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专题跟踪检测（六） 三角恒等变换
一、选择题
1．若sin α＝，α∈，则sin＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由sin α＝，α∈得cos α＝－， 则sin＝sin αcos －cos αsin ＝.
2．已知α是第三象限的角，且sin4α＋cos4α＝，则sin 2α＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：选A 由sin4α＋cos4α＝，得(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝，即1－sin22α＝，得sin 2α＝±.又2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π(k∈Z)，故sin 2α>0，则sin 2α＝.
3．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a (a＞0，且a≠1)，则cos的值为( )
A. B.－
C. D.－
解析：选B ∵由题意可知tan(3π＋α)＝，
∴tan α＝.
∵cos＝cos＝sin α，
又α∈(－π，0)，
∴sin α＝－.
∴cos＝－.
4．计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的结果为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为tan 120°＝tan(70°＋50°)＝＝－，
所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°＝－.
5．计算cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的结果为( )
A. B.
C. D．－
答案：A
6．若θ∈，且cos 2θ＝sin，则sin 2θ＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：选D 由cos 2θ＝sin，得(cos2θ－sin2θ)＝(cos θ－sin θ)，又θ∈，则cos θ－sin θ≠0，得cos θ＋sin θ＝，平方得sin 2θ＝－.
7．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由sin α－sin β＝1－，
得sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－. ①
由cos α－cos β＝－，
得cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝. ②
①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－，
即cos(α－β)＝.
8.函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin 2θ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A 分别令πx＋φ＝0，，2π得A，P，B.
则tan∠PAB＝2，tan∠PBA＝，则tan θ＝[π－(∠PAB＋∠PBA)]＝8，sin 2θ＝＝.
9．计算的值为( )
A．－2 B.2
C．－1 D．1
解析：选D
＝＝
＝＝＝1.
10．函数y＝sin xcos x＋ cos2x的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题可知函数y＝sin xcos x＋ cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
令2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z，所以函数y＝sin xcos x＋cos2x的对称中心为.令k＝1，得其一个对称中心为，故选D.
11．已知sin＋sin α＝－，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝－，∴sin＝－，则cos＝cos＝－sin＝.
12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝，故选D.
13．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B 平移后的图象对应的解析式为y＝2sin ，令2＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
14．关于x的方程 sin 2x＋cos 2x＝k＋1在内有实数根，则k的取值范围为( )
A．(－3,1) B.[0,1]
C．[－2,1] D．(0,2)
解析：选C sin 2x＋cos 2x＝2sin，x∈，所以2x＋∈，所以2sin∈[－1,2]，即k∈[－2,1]．
15．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：选A 因为P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin ＝.因为s>0，y＝sin＝sin ，所以函数y＝sin的图象至少向左平移个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象，所以s的最小值为.
16．已知函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x(a，b∈R，且ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则函数y＝f(x)的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x的最大值，最小值分别为，－，函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x的图象关于直线x＝对称，所以f＝±，即a＋b＝±，整理得a＝b.当a＝b时，f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝b(sin 2x＋cos 2x)＝2bsin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，故其对称中心为，k∈Z，当k＝1时，得其一个对称中心为.故选D.
17．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B.±
C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos＝－1.故选C.
18．设α∈，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选D ＋＝
＝
＝－2sin αcos α.
令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.
∵α∈，∴t∈.
令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，
∴当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.
二、填空题
19．已知f(x)＝sin x－cos x，则f的最小正周期为________；若f(x)＝，则cos＝________.
解析：∵f(x)＝sin x－cos x＝2sin，∴f＝2sin，∴T＝4π.由f(x)＝，得sin＝，则cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.
答案：4π －
20．若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.
解析：∵sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得，2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
∵α，β是锐角，且sin α－sin β＝－<0，
∴0<α<β<.∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
答案：－
21．化简·＝________.
解析：原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.
答案：
22．若cos＝，则cos＝________.
解析：因为cos ＝2cos2－1＝－，所以cos＝cos＝－cos ＝.
答案：
三、解答题
23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
24．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
解：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，
即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
(2)∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0＜α≤，则0＜x≤ ，
f(x)＝＝≤＝ ，
故函数f(x)的值域为.
