课件61张PPT。y－y0＝k(x－x0)
“专题跟踪检测”见“专题跟踪检测 (十二)”
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专题跟踪检测（十二） 直线与方程
一、选择题
1. 若直线5x－2y－10＝0在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则( )
A．a＝－2，b＝－5 B.a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5 D．a＝2，b＝5
解析：选B 令y＝0得a＝2，令x＝0得b＝－5.
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为( )
A．1 B.－2
C．－2或1 D．2或1
解析：选C 显然a≠0.令y＝0得直线在x轴上的截距为，令x＝0得直线在y轴上的截距为2＋a.由＝2＋a得a＝－2或a＝1.
3．在y轴上的截距为－1，且倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍的直线方程是( )
A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选A 直线x－y－＝0的倾斜角为60°，则所求直线的倾斜角为120°，即斜率为－，则直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
4．一条光线从点A(－3,5)入射到x轴上，反射以后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为( )
A．5 B.2
C．5 D．10
解析：选C 由题意，点A关于x轴对称的点A′(－3，－5)，则光线从A到B的距离即为A′到B的距离，|A′B|＝＝5，故选C.
5．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2) B.(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设P(x,5－3x)，
则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，
即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
6.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
B．k3C．k3D．k1解析：选D 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以07．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
8．直线y＝ax－的图象可能是( )
解析：选B 令x＝0得直线在y轴上的截距为－，令y＝0得直线在x轴上的截距为.显然>0，结合图象知选B.
9．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )
A．7 B.9
C．11 D．16
解析：选B ∵直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，变形可得m＋2n＝mn，可得＋＝1(m＞0，n＞0)，∴2m＋n＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝3(m，n为正整数)时取等号．
10．当k取不同实数时，方程kx＋y＋3k＋1＝0表示的几何图形具有的特征是( )
A．都经过第一象限
B．组成一个封闭的圆形
C．表示直角坐标平面内的所有直线
D．相交于一点
解析：选D 直线方程可化为k(x＋3)＋y＋1＝0，所以直线恒过定点(－3，－1)，故选D.
11．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B.重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两条直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．
12．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 直线2x＋3y－6＝0与x轴、y轴交于(3,0)，(0,2)，直线l过定点(0，－)由图可知k∈时交点在第一象限．
13．曲线－＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4,4)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,3)
解析：选A 曲线－＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点．令y＝0得x＝－，所以－<－2或－>2，则m>4或m<－4.
14．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－
C．2 D．－2
解析：选A ∵l2，l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，∴l2的斜率为，故选A.
15．一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A．m>1且n<1 B.mn<0
C．m>0且n<0 D．m<0且n<0
解析：选B 因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，所以－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此其必要不充分条件为mn<0.
16．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B.x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
17．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.(0，π)
C. D．∪
解析：选D 直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.综上，倾斜角的取值范围是∪.
18．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D．
解析：选B 法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知条件得：·＝1，∴a＝.∵点M在线段OA上，∴－1<－<0，∴0(2)当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时，如图②所示．
设MC＝m，NC＝n，则S△MCN＝mn＝，∴mn＝1.显然，0.
又0设D到AC，BC的距离为t，
则＝，＝，∴＋＝＋＝1.
∴t＝，∴＝＋＝＋m.
而f(m)＝m＋的值域为，
即2<≤，∴≤t＜.
∵b＝1－CD＝1－t，∴1－＜b≤.
综合(1)、(2)可得：1－法二：由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故答案为B.
二、填空题
19．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.
解析：依题意有k＝－a＝tan＝1，则a＝－1.若l1⊥l2，则－a×1＝－1，得a＝1.
答案：－1 1
20．平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________(将你认为下面所有正确的序号都填上)．
①0；②；③1；④2；⑤3.
解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k＝0,1,2时均符合题意．
答案：①③④
21．设直线的斜率为k，且－解析：作出函数y＝tan x在区间和上的图象，如图．作两直线y＝和y＝－，分别交y＝tan x的图象于点A和点B.由图象可知，直线的倾斜角α的取值范围为∪.
