2＋，令x－2＝t，则t>0，且x＝t＋2，y＝2＋＝2＋，t＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当t＝，即t＝2时取等号．所以∈，所以函数y＝(x>2)的值域为.
[类题通法]
1．利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．
另外，对于函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的定义域内不含实数±的类型的最值问题，要学会使用函数单调性求解．
2．求形如y＝函数的值域的步骤
(1)在分子中分离出a1x2＋b1x＋c1，简化分子将函数化为y＝＋；
(2)换元令t＝mx＋n，将x＝－代入化简得y＝＋，进一步得到y＝＋；
(3)借助基本不等式或函数y＝ax＋的图象与性质求解．
[即时应用]
1．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B.1＋
C．3 D．4
解析： 选C f(x)＝x＋＝x－2＋＋2，
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，又f(x)在x＝a处取最小值，∴a＝3.
2．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0则的( )
A．最小值为8 B.最大值为8
C．最小值为 D．最大值为
解析：选D ＝＝
＝≤.当且仅＝，即x＝2z时取等号．
3．已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是( )
A．20 B.18
C．16 D．19
解析：选B 由·＝||·||cos 30°＝2得||·||＝4，S△ABC＝||·||sin 30°＝1，
由＋x＋y＝1得x＋y＝.
所以＋＝2·(x＋y)＝2≥2×(5＋2×2)＝18.
4．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2，
即xy≥8，∴≥8，即xy≥64.
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时等号成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值为18.
含有绝对值的不等式
[典题例析]
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
当x∈(0,2)时，y<0，故原不等式的解集为x∈(0,2)．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
∴x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤.
∴a∈.
[类题通法]
含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|a?x<－a或x>a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
[即时应用]
1．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由|x－2|<1，解得10，解得x>1或x<－2.由11或x<－2，反之，不成立，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0 ”的充分不必要条件．故选A.
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B.－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
解析：选D 当a≥2时，f(x)＝
由图可知，当x＝－时，f (x) min＝f ＝－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f(x)＝
由图可知，当x＝－时，f (x) min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.
综上可知，a的值为－4或8.
3．记max{x，y}＝ min{x，y}＝ 设a，b为平面向量，则( )
A．min{|a＋b|，| a－b |}≤min{| a |，| b |}
B．min{| a＋b |，| a－b |}≥min{| a |，| b |}
C．max{| a＋b |2，| a－b |2}≤| a |2＋| b |2
D．max{| a＋b |2，| a－b |2}≥| a |2＋| b |2
解析：选D 对于A，当a＝0，b≠0时，不等式不成立；对于B，当a＝b≠0时，不等式不成立； 对于C、D，设＝a，＝b，构造如图所示的平行四边形OACB，根据平行四边形法则，∠AOB与∠OBC至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{| a＋b |2，| a－b |2}≥| a |2＋| b |2成立，故选D.
4．(2018年4月浙江省学考T22)若不等式2x2－(x－a)|x－a|－2≥0对于任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是________．
解析：原不等式可化为(x－a)·|x－a|≤2x2－2，
即如图，由图可知，若使不等式恒成立，
必须恒成立，
由－(x－a)2≤2x2－2，得3x2－2ax＋a2－2≥0，
则Δ＝4a2－4(a2－2)×3≤0，结合a>0得a≥.即a的最小值为.
答案：
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于( )
A．－1 B.－2
C．1 D．2
解析：选C 由不等式得mx>2，因为解集为{x|x>2}，所以m>0，x>，＝2，所以m＝1.
2．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1A．－2 B.－1
C．0 D．1
解析：选D 由于关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集为{x|－10，所以(ax－1)(x＋1)＝0的解为－1,1，所以a＝1.
3．(2016年10月浙江省学考T6)不等式组表示的平面区域(阴影部分)是( )
解析：选B 由题可得，x－3y＋6>0表示的平面区域是直线x－3y＋6＝0的右下方部分区域(不包括边界)；x－y＋2≤0表示的平面区域是直线x－y＋2＝0的左上方区域(包括边界)．结合图形可知，选B.