25．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)∵cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，∴cos β＋sin β＝.
∴1＋sin 2β＝.∴sin 2β＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<，＜α＋β＜.
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
专题六三角恒等变换
[备考学什么——以纲忆知]
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
知识条目
要求
1.两角差的余弦公式
两角差的余弦公式证明
b
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①两角和与差的正弦、余弦公式
②两角和与差的正切公式
c
c
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
c
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β，
cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β，
tan(α±β)＝
(2)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)，tan αtan β＝1－＝－1.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcos_α，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
(2)公式变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2,1－cos α＝2sin2.
3．降幂公式
(1)cos2α＝；
(2)sin2α＝.
4．几个常用的式子(统一名称)
(1)sin α±cos α＝sin；
(2)sin α±cos α＝2sin；
(3)sin α±cos α＝2sin；
(4)cos α－sin α＝cos；
(5)cos α－sin α＝2cos；
(6)cos α－sin α＝2cos.
二、简单的三角恒等变换
知识条目
要求
①利用三角恒等变换研究三角函数的性质
②能把一些简单实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决
c
b
[学考怎样考——真题导析]
1．(2016年4月浙江省学考T6)＝( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选D ＝tan 45°＝1.故选D.
2．(2017年4月浙江省学考T8)已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin(θ＋45°)＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：选A 因为θ为锐角，且sin θ＝，所以cos θ＝.所以sin (θ＋45°)＝sin θcos 45°＋cos θsin 45°＝×＋×＝.故选A.
3．(2016年10月浙江省学考T9)函数f(x)＝1－2sin22x是( )
A．偶函数且最小正周期为
B．奇函数且最小正周期为
C．偶函数且最小正周期为π
D．奇函数且最小正周期为 π
解析：选A f(x)＝1－2sin22x＝cos 4x，所以最小正周期为T＝＝.因为f(－x)＝cos(－4x)＝cos 4x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．故选A .
4．(2016年1月浙江省学考T31)已知cos α＝，α∈，求sin α及sin的值．
解：由sin2α＋cos2α＝1，及cos α＝，α∈，得sin α＝＝；sin＝sin αcos＋cos αsin＝sin α＋cos α＝.
[考情分析]
本专题中两角和与差的正弦余弦和正切公式、简单的三角恒等变换是学考的考查重点，主要以选择、填空题的形式出现．因此复习三角恒等变换要注意：
(1)能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；
(2)能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
三角函数式的化简
[典题例析]
化简下列各式．
(1)；
(2)2cos 105°cos 15°；
(3)；
(4)－cos2；
(5)(tan 10°－)；
(6)；
(7)－sin 10°；
(8)(0<θ<π)．
解：(1)
＝cos2－sin2＝cos＝.
(2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°
＝2(－sin 15°)cos 15°
＝－2sin 15°cos 15°
＝－sin 30°＝－.
(3)＝×
＝×tan 30°＝.
(4)－cos2＝－
＝－cos＝－.
(5)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2.
法二：原式＝
＝·
＝
＝
＝－2.
(6)4sin2tan
＝4cos2tan
＝4cossin
＝2sin＝2cos 2α，
∴＝
＝
＝sin 2α.
(7)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°
＝
＝
＝
＝＝.
(8)由θ∈(0，π)，得0<<，
∴cos>0.
∴＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2coscos θ.
∴原式＝＝－cos θ.
[类题通法]
三角函数式化简“三看”原则
一看“角”，看角之间的联系与差异，对角的拆分要尽可能化同角、特殊角；
二看“函数名称”，尽可能减少函数名称；
三看“结构特征”，对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等等．
[即时应用]
1．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
2．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )
A．－1 B.1
C．2 D．4
解析：选C ∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
3．化简：.
解：原式
＝
＝
＝＝
＝tan .
4．化简：.
解：∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝cos 40°·＝＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°.
∴＝＝.
三角函数式的求值
[典题例析]
1．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：C
2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
解析：因为α∈，故2α∈，
又sin 2α＝，故2α∈，α∈，
∴cos 2α＝－.
β∈，故β－α∈，
于是cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.
