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专题跟踪检测（十） 空间几何体
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D A错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B错误，如图(2)(3)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
2．下列命题中，正确的是( )
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥
C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析：选D 对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B.②③
C．②④ D．①④
解析：选C 正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同，都是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，都是三角形，俯视图是有对角线的正方形，所以有且仅有两个视图相同的是②和④，故选C.
4.(2018年6月浙江省学考T12)在如图所示的几何体中，正方形DCEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥DC，AB＝6，AD＝DC＝2，BC＝2，则该几何体的正视图为( )
解析：选C 由直观图可知FD，EC在正视图中应为虚线，所以A，B选项错误；由于AD＝2，CB＝2，所以CB在AB上的投影应比AD在AB上的投影长，故选C.
5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．
6．将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 侧视图中能够看到线段AD1，应为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线．
7．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π B.50π
C．125π D．都不对
解析：选B 设球的半径为R，由题意得，(2R)2＝32＋42＋52，即4R2＝50，所以球的表面积为4πR2＝50π.
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B.16π
C．9π D．
解析：选A 如图所示，正四棱锥P?ABCD，设球的半径为R，则由题意可知，OA＝R，OP＝R，OO′＝4－R，O′A＝，所以在△OO′A中，OA2＝O′O2＋O′A2，即R2＝(4－R)2＋()2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.3π
C. D．6π
解析：选B 由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π.
10.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选D 直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图＝y(x＋2y＋x)＝，
而原梯形为直角梯形，其面积S＝·2y(x＋2y＋x)＝2×＝4.
11．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )
A．6个 B.7个
C．10个 D．无数个
解析：选D 依题意知过对棱中点的平面都满足要求，这样的平面有无数个，故选D.
12．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为( )
A．7π B.14π
C. D．
解析：选B ∵AB，AC，AD两两垂直，∴可以以AB，AC，AD为邻边构造一个球的内接长方体，其体对角线为＝，∴球的半径为r＝，∴球的表面积为S＝4πr2＝14π，故选B.
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋ B.4＋
C．2＋2 D．5
解析：选C 作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S -ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝，AC＝BC＝.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝×2×2＋×1×＋×1×＋×2×＝2＋2.
14．已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B.
C. D．
解析：选A △ABC的外接圆的半径r＝，点O到平面ABC的距离d＝＝.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝，故棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝××＝.
15．斜边长为2的等腰直角三角形以其中一条直角边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 因为等腰直角三角形的斜边长为2，所以其腰长为2，以一条直角边为旋转轴旋转一周所得几何体是一个圆锥，其底面半径为2，高为2，所以体积为V＝×π×22×2＝.故选C.
16.已知正方形ABCD的边长为2，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B?ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N?AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是( )
解析：选B 由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N?AMC的高为ON＝2－x，S△AMC＝MC·AD＝x，故三棱锥N?AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(017．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.π B.π
C.π D．2π
解析：选C 如图，所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥，其体积V＝2π－＝.
18．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B.30＋6
C．56＋12 D．60＋12
解析：选B 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，
据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4.
综上所述，BC⊥平面PAB，PB＝＝5，
PC＝＝＝，
AC＝＝，PA＝＝2.
∵PC＝AC＝，∴△PAC的边AP上的高为
h＝ ＝6.
∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，
S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝AP·h＝6.
故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.
二、填空题
19．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个三棱锥得到的．三棱柱的底面积为×3×4＝6，高为2＋4＋2＝8，三棱锥的底面积为×3×4＝6，高为2，
∴该几何体的体积为6×8－2××6×2＝40.
该几何体有5个面，一个面为长和宽分别为8和4的长方形，两个面为底边为4，高为＝的等腰三角形，两个面为上底为4，下底为8，高为的等腰梯形．
∴该几何体的表面积为8×4＋2××4×＋2××(4＋8)×＝32＋16.
答案：40 32＋16
20．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6 m,3 m,1 m的长方体，下面是两个半径均为 m的球，其体积为6×3×1＋2××π×3＝18＋9π(m3)．
答案：18＋9π
21.如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13(cm)．
答案：13
22．正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P-ABC(使P1，P2，P3重合于P)，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为________．
解析：沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P-ABC，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体P-ABC外接球的直径是以PA，PB，PC为棱的球内接长方体的体对角线，由长方体的体对角线的长l＝＝＝2＝2R，得R＝，故该三棱锥的外接球的表面积为S＝4π×6＝24π.