4．不等式>0的解集为( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1C．{x|－23} D．{x|－2答案：C
5．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a>1)，且f(x)的最小值为3，若f(x)≤5，则实数x的取值范围为( )
A．[2,8] B.(2,8]
C．[3,8] D．(3,8]
解析：选C 因为|x－4|＋|x－a|≥|(x－4)－(x－a)|＝|a－4|，所以|a－4|＝3，因为a>1，解得a＝7.解不等式|x－4|＋|x－7|≤5，得3≤x≤8，即x∈[3,8]．故选C.
二、填空题
6．设ab>0，则下列命题中，正确的有________．
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|≤|a－b|；
④|a＋b|>|a－b|.
解析：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，又ab>0，所以(a＋b)2>a2，即|a＋b|>|a|，同理|a＋b|>|b|，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab>a2＋b2－2ab＝(a－b)2，所以|a＋b|>|a－b|.
答案：①④
7．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．
平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值，
由得A，zmax＝1＋＝.
答案：
8．设0解析：＋＝[a＋(1－a)]＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，即a＝时等号成立．
答案：9
三、解答题
9．已知不等式mx2－2x－m＋1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，不符合题意．
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．
设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，
则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，
故即
由①，得x<或x>.
由②，得由①②，得∴x的取值范围为.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a＋－＝，所以若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立；当a＝，b＝时，不等式a＋>b＋成立，但不满足a>b>1，所以必要性不成立，故选A.
2．若正数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4
B．ab有最小值
C.＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
解析：选C 因为正数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝≥＝4，即＋有最小值4，A错误；ab≤2＝，即ab有最大值，B错误；＋＝＝＝≤＝，即＋有最大值，C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥1－2×＝，即a2＋b2有最小值，D错误，故选C.
3．若0A．abC．2b<2a<2 D．a2解析：选C 若b＝，a＝，则ab＝，b2＝，a2＝，1>ab>b2，abloga>0，故B不正确；∵04．不等式组 的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B.{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：选C 由得即05．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x3f(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
解析：选D 由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．
6．已知关于x的不等式<2的解集为P.若1?P，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－1,0]
答案：B
7．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B.2
C．3 D．8
解析：选C y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
8．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B.1
C．1＋ D.
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2＋2＝9，又2＋2≥＝，当且仅当2x－＝2＋时等号成立，所以2≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值为－1＋.故选A.
9．不等式≤0的解集为( )
A. B.
C.∪(3，＋∞) D.∪[3，＋∞)
解析：选C ≤0可化为≥0，等价于解得x≤－或x>3，故选C.
10．(2018年4月浙江省学考T10)不等式|2x－1|－|x＋1|<1的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选B |2x－1|－|x＋1|＝由得x∈?；由得x∈；由得x∈，综上，原不等式的解集为.
11．在Rt△ABC中，已知AC＝4，BC＝1，P是斜边AB上的动点(除端点外)．设P到两直角边距离分别为d1，d2，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 以C为原点，CB，CA方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)．
则C(0,0)，A(0,4)，B(1,0)，直线AB：4x＋y－4＝0.
∵P(d1，d2)在AB上，∴4d1＋d2－4＝0，即4d1＋d2＝4.
∵(4d1＋d2)＝5＋＋≥5＋2＝9.∴＋≥.
12.两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54 m2的直角梯形菜园(墙足够长)，则所用篱笆总长度的最小值为( )
A．16 m B.18 m
C．22.5 m D．15 m
解析：选B 设直角梯形高为x，篱笆总长为y，则直角梯形下底为y－x，上底为y－2x，由题意得＝54，化简整理得y＝＋，
又y＝＋≥2＝18，当且仅当＝，即x＝6 时等号成立．
所以篱笆长度最小值为18 m.
13．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解析：选D 由题意得，a<0，且2,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则－＝6，＝8，不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋1>0，即8x2－6x＋1>0，解得x<或x>，故选D.
14．已知a>1，则的最小值是( )
A．2＋2 B.－2＋2
C．2 D.＋2
解析：选A 由a>1得a－1>0，所以＝＝2(a－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当a＝1＋时取等号，故的最小值为2＋2，故选A.
15．若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B.3
C．4 D．5
解析：选C 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4.
