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“专题跟踪检测”见“专题跟踪检测 (七)”
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专题跟踪检测（七） 解三角形
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝60°，若三角形有两解，则b的取值范围为( )
A．(0,1) B.
C．(1,2) D.
解析：选B 由题意可得bsin A
2．在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为( )
A. B.
C．3 D.
答案：D
3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：选A 设增加的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c，则新的三角形的三边长为a＋x，b＋x，c＋x，且c＋x为最大边，其对应角最大，而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，所以由余弦定理知新三角形最大角为锐角，故选A.
4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：选B 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a km，故选B.
5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A，于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.
6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
7．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其中最大内角不超过120°，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为a，a＋1，a＋2是三角形的三边，所以a＋21，设三角形的最大内角是α，则90°<α≤120°，于是0>cos α＝≥－，解得≤a<3，综上可得，实数a的取值范围是，故选A.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C－sin2A＋sin Bsin C＝0，则tan A的值是( )
A. B.－
C. D．－
解析：选D 依题意及正弦定理可得b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理得cos A＝＝－＝－，又09．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，则＝( )
A．2 B.
C．3 D．4
解析：选A 由正弦定理可得b2＝2ac，故cos B＝＝＝，化简得(2a－c)(a－2c)＝0，又a>c，故a＝2c，＝2，故选A.
10．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B.－
C．± D.
解析：选A 由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2＝b＋c，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B.直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 依题意结合正弦定理得sin C(1＋cos A)＝sin B＋sin C，即sin Ccos A－sin B＝sin Ccos A－sin(A＋C)＝－cos Csin A＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C＝0，C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故选B.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝120°，b＝1，面积为，则的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选C ∵A＝120°，∴sin A＝，S＝×1×c×sin A＝，∴c＝4.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝21，∴a＝，根据正弦定理可知＝＝2.
14．关于x的方程x2－x·cos Acos B－cos2＝0有一个根为1，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B.直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选A 由题意知1－cos Acos B－cos2＝0，即1－cos Acos B－(1＋cos C)＝0，即1－cos Acos B－－cos C＝0，即1－cos Acos B－＋cos(A＋B)＝0，化简整理得，cos(A－B)＝1，又A，B为三角形内角，所以A＝B.
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C 由余弦定理得，cos C＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absin C＝.
16．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故选C.
法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝ ＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∴cos A＝＝－.
17．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C.或1 D．1
解析：选B 根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C18．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选A 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，
即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，
化简得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
二、填空题
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________.
解析：因为A,C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.
答案：
20.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
答案：100
21．已知△ABC的三边分别是a，b，c，且面积S＝，则角C＝________.
解析：因为S＝＝absin C，所以a2＋b2－c2＝2absin C＝2abcos C，所以sin C＝cos C，即tan C＝1，解得C＝.
答案：
22．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cos C，则＋＝________.
解析：∵＋＝6cos C，∴＋＝6·，化简得a2＋b2＝c2，则＋＝tan C·＝
＝＝＝4.
答案：4
三、解答题
23．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由·＝2得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，
所以C为锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝，得
－cos 2B＝－cos＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C，
解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得
sin C＝，cos C＝.
又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝b.
又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6 ，
故b＝3.
专题七解三角形
[备考学什么——以纲忆知]
一、正弦定理和余弦定理
知识条目
要求
知识条目
要求
1.正弦定理
①正弦定理
②利用正弦定理解三角形
b
c
2.余弦定理
①余弦定理
②利用余弦定理解三角形
b
c
1.正弦定理
(1)正弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．
(2)正弦定理的三种变式：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.
2．余弦定理
(1)余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c2＝a2＋b2－2abcos_C；
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B.
(2)余弦定理的变式：
①cos C＝；
②cos A＝；
③cos B＝.
二、应用举例
知识条目
要求
①解三角形在实际问题中的应用
②三角形面积公式的应用
b
b
1.实际问题中的常用角
(1)仰角与俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
2．三角形的面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B＝＝(a＋b＋c)·r，其中R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径．
[学考怎样考——真题导析]
1．(2017年4月浙江省学考T5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，A＝60°，B＝45°，则边b的长为( )
A. B.1
C. D．2
解析：选C 由正弦定理＝可得，b＝＝＝.故选C.
2．(2018年6月浙江省学考T8)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝45°，C＝30°，c＝1，则b＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理得b＝·sin B＝，故选C.
3．(2018年4月浙江省学考T21)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，则cos C的取值范围是________．
解析：设△ABC中各角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则b＝3，c＝2，由b－ccos C＝＝＋.令f(x)＝＋(1答案：
4．(2017年11月浙江省学考T23)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos A＝.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝3，求a的值；
(3)求2sin B＋cos的最大值．
解：(1)因为cos A＝，且A是三角形的内角，
因此A＝.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，
因此a＝.
(3)因为2sin B＋cos＝sin B＋cos B＝sin，
又0所以当B＋＝，即B＝时，
2sin B＋cos取最大值.