答案：A
[类题通法]
1．三角函数式求值的类型及方法
类 型
方 法
给角求值
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，转化为特殊角的三角函数
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系
给值求角
实质上可转化为“给值求值”，关键也是“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求角
2.三角函数式求值的注意事项
值的符号和角的范围相互制约，角的范围越小越好：在求值的问题中，找出已知角和所求角的关系是重点，但根据角的范围确定三角函数值的符号以及根据三角函数值的符号缩小角的范围是解题的关键与难点．
一般来说，题中所给角的范围往往是偏大的，需要根据解题过程中相关函数值的符号缩小角的范围，再去确定新的三角函数值的符号，从而防止增根的产生．
[即时应用]
1．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，若α，β∈，则α＋β＝( )
A. B.或－
C．－或 D．－
解析：选D 由题意得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.所以tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈，
故α，β∈，所以－π＜α＋β＜0.
又tan(α＋β)＝＝＝.
故α＋β＝－.
2．已知cos＋sin α＝，则sin的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D 由条件知cos＋sin α＝＋sin α＝
＝sin＝，
即sin＝.
故sin＝sin
＝－sin＝－.
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝. ①
因为cos(α－β)＝，所以cos αcos β＋sin αsin β＝. ②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.
解析：依题意得sin α＝ ＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，因为>>－，所以cos (α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
答案：
三角恒等变换的综合应用
[典题例析]
已知函数f(x)＝sin ωx＋mcos ωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和m的值；
(2)若f ＝，θ∈，求f 的值．
解：(1)函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，tan φ＝m，
∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝，
又由已知得函数f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
∴f ＝2sin＝，∴sin＝，
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin θ＝sin＝sincos－cossin＝，
∴f ＝2sin
＝2sin
＝2cos 2θ＝2(1－2sin2θ)
＝2＝－.
[类题通法]
三角恒等变换综合应用题的解题策略
此类问题常以解答题出现．解答此类问题的方法是借助于三角恒等变换化简给定的三角函数式，将函数式化为形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B的形式，然后研究三角函数的性质，求值，求解析式，求单调区间或最值等．
[即时应用]
1．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
解析：选A f(x)＝sin2ωx＋sin ωx·sin＝sin2ωx＋sin ωxcos ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin＋，因为T＝＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝sin＋，当x∈时，2x－∈，所以sin∈，故所求值域为，故选A.
2．已知函数f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．
解：(1)因为f(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．
(2)因为f＝，
所以1＋2cos α＝，即cos α＝－.
又因为α为第二象限角，
所以sin α＝.
因为＝
＝＝，所以原式＝＝＝.
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．设函数f(x)＝sin xcos x，x∈R，则函数f(x)的最小值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
答案：B
2.sin x－cos x＝( )
A.cos B.cos
C.sin D.sin
答案：D
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )
A．5 B.－1
C．6 D.
解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.
4．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B.－1
C．1 D．3
解析：选A 由根与系数的关系，tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝＝＝－3.
5．已知sin＝－，则sin 2x等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ∵sin＝－，∴(sin x＋cos x)＝－，两边平方得(1＋sin 2x)＝，解得sin 2x＝－.
二、填空题
6．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝
.
答案：
7．已知α是钝角，cos α＝－，则sin＝________.
解析：因为α是钝角，cos α＝－，所以sin α＝＝，所以sin＝sincos α－cossin α＝＝－.
答案：－
8．已知sin＝，<θ<π，则cos θ＝________.
解析：因为sin＝，<θ<π，所以cos＝－，则cos θ＝cos＝×＋×＝.
答案：
三、解答题
9．已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．
解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)．
∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴2π＝T＝，
解得ω＝1.
将点M代入函数f(x)的解析式，
得sin＝.
∵＜φ＜π，∴<＋φ<，∴＋φ＝，
∴φ＝.故f(x)＝sin＝cos x.
(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α，β∈，
∴sin α＝ ＝，sin β＝ ＝，
∴sin 2α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝－×＋×＝.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．若sin α＝，α∈，则sin＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由sin α＝，α∈得cos α＝－， 则sin＝sin αcos －cos αsin ＝.