16．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B.4
C．3 D．6
解析：选C 如图△PQR为线性区域，区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成了线段R′Q′，即AB，而R′Q′＝RQ，由得Q(－1,1)，由得R(2，－2)，
|AB|＝|QR|＝＝3.故选C.
17．如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B.18
C．25 D.
解析：选B ①当m＝2时，f(x)＝(n－8)x＋1，
则0≤n<8，所以0≤mn<16.
②m＞2时，抛物线的对称轴为x＝－.
根据题意得－≥2，即2m＋n≤12，
所以≤≤6，
所以mn≤18，当且仅当m＝3，n＝6时取等号．
③当m＜2时，由题意得－≤，即2n＋m≤18，所以≤≤9，所以mn≤，
由2n＋m＝18，且2n＝m，得m＝9(舍去)．
要使得mn取得最大值，应有2n＋m＝18(m＜2，n＞8)，
所以mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综上所述，mn的最大值为18.
18．已知a，b是正数，且满足2A. B.
C. D.
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域，如图，z＝的几何意义为区域内的点P(a，b)与定点A(－1，－1)连线的斜率．
由图象可知当P点位于点B(4,0)时，直线AP的斜率最小，即z＝的最小值为＝；当P点位于点C(0,2)时，直线AP的斜率最大，即z＝的最大值为＝3，所以的取值范围为，故选A.
二、填空题
19．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若－1，S5，S10成等差数列，则S10－2S5＝________，且S15－S10的最小值为________．
解析：－1，S5，S10成等差数列，所以2S5＝S10－1，所以S10－2S5＝1.又由等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，所以S15－S10＝＝＝＝S5＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当S5＝1时取到最小值．
答案：1 4
20．已知a∈R，b>0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．
解析：因为(a＋b)b＝1，所以a＋b＝，b>0，a＋b>0，又(a＋b)b≤2＝，所以a＋2b≥2，所以a＋＝a＋＝a＋2b≥2.
答案：2
21．若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．
解析：当x，y满足x2＋y2≤1时，6－x－3y>0.由
?5x2－8x＋3＝0?x＝或x＝1，直线2x＋y－2＝0把单位圆分成如图所示的两部分．
①当(x，y)在阴影部分内时，2x＋y－2≥0，则原式＝2x＋y－2＋6－x－3y＝x－2y＋4，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.
②当(x，y)在另一部分内时，2x＋y－2≤0，则原式＝－2x－y＋2＋6－x－3y＝－3x－4y＋8，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.
综上，原式的最小值为3.
答案：3
22．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
解析：在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tan Btan C－1＞0，∴tan Btan C＞1.
由①得tan Btan C＝.
又由tan Btan C＞1得＞1，∴tan A＞2.
∴tan Atan Btan C＝
＝
＝(tan A－2)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．
故tan Atan Btan C的最小值为8.
答案：8
三、解答题
23．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|＞1，等价于或或解得所以不等式f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
所以△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2＞6，解得a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
24．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N*)，
做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
解：(1)依题意得
解得又n∈N*，所以n＝6.
(2)由题知s＝＋≤12.6，即v2＋24v－5 040≤0，
解得－84≤v≤60.因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.
25．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＝2，当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值不大于7，求b＋c的最大值；
(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[－1,1]恒成立时，都有|ax＋b|≤M对任意的x∈[－1,1]恒成立，求M的最小值．
解：(1)由题意知，f(x)＝2x2＋bx＋c，当x∈[－1,3]时，f(x)≤7恒成立，即f(x)max≤7.
①当－≤1，即b≥－4时，f(x)max＝f(3)＝18＋3b＋c≤7，得3b＋c≤－11，
故b＋c＝(3b＋c)＋2(－b)≤－11＋8＝－3.
②当－＞1，即b<－4时，f(x)max＝f(－1)＝2－b＋c≤7，得－b＋c≤5，
故b＋c＝(－b＋c)＋2b<5－8＝－3.
综上可得，(b＋c)max＝－3.
(2)当|x|≤1时，易知≤1，≤1，
故由题意知≤1，≤1，
所以|ax＋b|＝≤＋≤1＋1＝2，
故M≥2，所以M的最小值为2.