答案：24π
三、解答题
23.一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为 ，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
24.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.
现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
解：因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)·h等腰梯形的高＝202＋4×(10＋20) ＝1 120(cm2)．
S2＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(AB)2＋4×AB×AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)
于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 120＋1 300＝2 420(cm2)，
故所需加工处理费为0.20·S＝0.20×2 420＝484(元)．
25.如图所示，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)三棱锥C-MNP的体积．
解：(1)该三棱柱的侧面展开图为一长和宽分别为9和4的矩形，故对角线长为＝.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
∵MP＝，MA＝2，AC＝3，
∴x＝2，即PC＝2.
又NC∥AM，
故＝，即＝.
∴NC＝.
(3)S△PCN＝×PC×NC＝×2×＝.
在三棱锥M-PCN中，M到面PCN的距离，
即h＝×3＝.
∴VC-MNP＝VM-PCN＝·h·S△PCN＝××＝.
专题十空间几何体
[备考学什么——以纲忆知]
一、空间几何体的结构
知识条目
要求
1.柱、锥、台、球的结构特征
①棱柱、棱锥、棱台的概念
②棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点
③圆柱、圆锥、圆台、球的概念
④圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴
⑤球的球心、半径、直径
a
a
a
a
a
2.简单几何体的结构特征
①与正方体、球有关的简单几何体及其结构特征
②根据条件判断几何体的类型
b
b
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1)棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
(2)棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．
2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
空间几何体
结构特征
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．圆柱和棱柱统称为柱体
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为锥体
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．棱台与圆台统称为台体
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
二、空间几何体的三视图与直观图
知识条目
要求
1.中心投影和平行投影
①投影、投影线、投影面的概念
②中心投影和平行投影的概念
a
a
2.空间几何体的三视图
①几何体的正视图、侧视图、俯视图、三视图的概念
②三视图画法的规则
③画简单几何体的三视图
a
b
b
3.空间几何体的直观图
①斜二测画法的概念
②斜二测画法的步骤
③简单几何体的直观图的画法
④三视图所表示的空间几何体
⑤三视图和直观图的联系及相互转化
a
b
b
a
b
1.中心投影和平行投影
(1)投影、投影线、投影面的概念：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
(2)中心投影：光由一点向外散射形成的投影．其投影线相交于一点．
(3)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，其投影线也是平行的．
2．三视图
(1)正视图：从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视图．
(2)侧视图：从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的侧视图．
(3)俯视图：从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的俯视图．
(4)三视图的画法要点：在画一个物体的三视图时，要做到“长对正、高平齐、宽相等”，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，实线和虚线一定要分明．
3．平面图形直观图的画法(斜二测画法)
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
三、空间几何体的表面积与体积
知识条目
要求
1.柱体、锥体、台体的表面积与体积
①表面积与展开图的关系
②柱体、锥体、台体表面积公式
③柱体、锥体、台体体积公式
④柱体、锥体、台体的关系
⑤三棱柱和三棱锥图形的变化关系
a
a
a
a
a
2.球的表面积与体积
球的表面积与体积公式
a
3.组合体的表面积和体积
一些简单组合体表面积和体积的计算
b
圆柱的表面积公式
S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(r为圆柱的底面半径，l为圆柱的高)
圆锥的表面积公式
S′＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长)
圆台的表面积公式
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r，r′分别为圆台上、下底面半径，l为圆台的母线长)
柱体的体积公式
V＝Sh(S为底面积，h为柱体的高)
锥体的体积公式
V＝Sh(S为底面积，h为锥体的高)
台体的体积公式
V＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)
球的表面积公式
S＝4πR2
球的体积公式
V＝πR3
[学考怎样考——真题导析]
1．(2018年6月浙江省学考T4)将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2倍 B.4倍
C．6倍 D．8倍
解析：选D 设球原来的半径为R，则有＝8，故球的体积扩大到原来的8倍．
2．(2016年10月浙江省学考T11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D．2 cm3
解析：选A 由题可得该几何体是一个三棱锥，所以其体积为V＝××2×1×＝(cm3)．故选A.
3．(2017年4月浙江省学考T11)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB＝AD＝4，BC＝6，BD＝4，则该三棱锥三视图中的正视图为( )
解析：选C 由三视图中正视图的观测方法可知，选C.
4．(2017年11月浙江省学考T11)图①是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A1-AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图②的几何体的正视图为( )
解析：选B 由正视图的画法可知，该几何体的正视图的轮廓是一个长为，宽为1的矩形．棱CC1在背面，画虚线，棱AD1，AB1在正面，画实线，故选B.