答案：∪
22.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于________．
解析：以AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D.设|AP|＝x，则P(x,0)，x∈(0,4)，知点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4,4－x)，P2(－x,0)，与△ABC的重心D共线，所以＝，求得x＝(x＝0舍去)，即|AP|＝.
答案：
三、解答题
23．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，求直线l的方程．
解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x＋y＋m＝0(m≠0)，
由已知＝，解得m＝－2或m＝－6，
故所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y＝kx，
由已知＝，解得k＝1或k＝－7，
故所求的直线方程为x－y＝0或7x＋y＝0.
综上，所求的直线方程为
x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.
24．光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
25．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
解：(1)设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P，则P即为所求．
理由：在l上另任取一点P′，
则|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′|<|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|PB|.
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，
又线段BB′的中点在l上，
故3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.
则可得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
∴直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.
则由可得P(2,5)．即(2,5)为所求．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可求C′.
连接AC′交l于P，则在l上另任取一点P″，有|P″A|＋|P″C|＝|P″A|＋|P″C′|>|AC′|＝|PC′|＋|PA|＝|PC|＋|PA|，故P即为所求．
又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，
由得P.
即为所求．
专题十二直线与方程
[备考学什么——以纲忆知]
一、直线的倾斜角与斜率
知识条目
要求
1.倾斜角与斜率
①直线的倾斜角及其取值范围
②直线的斜率的概念
③经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式
b
b
c
2.两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行的判定
②两条直线垂直的判定
c
c
1.倾斜角与斜率
(1)倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
(2)直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是k＝tan_α，直线l与x轴平行或重合时，α＝0°，k＝tan 0°＝0；直线l与x轴垂直时，α＝90°，k不存在．
(3)过两点的斜率公式：过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x2≠x1)．
2．两条直线平行与垂直的判定
(1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；
②l1⊥l2?k1k2＝－1.
(2)若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1，B2都不为零，则
①l1∥l2?＝≠；
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
二、直线的方程
知识条目
要求
1.直线的点斜式方程
①直线的点斜式方程
②直线的斜截式方程
c
c
2.直线的两点式方程
①直线的两点式方程
②直线的截距式方程
③平面上两点连线的中点坐标公式
b
b
c
3.直线的一般式方程
①直线的一般式方程
②直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式
b
c
名称
几何条件
方程
局限性
点斜式
由直线上一点(x0，y0)及其斜率k确定
y－y0＝k(x－x0)
不包括垂直于x轴的直线
斜截式
由直线的斜率k及它在y轴上的截距b确定
y＝kx＋b
不包括垂直于x轴的直线
两点式
由直线上的两点(x1，y1)，(x2，2)(x1≠x2，y1≠y2)确定
＝
不包括垂直于x，y轴的直线
截距式
由在两个坐标轴上的截距a，b(ab≠0)确定
＋＝1
不包括垂直于x，y轴及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
三、直线的交点坐标与距离公式
知识条目
要求
1.两条直线的交点坐标
①两条直线的交点坐标
②根据直线方程确定两条直线的位置关系
c
b
2.距离
①平面上两点间的距离公式
②点到直线的距离公式
③两平行线距离的求法
c
c
b
1.两条直线的交点
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标可由方程组解得．
2．距离公式
(1)两点间的距离：已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离：已知两条平行直线l1和l2的一般式方程l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离d＝.
3．线段的中点坐标公式
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点坐标为.
[学考怎样考——真题导析]
1．(2016年10月浙江省学考T2)直线y＝x－1的倾斜角是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 由题可得k＝tan θ＝1，因为θ∈[0，π)，所以θ＝.故选B.
2．(2017年11月浙江省学考T7)点(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离是( )
A. B.
C．1 D．
解析：选A 由点到直线的距离公式得，点(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
3．(2016年4月浙江省学考T5)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为y＝x＋2，则一点O到直线l的距离是( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 直线l的方程为x－y＋2＝0，则点O到直线l的距离d＝＝.
4．(2018年4月浙江省学考T14)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝( )
A. B.
C．1 D．
解析：选B 设AB的倾斜角为α，AC的倾斜角为β，则β＝2α.tan α＝kAB＝＝.tan β＝＝，又tan β＝tan 2α＝＝＝，故a＝.