2．已知α是第三象限的角，且sin4α＋cos4α＝，则sin 2α＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：选A 由sin4α＋cos4α＝，得(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝，即1－sin22α＝，得sin 2α＝±.又2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π(k∈Z)，故sin 2α>0，则sin 2α＝.
3．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a(a＞0，且a≠1)，则cos的值为( )
A. B.－
C. D．－
解析：选B ∵由题意可知tan(3π＋α)＝，
∴tan α＝.
∵cos＝cos＝sin α，
又α∈(－π，0)，∴sin α＝－.
∴cos＝－.
4．计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的结果为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为tan 120°＝tan(70°＋50°)＝＝－，所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°＝－.
5．计算cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的结果为( )
A. B.
C. D．－
答案：A
6．若θ∈，且cos 2θ＝sin，则sin 2θ＝( )
A. B.－
C. D．－
解析：选D 由cos 2θ＝sin，得(cos2θ－sin2θ)＝(cos θ－sin θ)，又θ∈，则cos θ－sin θ≠0，得cos θ＋sin θ＝，平方得sin 2θ＝－.
7．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由sin α－sin β＝1－，
得sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－. ①
由cos α－cos β＝－，
得cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝. ②
①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－，
即cos(α－β)＝.
8.函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin 2θ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A 分别令πx＋φ＝0，，2π得A，P，B.则tan∠PAB＝2，tan∠PBA＝，则tan θ＝[π－(∠PAB＋∠PBA)]＝8，sin 2θ＝＝.
9．计算的值为( )
A．－2 B.2
C．－1 D．1
解析：选D
＝＝
＝＝＝1.
10．函数y＝sin xcos x＋ cos2x的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题可知函数y＝sin xcos x＋ cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
令2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z，所以函数y＝sin xcos x＋cos2x的对称中心为.令k＝1，得其一个对称中心为，故选D.
11．已知sin＋sin α＝－，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝－，∴sin＝－，则cos＝cos＝－sin＝.
12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝，故选D.
13．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B 平移后的图象对应的解析式为y＝2sin ，令2＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
14．关于x的方程 sin 2x＋cos 2x＝k＋1在内有实数根，则k的取值范围为( )
A．(－3,1) B.[0,1]
C．[－2,1] D．(0,2)
解析：选C sin 2x＋cos 2x＝2sin，x∈，所以2x＋∈，所以2sin∈[－1,2]，即k∈[－2,1]．
15．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：选A 因为P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin ＝.因为s>0，y＝sin＝sin ，所以函数y＝sin的图象至少向左平移个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象，所以s的最小值为.
16．已知函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x(a，b∈R，且ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则函数y＝f(x)的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x的最大值，最小值分别为，－，函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x的图象关于直线x＝对称，所以f＝±，即a＋b＝±，整理得a＝b.当a＝b时，f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝b(sin 2x＋cos 2x)＝2bsin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，故其对称中心为，k∈Z，当k＝1时，得其一个对称中心为.故选D.
17．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B.±
C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos＝－1.故选C.
18．设α∈，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选D ＋＝
＝
＝－2sin αcos α.
令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.
∵α∈，∴t∈.
令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，
∴当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.
二、填空题
19．已知f(x)＝sin x－cos x，则f的最小正周期为________；若f(x)＝，则cos＝________.
解析：∵f(x)＝sin x－cos x＝2sin，∴f＝2sin，∴T＝4π.由f(x)＝，得sin＝，则cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.
答案：4π －
20．若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.
解析：∵sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得，2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
∵α，β是锐角，且sin α－sin β＝－<0，
∴0<α<β<.∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
答案：－
21．化简·＝________.
解析：原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.
答案：
22．若cos＝，则cos＝________.
解析：因为cos ＝2cos2－1＝－，所以cos＝cos＝－cos ＝.
答案：
三、解答题
23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
24．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
解：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，
即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
(2)∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0＜α≤，则0＜x≤ ，
f(x)＝＝≤＝ ，
故函数f(x)的值域为.
25．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)∵cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，∴cos β＋sin β＝.
∴1＋sin 2β＝.∴sin 2β＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<，＜α＋β＜.
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