[考情分析]
本专题的考查在选择、填空、解答题中均有分布，是学考的重点考查对象，主要考查利用正弦定理、余弦定理及面积公式求解三角形的边、角、面积等．重点在于应用公式求值计算，难点在于公式的选用以及结合不等式等考查范围问题．
正弦定理、余弦定理的应用
[典题例析]
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin BcosB.
(1)求角C的大小；
(2)分别求下列各数量的取值范围：
①△ABC的面积；②△ABC的周长；③△ABC的内切圆半径r.
解：(1)由题意得
－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，
又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)①法一：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C知3＝a2＋b2－ab，
所以3＋ab＝a2＋b2≥2ab，因为a≠b，
所以ab<3，
所以S△ABC＝absin C<，
又S△ABC>0，所以S△ABC∈.
法二：因为＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sinB.
又A＋B＝，
所以S△ABC＝absin C＝sin Asin B
＝sin Asin＝sin Acos A＋sin2A
＝sin 2A－cos 2A＋
＝sin＋.
又0所以－<2A－<，且2A－≠，－所以S△ABC∈.
②法一：3＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
因为a≠b，
所以(a＋b)2－3＝3ab<(a＋b)2，
所以(a＋b)2<12，a＋b<2.
又△ABC中，a＋b>c＝，
所以则2法二：因为＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则a＋b＝2sin A＋2sin B＝2sin A＋2sin
＝3sin A＋cos A＝2sin，
又0所以则所以③S△ABC＝(a＋b＋c)·r，r＝＝，
又a2＋b2＝3＋ab，所以(a＋b)2＝3＋3ab，
所以r＝＝
＝(a＋b－)，
又[类题通法]
正弦、余弦定理的应用原则
在解有关三角形的题目时，要根据已知条件合理选择使用哪个公式．一般地：
(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式，考虑用余弦定理．
(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式，考虑用正弦定理．
(3)如果以上特征都不明显，则两个定理都可能用到．
[即时应用]
1．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B.12
C．2 D．28
解析：选A 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋16－8＝12，所以b＝2.
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵＝，∴＝，
∴sin B＝×＝.
又∵a＞b，A＝60°，
∴B＜60°，
∴cos B＝＝.
3．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有( )
A．1个 B.2个
C．3个 D．0个
解析：选B ∵asin B＝，∴asin B∴符合条件的三角形有2个．
4．在△ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选C 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝(a2＋b2)，得2abcos C＝(a2＋b2)，即cos C＝≥＝.
三角形形状的判断
[典题例析]
1．在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
2．在△ABC中，已知sin2 ＝，试判断△ABC的形状．
解：因为sin2＝，
所以由半角公式得＝.
利用正弦定理知＝，
化简得sin C－sin Ccos A＝sin C－sin B，
所以sin Ccos A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝0.
又因为sin A≠0，
所以cos C＝0，即C＝，所以△ABC为直角三角形．
[类题通法]
利用正弦、余弦定理判断三角形形状的两种思路
角化边
利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状
边化角
利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论
[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[即时应用]
1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B.直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：选A 由正弦定理得a2＋b2＜c2，故cos C＝＜0，所以C为钝角．
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B.直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选C 因为a＝2bcos C，由正弦定理转化为角的关系得sin A＝2sin Bcos C，即sin(B＋C)＝2sin Bcos C，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
移项得sin(B－C)＝0，易得B＝C，故此三角形为等腰三角形．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B.等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A ∵向量m＝，n＝共线，∴acos ＝bcos .
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos ＝2sin cos cos ，∴sin ＝sin .
∵0<<，0<<，∴＝，
∴A＝B.同理可得B＝C，
∴△ABC为等边三角形．故选A.
三角形中的有关计算
[典题例析]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，a＋c＝1，b＝，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0.因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝.又0答案：C
2．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，
得＝，∴sin∠ADB＝.
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，∴BC＝AB＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AC＝.
答案：
3.如图，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求边BC上的高AD的长．
解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x.
由正弦定理，得＝，
∴sin C＝＝×＝.
∴C＝60°或C＝120°(舍去)．
由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5.∴AB＝21或AB＝35.
在△ABD中，AD＝AB·sin B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[类题通法]
三角形中几何计算问题的解题策略
(1)几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．
(2)在三角形的面积公式中S＝absin C＝acsin B＝bcsin A是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
[即时应用]
1．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选D 依题意与正弦定理得＝，sin C＝＝，C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，△ABC的面积等于AB·AC＝；当C＝120°时，A＝30°，△ABC的面积等于AB·AC·sin A＝.因此，△ABC的面积等于或.
2．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．
解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，MC(图略)，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos 30°，解得AM＝，所以AD＝.
答案：
3．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝，得
sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin (A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝cos C＋sin C.
所以tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝ .
于是sin B＝cos C＝ .
由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝.