[考情分析]
本专题中直线的倾斜角与斜率、直线与方程、直线的位置关系以及对称问题是学考的重点考查内容，主要以选择、填空题的形式出现．直线方程一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与方程、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在学考中．
直线的方程
[典题例析]
根据条件求直线方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且原点到直线的距离为5.
解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)．
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0.
当斜率存在时，设为k，则直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
∴＝5，解得k＝.
则直线方程为3x－4y＋25＝0.
∴所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
[类题通法]
求直线方程的注意事项
在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式直线方程的使用条件．
(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线．
(3)截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．
故在解题时，若采用截距式时，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应优先考虑斜率不存在的情况．
[即时应用]
1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.－
C．－ D．
解析：选B 设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－.
2．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．
解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，解得x＝－3.
答案：－3
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
两条直线的位置关系
[典题例析]
1．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，则a＝________，若 l1∥l2，则l1与l2的距离为________．
解析：若l1⊥l2，则a＋2(a－1)＝0，解得a＝.若l1∥l2，则解得a＝－1，此时l1：－x＋2y＋6＝0，即为x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，则l1，l2之间的距离为＝.
答案：
2．已知点A(2,0)，B(－2,4)，C(5,8)，若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是________．
解析：设D(x，y)，两条线段有相同的中垂线，则两线段AB，CD所在直线平行，
则＝＝－1，即x＋y－13＝0.
又由|BD|＝|AC|，
得 ＝，
由解得或
画图检验知不合题意，故点D的坐标是(6,7)．
答案：(6,7)
[类题通法]
两直线间的位置关系的判定方法
(1)判断两直线平行的方法
①判断两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判断是否重合．
②直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.
(2)判定两直线垂直的方法
①判断两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．
②直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
[即时应用]
1．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于( )
A．3 B.1
C．－1 D．3或－1
解析：选C 由题意知，l1∥l2?＝≠，即a＝－1.
2．记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝________.
解析：当直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时，m满足(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，
故M＝；
直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行，当n＝0时，显然两直线不平行；当n≠0时，两直线平行的充要条件是＝≠，即n＝－2，所以N＝{－2}．
故M∪N＝.
答案：
3．已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．
解析：由两平行线间距离公式得，l1与l2的距离d＝＝.
答案：
4．已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．
解析：∵两直线互相垂直，∴a2b－(a2＋1)＝0，
∴a2b＝a2＋1，显然a≠0，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝＝|a|＋≥2(当且仅当a＝±1时取等号)．
答案：2
直线系方程
[典题例析]
1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m－2)y－5m＝0.
(1)求证：直线l必经过定点P；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：(1)证明：由题意得，m(2x＋y－5)＋(x－2y)＝0，由得∴直线l必经过定点P(2,1)．
(2)法一：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由题意得＝，解得m＝0或－3.
则直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.
法二：因为直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l过原点或斜率为－1.
从而有m＝0或－＝－1，所以m＝0或m＝－3.
则直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.
2．已知直线l过点P(3,1)．
(1)若l与直线x＋2y－3＝0平行，求l的方程；
(2)若l与直线x＋2y－3＝0垂直，求l的方程．
解：(1)与x＋2y－3＝0平行的直线可设为x＋2y＋m＝0(m≠－3)，又l过点P，即3＋2×1＋m＝0，解得m＝－5，
所以l的方程为x＋2y－5＝0.
(2)与x＋2y－3＝0垂直的直线可设为2x－y＋n＝0，
又l过点P，即2×3－1＋n＝0，解得n＝－5，
所以l的方程为2x－y－5＝0.
[类题通法]
常见的直线系方程
符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：
(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0.
(3)过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0或A2x＋B2y＋C2＝0.
[即时应用]
1．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝( )
A．－1 B.－
C．2 D．
解析：选B 由得
将其代入x＋by＝0，得b＝－.
2．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到l的距离为.则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B.3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C 由得交点(2,2)，
设l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，
∵＝，解得k＝3.
∴l的方程为3x－y－4＝0.
3．经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________．
解析：法一：由方程组解得
即点P(－2,1)，
∵l3⊥l，∴k＝－，
∴直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，∴λ＝－.
∴直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0.
