1．2.2 组 合
第一课时 组合与组合数公式
预习课本P21～24，思考并完成以下问题
1．组合的概念是什么？
2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？
3．组合数有怎样的性质？
1．组合的概念
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示法
C
组合数
公式
乘积式
C＝＝
阶乘式
C＝
性质
C＝C_，C＝C＋C_
备注
①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1
[点睛] 排列与组合的联系与区别
联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.( )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．( )
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( )
(4)C＝5×4×3＝60.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．C＝10，则n的值为( )
A．10 B．5
C．3 D．4
答案：B
3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )
A．504种 B．729种
C．84种 D．27种
答案：C
4．计算C＋C＋C＝________.
答案：120
组合的概念
[典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
[解] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
区分排列与组合的方法
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
[活学活用]
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；
(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；
(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．
解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．
(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．
(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题.
有关组合数的计算与证明
[典例] (1)计算C－C·A；
(2)证明：mC＝nC.
[解] (1)原式＝C－A＝－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明：mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．
[活学活用]
1．计算：C＋C的值．
解：∵
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10.
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.
2．求使3C＝5A成立的x值．
解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为
3·＝5·，
即＝，即为(x－3)(x－6)＝40.
∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.
经检验知x＝11时原式成立．
3．证明下列各等式．
(1)C＝C；
(2)C＋C＋C…＋C＝C.
解：(1)右边＝·
＝·
＝＝C＝左边，∴原式成立．
(2)左边＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝(C3n＋4＋C)＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝右边，∴原式成立.
简单的组合问题
[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加．
[解] (1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事；
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
[活学活用]
1．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？
解：分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．
层级一 学业水平达标
1．C＋C的值为( )
A．36 B．84
C．88 D．504
解析：选A C＋C＝C＝C＝＝84.
2．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地
解析：选C 选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C．
3．方程C＝C的解集为( )
A．4 B．14
C．4或6 D．14或2
解析：选C 由题意知或
解得x＝4或6.
4．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )
A．6 B．12
C．24 D．36
解析：选B 甲部门分一名电脑编程人员有CCC种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有CCC种分配方案．∴由分类加法计数原理得，共有CCC＋CCC＝12(种)不同的分配方案．
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种 B．48种
C．30种 D．10种
解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30种．故选C．
6．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．
解析：原式＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＝C＝C＝7 315.
答案：7 315
7．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．
解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C＝20种．
答案：20
8．不等式C－n<5的解集为________．
解析：由C－n<5，得－n<5，
∴n2－3n－10<0.解得－2由题设条件知n≥2，且n∈N*，
∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
9．(1)解方程：A＝6C；
(2)解不等式：C>3C.
解：(1)原方程等价于
m(m－1)(m－2)＝6×，
∴4＝m－3，m＝7.
(2)由已知得：
∴x≤8，且x∈N*，
∵C>3C，
∴>.
即>，
∴x>3(9－x)，解得x>，
∴x＝7,8.
∴原不等式的解集为{7,8}．
10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有多少个矩形？
(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？
解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210(种)走法．
层级二 应试能力达标
1．若C>C，则n的集合是( )
A．{6,7,8,9} B．{0,1,2,3}
C．{n|n≥6} D．{7,8,9}
解析：选A ∵C>C，∴
?
??
∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.
∴n的集合为{6,7,8,9}．
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
解析：选B 由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．
3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C＝1种，取2奇数2偶数的取法有C·C＝60种，取4个数均为奇数的取法有C＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．
4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )
A．18对 B．24对
C．30对 D．36对
解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．
5．方程C－C＝C的解集是________．
解析：因为C＝C＋C，所以C＝C，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.
答案：{5}
6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答)．
解析：两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
答案：10
7．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
解：由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？
(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？
解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A＝24个．
(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．
(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，
∴不同的映射有：1＋CA＋CA＋C＝31个．
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课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式
层级一 学业水平达标
1．C＋C的值为( )
A．36 B．84
C．88 D．504
解析：选A C＋C＝C＝C＝＝84.
2．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地
解析：选C 选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C．
3．方程C＝C的解集为( )
A．4 B．14
C．4或6 D．14或2
解析：选C 由题意知或
解得x＝4或6.
4．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )
A．6 B．12
C．24 D．36
解析：选B 甲部门分一名电脑编程人员有CCC种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有CCC种分配方案．∴由分类加法计数原理得，共有CCC＋CCC＝12(种)不同的分配方案．
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种 B．48种
C．30种 D．10种
解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30种．故选C．
6．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．
解析：原式＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＝C＝C＝7 315.
答案：7 315
7．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．
解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C＝20种．
答案：20
8．不等式C－n<5的解集为________．
解析：由C－n<5，得－n<5，
∴n2－3n－10<0.解得－2由题设条件知n≥2，且n∈N*，
∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
9．(1)解方程：A＝6C；
(2)解不等式：C>3C.
解：(1)原方程等价于
m(m－1)(m－2)＝6×，
∴4＝m－3，m＝7.
(2)由已知得：
∴x≤8，且x∈N*，
∵C>3C，
∴>.
即>，
∴x>3(9－x)，解得x>，
∴x＝7,8.
∴原不等式的解集为{7,8}．
10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有多少个矩形？
(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？
解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210(种)走法．
层级二 应试能力达标
1．若C>C，则n的集合是( )
A．{6,7,8,9} B．{0,1,2,3}
C．{n|n≥6} D．{7,8,9}
解析：选A ∵C>C，∴
?
??
∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.
∴n的集合为{6,7,8,9}．
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
解析：选B 由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．
3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C＝1种，取2奇数2偶数的取法有C·C＝60种，取4个数均为奇数的取法有C＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．
4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )
A．18对 B．24对
C．30对 D．36对
解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．
5．方程C－C＝C的解集是________．
解析：因为C＝C＋C，所以C＝C，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.
答案：{5}
6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答)．
解析：两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
答案：10
7．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
解：由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？
(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？
解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A＝24个．
(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．
(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，
∴不同的映射有：1＋CA＋CA＋C＝31个．