5．(2018年4月浙江省学考T15)甲，乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为S甲，S乙，体积为V甲，V乙，则( )
A．S甲>S乙，V甲>V乙 B.S甲>S乙，V甲C．S甲V乙 D．S甲解析：选B 还原几何体如图所示．
几何体甲是由棱长为2a的正方体截去一棱长为a的小正方体后所得．其体积V甲＝(2a)3－a3＝7a3，表面积S甲＝6×(2a)2＝24a2.
几何体乙是由棱长为2a的正方体截去一底面为直角边长为a的等腰直角三角形，高为a的三棱柱后所得，其体积为V乙＝(2a)3－a3＝a3，表面积S乙＝4×(2a)2＋2[(2a)2－a2]＋a2＝(22＋)a2.
则S甲>S乙，V甲[考情分析]
本专题中几何体的三视图、组合体的表面积和体积是学考的考查重点，主要以选择、填空题的形式出现．因此复习空间几何体：
(1)会画直棱柱、圆柱、圆锥与球的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据展开图描述基本几何体或实物原型；
(2)能够求解正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积与体积；
(3)能够利用基本几何体与其三视图、展开图之间的关系解决现实生活中的简单问题.
空间几何体的结构特征
[典题例析]
1．给出下列四个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中假命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：显然命题①②均是真命题；对于命题③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点构成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，形成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题；对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是被截原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，故棱台的侧棱延长交于一点，故命题④是真命题．故选A.
答案：A
2．给出下列说法：
①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是________．
解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
答案：①②
[类题通法]
空间几何体结构特征有关问题的解答技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)还台为锥：台体是由与底面平行的平面截锥体所得到，所以在解决台体有关的问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，而且还要看旋转轴是哪条直线．
(4)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
[即时应用]
1．如图所示的几何体是棱柱的有( )
A．②③⑤ B.③④⑤
C．③⑤ D．①③
解析：选C 根据棱柱结构特征可知③⑤是棱柱．
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B.圆锥
C．球体 D．圆台
解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．
3．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填编号)．①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．
答案：①②③⑤
空间几何体的三视图与直观图
[典题例析]
1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)，
∴其正视图和侧视图是一个圆．
∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，
∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B.
答案：B
2．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是( )
解析：由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，所以对于选项A，原几何体为三棱柱；对于选项B，一定不能满足其正视图和侧视图都是面积为1的正方形，所以不正确；对于选项C，原几何体为正方体；对于选项D，原几何体为正方体被截掉的圆柱所得的空间几何体，故应选B.
答案：B
3.如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1，试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
解：如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形，如图所示．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底分别为AB＝2，CD＝3，腰AD＝2.
所以面积S＝×2＝5.
[类题通法]
1．空间几何体的三视图画法三原则
(1)长对正：正视图与俯视图的长相等；
(2)高平齐：正视图和侧视图的高相等；
(3)宽相等：侧视图和俯视图的宽相等．
对于三视图，关键是找出各顶点在投影面内的投影及视图中的各端点在原几何图形中的位置．
2．斜二测画法的注意事项
用斜二测画法作几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”：
“三变”
坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变，图形改变
“三不变”
平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变
3.平面图形的直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
[即时应用]
1．如图为一空间几何体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )
解析：选B 在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线应该互相平行．
2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B.矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
解析：选C 将直观图还原得?OABC，则
∵O′D′＝O′C′＝2(cm)，
OD＝2O′D′＝4(cm)，
C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
OC＝＝＝6(cm)，
OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，
故原图形为菱形．
3.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．
解：建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝，
所以OC′＝a＝a，
所以原三角形ABC的高OC＝a，
所以S△ABC＝×a×a＝a2.
空间几何体的表面积与体积
[典题例析]
1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________________．
解析：根据三视图可以还原出如图所示的空间几何体，该几何体是由一个底面边长为6、高为的正三棱锥挖去一个圆锥而得到的，由S△ABC＝3××6×OD(D为圆锥的底面圆(圆O)与AC的切点)，且S△ABC＝×6×6sin，易得OD＝，S△ABC＝9.
在直角三角形POD中，由勾股定理得PD＝3，从而得三棱锥的表面积S1＝27＋9，圆锥的侧面积S2＝3π，圆锥的底面积S3＝3π，故空间几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝27＋9＋3π－3π.
