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1．3.1 二项式定理
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预习课本P29～31，思考并完成以下问题
1．二项式定理是什么？
2．通项公式又是什么？
3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？
二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn
二项展开式
公式右边的式子
二项式系数
C(k＝0,1,2，…，n)
二项展开
式的通项
Tk＋1＝Can－kbk
[点睛] 应用通项公式要注意四点
(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；
(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2.5的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
答案：D
3.5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
答案：C
4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________．
答案：40 10
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二项式定理的应用
[典例] (1)求4的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] (1)法一：4
＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C·3·3＋C·4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
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运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
[活学活用]
1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( )
A．x4 B．(x－1)4
C．(x＋1)4 D．x4－1
解析：选A (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4，故选A．
2．设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________.
解：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
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二项式系数与项的系数问题
[典例] (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
[解] (1)由已知得二项展开式的通项为
Tr＋1＝C(2)6－r·r＝26－rC·(－1)r·x3－，
∴T6＝－12·x－.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12.
(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则
Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，
令9－2r＝3，得r＝3，
即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
[一题多变]
1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．
解：由通项Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x3－r，
知第四项的二项式系数为C＝20，
第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160.
2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．
解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则
Tr＋1＝(－1)r·C·x9－2r，
令9－2r＝5，得r＝2.
即展开式中的第3项含x5，且系数为C＝36.
求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别． /
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与展开式中的特定项有关的问题
题点一：求展开式中的特定项
1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4得r＝2.
故T3＝Cx4i2＝－15x4.故选A．
2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是________．
解析：(1＋2)3(1－)5的展开式的通项为2rC·(－1)sCx(其中r＝0,1,2,3；s＝0,1,2,3,4,5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以或所以x的系数是－C＋4C＝2.
答案：2
题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题
3．(山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
解析：Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.
答案：－2
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求展开式中特定项的方法
求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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层级一 学业水平达标
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．8
解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.故选C．
2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( )
A．16 B．10
C．4 D．2
解析：选B 2n展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx2n－rr＝C(－1)rx，令＝0，得r＝，∴n可取10.
3．已知7的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
解析：选B T4＝Cx43＝5，∴x＝－.
4．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：选C ∵T5＝C()n－4·4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12.
5．在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝( )
A．20 B．15
C．10 D．5
解析：选D Tr＋1＝Ca4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.
6．(全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案)
解析：(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.
令5－＝3，得r＝4.
故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.
答案：10
7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
解析：由得解得＜x＜.
答案：
8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，
当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，
故a＝.
答案：
9．若二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．
解：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx6－，
令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2；
令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4.
由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.
∴…，
x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)
＝m2－19m＋171＝2＋.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，
此时x7的系数为C＋C＝156.
层级二 应试能力达标
1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
解析：选D x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
2．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．
3．在二项式n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：选B 展开式中第r＋1项是C(x3)n－r·r＝C(－1)rx3n－4r，令(－1)rCx3n－4r＝28，则，∴n＝8.
4．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 通项Tr＋1＝C(x2)n－rr＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．
5．x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
解析：x4的系数，即7展开式中x3的系数，
Tr＋1＝C·x7－r·r＝(－2)r·C·x7－2r，
令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C＝84.
答案：84
6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
解析：展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
答案：－121
7．记n的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
解：(1)n的展开式中第m项为
C·(2x)n－m＋1·m－1
＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为
Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，
从而C＝C，即n＝5.
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8．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C·31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋C－1
＝31(C·31n－1＋C·31n－2＋…＋C)，显然C·31n－1＋C·31n－2＋…＋C为整数，
∴原式能被31整除．
课件21张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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课时跟踪检测（七） 二项式定理
层级一 学业水平达标
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．8
解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.故选C．
2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( )
A．16 B．10
C．4 D．2
解析：选B 2n展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx2n－rr＝C(－1)rx，令＝0，得r＝，∴n可取10.
3．已知7的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
解析：选B T4＝Cx43＝5，∴x＝－.
4．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：选C ∵T5＝C()n－4·4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12.
5．在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝( )
A．20 B．15
C．10 D．5
解析：选D Tr＋1＝Ca4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.
6．(全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案)
解析：(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.
令5－＝3，得r＝4.
故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.
答案：10
7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
解析：由得解得＜x＜.
答案：
8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，
当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，
故a＝.
答案：
9．若二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．
解：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx6－，
令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2；
令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4.
由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.
∴…，
x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)
＝m2－19m＋171＝2＋.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，
此时x7的系数为C＋C＝156.
层级二 应试能力达标
1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
解析：选D x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
2．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．
3．在二项式n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：选B 展开式中第r＋1项是C(x3)n－r·r＝C(－1)rx3n－4r，令(－1)rCx3n－4r＝28，则，∴n＝8.
4．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 通项Tr＋1＝C(x2)n－rr＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．
5．x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
解析：x4的系数，即7展开式中x3的系数，
Tr＋1＝C·x7－r·r＝(－2)r·C·x7－2r，
令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C＝84.
答案：84
6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
解析：展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
答案：－121
7．记n的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
解：(1)n的展开式中第m项为
C·(2x)n－m＋1·m－1
＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为
Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，
从而C＝C，即n＝5.
8．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C·31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋C－1
＝31(C·31n－1＋C·31n－2＋…＋C)，显然C·31n－1＋C·31n－2＋…＋C为整数，
∴原式能被31整除．