答案：x＋2y＝0
4．过直线x＋3y－10＝0和直线y＝3x的交点，且与原点的距离为1的直线方程为________．
解析：依题意设所求直线方程为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0，
整理得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.由点到直线的距离公式得＝1，解得λ＝±3.
所以所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
答案：x＝1或4x－3y＋5＝0
对称问题
[典题例析]
若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是________．
解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心A(－1,0)，由点A，C关于直线x＋y－1＝0对称得解得
又圆的半径是1，所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，
即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0
[类题通法]
对称问题的求解方法
对称包括中心对称和轴对称两种情形．其中，中心对称主要是中点坐标公式的运用，轴对称与中点坐标公式和斜率间的关系有关．常见的对称问题的求解方法：
(1)中心对称
①若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称
①点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且直线P1P2垂直于对称轴l.
由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
[即时应用]
1．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标是________．
解析：设A′(x，y)，则由已知得
解得故A′.
答案：
2．已知入射光线经过点M(－3,4)被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析： 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′.由解得 又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
3．直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为________．
解析：法一：解方程组 得直线l1与直线l的交点A.在直线l1上取一点B(2,0)，设点B关于直线l对称的点为C(x，y)，
则 解得 即C(－2,4)．
又直线l2过A和C(－2,4)两点，
所以由两点式得直线l2的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
法二：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l对称的点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为，直线MN的斜率为.由题意，得
解得 因为点M(x0，y0)在直线l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0.
答案：x＋2y－6＝0
[基础随堂巩固]
一、选择题
1．直线3x－y＋2＝0的倾斜角大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B 由直线的方程可得直线的斜率k＝＝＝tan θ，又由直线的斜率与倾斜角的正切值之间的关系可知所求倾斜角为60°.故选B.
2．(2015年7月浙江省学考T13)对任意的实数a，直线ax＋y－2＝0恒过定点( )
A．(0，－2) B.(0,2)
C．(－2,0) D．(2,0)
答案：B
3．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为( )
A．x－y－3＝0
B．2x－5y＝0
C．2x－5y＝0或x－y－3＝0
D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝0
解析：选C 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将A(5，2)代入，得k＝，故直线方程为2x－5y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将A(5,2)代入，得a＝3，故直线方程为x－y－3＝0.故选C.
4．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能是( )
解析：选C 列表如下：
选项
A
B
C
D
直线l1
k<0，b>0
k>0，b<0
k>0，b>0
k<0，b>0
直线l2
b>0，k>0
b>0，k>0
b>0，k>0
b<0，k<0
由上表排除选项A、B、D.故选C.
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B.(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，该定点关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)，故选B.
二、填空题
6．点(－1,2)关于直线y＝x－1的对称点的坐标是________．
解析：由题意设该对称点的坐标为(a，b)，则解得即点(－1,2)关于直线y＝x－1的对称点的坐标是(3，－2)．
答案：(3，－2)
7．两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，各自绕A，B旋转．当这两条平行线间的距离最大时，两直线方程分别是________________________．
解析：根据题意知，当这两条平行直线旋转到与直线AB垂直时，两平行线间的距离取得最大值．∵kAB＝，∴两直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
答案：3x＋y－20＝0,3x＋y＋10＝0
8．经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB.又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，故k∈[－1,1]．当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k＜0时，≤α＜π，故倾斜角α的取值范围为∪.
答案：[－1,1] ∪
三、解答题
9．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝.
[专题跟踪检测]
一、选择题
1. 若直线5x－2y－10＝0在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则( )
A．a＝－2，b＝－5 B.a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5 D．a＝2，b＝5
解析：选B 令y＝0得a＝2，令x＝0得b＝－5.
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为( )
A．1 B.－2
C．－2或1 D．2或1
解析：选C 显然a≠0.令y＝0得直线在x轴上的截距为，令x＝0得直线在y轴上的截距为2＋a.由＝2＋a得a＝－2或a＝1.
3．在y轴上的截距为－1，且倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍的直线方程是( )
A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选A 直线x－y－＝0的倾斜角为60°，则所求直线的倾斜角为120°，即斜率为－，则直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
4．一条光线从点A(－3,5)入射到x轴上，反射以后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为( )
A．5 B.2
C．5 D．10
解析：选C 由题意，点A关于x轴对称的点A′(－3，－5)，则光线从A到B的距离即为A′到B的距离，|A′B|＝＝5，故选C.