答案：27＋9＋3π－3π
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别为PA，PD的中点，则平面BCFE将四棱锥P-ABCD所分成的上下两部分的体积的比值为________．
解析：设四棱锥P-ABCD的体积为V，连接FA，BF(图略)，则下面部分几何体的体积为VF-ABCD＋VB-AEF，其中VF-ABCD＝V，VB-AEF＝VB-APF＝VB-ADP＝VP-ABD＝V，所以VF-ABCD＋VB-AEF＝V，则上面部分几何体的体积为V－V＝V，故平面BCFE将四棱锥P-ABCD所分成的上下两部分的体积的比值为.
答案：
[类题通法]
1．空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
2．空间几何体体积的求法
(1)割补法：求一个不规则几何体的体积时，可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，或拼补成一个规则的柱体、锥体等，分别求出柱体、锥体的体积，从而得出几何体的体积．
(2)等积变换法：主要有同底等高和同高等底两种基本类型．求体积时，往往选择比较容易计算的分式进行．
[即时应用]
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π B.4π
C．2π＋4 D．3π＋4
解析：选D 该几何体为圆柱体的一半，可得上下两个半圆的表面积S1＝πr2＝π，侧面积S2＝2×2＋·2πr·2＝2π＋4，所以此几何体的表面积S＝S1＋S2＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C．2π D．4π
解析：选B 旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高为，高为，故所得几何体的体积V＝π()2××2＝.
3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D．
解析：选D 由三视图得，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，截去四面体A?A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则VA?A1B1D1＝×a3＝a3，故剩余几何体体积为a3－a3＝a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.
答案：12＋π
空间几何体中的转化思想
[典题例析]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.
(1)求AB的长度；
(2)求该长方体外接球的表面积．
解：(1)设AB＝x，点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|＝，如图乙的最短路程为|AC1|＝.
∵x>1，
∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.
由题意得 ＝2，解得x＝2.
即AB的长度为2.
(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，
∴R2＝，
∴S表＝4πR2＝6π.
即该长方体外接球的表面积为6π.
[类题通法]
1．转化思想的应用
解决空间几何体表面上距离最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将空间问题转化为平面上的最值问题．
2．“接”问题的处理策略
把一个多面体的所有顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[即时应用]
1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O?ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π
C．144π D．256π
解析：选C 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O?ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO?ABC＝VC?AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D．
解析：选D 依题意，记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VP-ABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2＝，故选D.
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．某圆台如图所示放置，则该圆台的俯视图是( )
答案：D
2．若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是( )
答案：A
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1的长为( )
A. B.
C．2 D．3
答案：B
4．(2016年1月浙江省学考T10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．四棱柱 B.三棱柱
C．四棱锥 D．三棱锥
答案：B
5．给出下列四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：选B 只有②正确．对角面是矩形保证了平行六面体是直平行六面体．对角面全等保证了两底面是矩形．
二、填空题
6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
答案：2.5
7．四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，且四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一个球面上，E、F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为________．
解析：将三视图还原为直观图如图中四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD＝a，连接AC，由题意得BC⊥PB，DC⊥PD，PA⊥AC，取PC的中点O，连接OA，OB，OD，可得OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝PC，所以O为球心．由直线EF被球面所截得的线段长为2得，AC＝a＝2，a＝2，即4R2＝PC2＝PA2＋AC2＝a2＋2a2＝3a2＝12，所以所求外接球的表面积为4πR2＝12π.
答案：12π
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，故该几何体的表面积为S＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π.
答案：9π
三、解答题
9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，
S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D A错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B错误，如图(2)(3)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
2．下列命题中，正确的是( )
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥
C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析：选D 对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B.②③
C．②④ D．①④
解析：选C 正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同，都是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，都是三角形，俯视图是有对角线的正方形，所以有且仅有两个视图相同的是②和④，故选C.
4.(2018年6月浙江省学考T12)在如图所示的几何体中，正方形DCEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥DC，AB＝6，AD＝DC＝2，BC＝2，则该几何体的正视图为( )
解析：选C 由直观图可知FD，EC在正视图中应为虚线，所以A，B选项错误；由于AD＝2，CB＝2，所以CB在AB上的投影应比AD在AB上的投影长，故选C.
5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．
6．将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 侧视图中能够看到线段AD1，应为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线．
7．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π B.50π
C．125π D．都不对
解析：选B 设球的半径为R，由题意得，(2R)2＝32＋42＋52，即4R2＝50，所以球的表面积为4πR2＝50π.