正弦定理、余弦定理的实际应用
[典题例析]
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客的距离最短．
(3)由＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
[类题通法]
解斜三角形应用题的步骤
[即时应用]
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B.北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是( )
A．α，a，b B.α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析：选A 选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．
3．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
解析：由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)．
答案：5
4.如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________m.
解析：AB＝＝84，
tan∠CAB＝＝＝.由＝tan(45°＋∠CAB)＝＝，得CD＝169.
答案：169
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．在△ABC中，已知A＝120°，B＝30°，BC＝，则AC＝( )
A. B.
C．1 D.
答案：C
2．已知a，b，c分别是△ABC三边的长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )
A．60° B.90°
C．120° D．150°
解析：选C 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，∴cos C＝－，∴C＝120°.
3．在△ABC中，sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，结合正弦定理可得a2－c2＝(a－b)b＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可得2abcos C＝ab,解得cos C＝,所以C＝.
4．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A．钝角三角形 B.直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选A 由余弦定理得<，即a2＋c2－b2<0，所以△ABC为钝角三角形．
5.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A. m B.25 m
C．50 m D．50 m
解析：选C 在△ABC中，∠B＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝50 m，故选C.
二、填空题
6．在△ABC中，A＝，a＝c，则C＝________，＝________.
解析：由正弦定理知＝＝，所以sin C＝＝，所以C＝.所以B＝，所以b＝c，即＝1.
答案： 1
7．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析：由·＝tan A知bccos A＝tan A，则当A＝时，bc＝，S△ABC＝bcsin A＝.
答案：
8．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，C－B＝，则c－b的取值范围是________．
解析：∵C－B＝，∴C＝B＋.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴＝，
∴＝，
∴c－b＝＝.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＋2B＋＝π，
∴A＋2B＝.
∵0∴即c－b＝∈.
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若三角形的面积为，且b＋c＝5，求b和c的值．
解：(1)因为b2＋c2＝a2＋bc，
所以cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)S△ABC＝bcsin ＝，即bc＝4，
又b＋c＝5，解得b＝4，c＝1或b＝1，c＝4.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝60°，若三角形有两解，则b的取值范围为( )
A．(0,1) B.
C．(1,2) D.
解析：选B 由题意可得bsin A2．在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为( )
A. B.
C．3 D.
答案：D
3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：选A 设增加的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c，则新的三角形的三边长为a＋x，b＋x，c＋x，且c＋x为最大边，其对应角最大，而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，所以由余弦定理知新三角形最大角为锐角，故选A.
4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：选B 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a km，故选B.
5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A，于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.
6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
7．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其中最大内角不超过120°，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为a，a＋1，a＋2是三角形的三边，所以a＋21，设三角形的最大内角是α，则90°<α≤120°，于是0>cos α＝≥－，解得≤a<3，综上可得，实数a的取值范围是，故选A.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C－sin2A＋sin Bsin C＝0，则tan A的值是( )
A. B.－
C. D．－
解析：选D 依题意及正弦定理可得b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理得cos A＝＝－＝－，又09．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，则＝( )
A．2 B.
C．3 D．4
解析：选A 由正弦定理可得b2＝2ac，故cos B＝＝＝，化简得(2a－c)(a－2c)＝0，又a>c，故a＝2c，＝2，故选A.
10．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B.－
C．± D.
解析：选A 由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2＝b＋c，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B.直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 依题意结合正弦定理得sin C(1＋cos A)＝sin B＋sin C，即sin Ccos A－sin B＝sin Ccos A－sin(A＋C)＝－cos Csin A＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C＝0，C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故选B.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝120°，b＝1，面积为，则的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选C ∵A＝120°，∴sin A＝，S＝×1×c×sin A＝，∴c＝4.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝21，∴a＝，根据正弦定理可知＝＝2.
14．关于x的方程x2－x·cos Acos B－cos2＝0有一个根为1，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B.直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选A 由题意知1－cos Acos B－cos2＝0，即1－cos Acos B－(1＋cos C)＝0，即1－cos Acos B－－cos C＝0，即1－cos Acos B－＋cos(A＋B)＝0，化简整理得，cos(A－B)＝1，又A，B为三角形内角，所以A＝B.
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C 由余弦定理得，cos C＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absin C＝.
16．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故选C.
法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝ ＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∴cos A＝＝－.
17．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C.或1 D．1
解析：选B 根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C18．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选A 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，
即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
二、填空题
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________.
解析：因为A,C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.
答案：
20.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
答案：100
21．已知△ABC的三边分别是a，b，c，且面积S＝，则角C＝________.
解析：因为S＝＝absin C，所以a2＋b2－c2＝2absin C＝2abcos C，所以sin C＝cos C，即tan C＝1，解得C＝.
答案：
22．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cos C，则＋＝________.
解析：∵＋＝6cos C，∴＋＝6·，化简得a2＋b2＝c2，则＋＝tan C·＝
＝＝＝4.
答案：4
三、解答题
23．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由·＝2得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝，得
－cos 2B＝－cos＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C，
解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得
sin C＝，cos C＝.
又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝b.
又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6 ，
故b＝3.