5．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2) B.(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设P(x,5－3x)，
则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，
即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
6.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1解析：选D 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以07．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
8．直线y＝ax－的图象可能是( )
解析：选B 令x＝0得直线在y轴上的截距为－，令y＝0得直线在x轴上的截距为.显然>0，结合图象知选B.
9．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )
A．7 B.9
C．11 D．16
解析：选B ∵直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，变形可得m＋2n＝mn，可得＋＝1(m＞0，n＞0)，∴2m＋n＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝3(m，n为正整数)时取等号．
10．当k取不同实数时，方程kx＋y＋3k＋1＝0表示的几何图形具有的特征是( )
A．都经过第一象限
B．组成一个封闭的圆形
C．表示直角坐标平面内的所有直线
D．相交于一点
解析：选D 直线方程可化为k(x＋3)＋y＋1＝0，所以直线恒过定点(－3，－1)，故选D.
11．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B.重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两条直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．
12．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 直线2x＋3y－6＝0与x轴、y轴交于(3,0)，(0,2)，直线l过定点(0，－)由图可知k∈时交点在第一象限．
13．曲线－＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4,4)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,3)
解析：选A 曲线－＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点．令y＝0得x＝－，所以－<－2或－>2，则m>4或m<－4.
14．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－
C．2 D．－2
解析：选A ∵l2，l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，∴l2的斜率为，故选A.
15．一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A．m>1且n<1 B.mn<0
C．m>0且n<0 D．m<0且n<0
解析：选B 因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，所以－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此其必要不充分条件为mn<0.
16．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B.x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
17．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.(0，π)
C. D．∪
解析：选D 直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.综上，倾斜角的取值范围是∪.
18．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D．
解析：选B 法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知条件得：·＝1，∴a＝.∵点M在线段OA上，∴－1<－<0，∴0(2)当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时，如图②所示．
设MC＝m，NC＝n，则S△MCN＝mn＝，∴mn＝1.显然，0.
又0设D到AC，BC的距离为t，
则＝，＝，∴＋＝＋＝1.
∴t＝，∴＝＋＝＋m.
而f(m)＝m＋的值域为，
即2<≤，∴≤t＜.
∵b＝1－CD＝1－t，∴1－＜b≤.
综合(1)、(2)可得：1－法二：由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故答案为B.
二、填空题
19．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.
解析：依题意有k＝－a＝tan＝1，则a＝－1.若l1⊥l2，则－a×1＝－1，得a＝1.
答案：－1 1
20．平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________(将你认为下面所有正确的序号都填上)．
①0；②；③1；④2；⑤3.
解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k＝0,1,2时均符合题意．
答案：①③④
21．设直线的斜率为k，且－解析：作出函数y＝tan x在区间和上的图象，如图．作两直线y＝和y＝－，分别交y＝tan x的图象于点A和点B.由图象可知，直线的倾斜角α的取值范围为∪.
答案：∪
22.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于________．
解析：以AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D.设|AP|＝x，则P(x,0)，x∈(0,4)，知点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4,4－x)，P2(－x,0)，与△ABC的重心D共线，所以＝，求得x＝(x＝0舍去)，即|AP|＝.
答案：
三、解答题
23．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，求直线l的方程．
解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x＋y＋m＝0(m≠0)，
由已知＝，解得m＝－2或m＝－6，
故所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y＝kx，
由已知＝，解得k＝1或k＝－7，
故所求的直线方程为x－y＝0或7x＋y＝0.
综上，所求的直线方程为
x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.
24．光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
25．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
解：(1)设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P，则P即为所求．
理由：在l上另任取一点P′，
则|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′|<|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|PB|.
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，
又线段BB′的中点在l上，
故3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.
则可得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
∴直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.
则由可得P(2,5)．即(2,5)为所求．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可求C′.
连接AC′交l于P，则在l上另任取一点P″，有|P″A|＋|P″C|＝|P″A|＋|P″C′|>|AC′|＝|PC′|＋|PA|＝|PC|＋|PA|，故P即为所求．
又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，
由得P.
即为所求．