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B.16π
C．9π D．
解析：选A 如图所示，正四棱锥P?ABCD，设球的半径为R，则由题意可知，OA＝R，OP＝R，OO′＝4－R，O′A＝，所以在△OO′A中，OA2＝O′O2＋O′A2，即R2＝(4－R)2＋()2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.3π
C. D．6π
解析：选B 由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π.
10.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选D 直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图＝y(x＋2y＋x)＝，
而原梯形为直角梯形，其面积S＝·2y(x＋2y＋x)＝2×＝4.
11．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )
A．6个 B.7个
C．10个 D．无数个
解析：选D 依题意知过对棱中点的平面都满足要求，这样的平面有无数个，故选D.
12．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为( )
A．7π B.14π
C. D．
解析：选B ∵AB，AC，AD两两垂直，∴可以以AB，AC，AD为邻边构造一个球的内接长方体，其体对角线为＝，∴球的半径为r＝，∴球的表面积为S＝4πr2＝14π，故选B.
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋ B.4＋
C．2＋2 D．5
解析：选C 作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S -ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝，AC＝BC＝.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝×2×2＋×1×＋×1×＋×2×＝2＋2.
14．已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B.
C. D．
解析：选A △ABC的外接圆的半径r＝，点O到平面ABC的距离d＝＝.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝，故棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝××＝.
15．斜边长为2的等腰直角三角形以其中一条直角边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 因为等腰直角三角形的斜边长为2，所以其腰长为2，以一条直角边为旋转轴旋转一周所得几何体是一个圆锥，其底面半径为2，高为2，所以体积为V＝×π×22×2＝.故选C.
16.已知正方形ABCD的边长为2，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B?ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N?AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是( )
解析：选B 由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N?AMC的高为ON＝2－x，S△AMC＝MC·AD＝x，故三棱锥N?AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(017．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.π B.π
C.π D．2π
解析：选C 如图，所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥，其体积V＝2π－＝.
18．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B.30＋6
C．56＋12 D．60＋12
解析：选B 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，
据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，
据侧视图知，BC＝4.
综上所述，BC⊥平面PAB，PB＝＝5，
PC＝＝＝，
AC＝＝，PA＝＝2.
∵PC＝AC＝，∴△PAC的边AP上的高为
h＝ ＝6.
∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，
S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝AP·h＝6.
故三棱锥的表面积为
S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.
二、填空题
19．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个三棱锥得到的．三棱柱的底面积为×3×4＝6，高为2＋4＋2＝8，三棱锥的底面积为×3×4＝6，高为2，
∴该几何体的体积为6×8－2××6×2＝40.
该几何体有5个面，一个面为长和宽分别为8和4的长方形，两个面为底边为4，高为＝的等腰三角形，两个面为上底为4，下底为8，高为的等腰梯形．
∴该几何体的表面积为8×4＋2××4×＋2××(4＋8)×＝32＋16.
答案：40 32＋16
20．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6 m,3 m,1 m的长方体，下面是两个半径均为 m的球，其体积为6×3×1＋2××π×3＝18＋9π(m3)．
答案：18＋9π
21.如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13(cm)．
答案：13
22．正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P-ABC(使P1，P2，P3重合于P)，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为________．
解析：沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P-ABC，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体P-ABC外接球的直径是以PA，PB，PC为棱的球内接长方体的体对角线，由长方体的体对角线的长l＝＝＝2＝2R，得R＝，故该三棱锥的外接球的表面积为S＝4π×6＝24π.
答案：24π
三、解答题
23.一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为 ，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
24.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.
现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
解：因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)·h等腰梯形的高＝202＋4×(10＋20) ＝1 120(cm2)．
S2＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(AB)2＋4×AB×AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)
于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 120＋1 300＝2 420(cm2)，
故所需加工处理费为0.20·S＝0.20×2 420＝484(元)．
25.如图所示，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)三棱锥C-MNP的体积．
解：(1)该三棱柱的侧面展开图为一长和宽分别为9和4的矩形，故对角线长为＝.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
∵MP＝，MA＝2，AC＝3，
∴x＝2，即PC＝2.
又NC∥AM，
故＝，即＝.
∴NC＝.
(3)S△PCN＝×PC×NC＝×2×＝.
在三棱锥M-PCN中，M到面PCN的距离，
即h＝×3＝.
∴VC-MNP＝VM-PCN＝·h·S△PCN＝××＝.
