1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
预习课本P32～36，思考并完成以下问题
1．杨辉三角具有哪些特点？
2．二项式系数的性质有哪些？
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C)．
(2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；
当n是奇数时，中间两项Cn，Cn相等，同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：
①C＋C＋C＋…＋C＝2n，
②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )
(2)二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.( )
(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：A
3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是( )
A．第＋1项 B．第n项
C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
答案：C
4．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：A
与杨辉三角有关的问题
[典例] (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )
A．第6行 B．第7行
C．第8行 D．第9行
(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146
C．164 D．461
[解析] (1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
(2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)
＝C＋C－1＝164.
[答案] (1)B (2)C
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．
(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．
(3)结论：由数学表达式得出结论．
[活学活用]
如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C，…，第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：34
求展开式的系数和
[典例] 设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016·x2 016(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 016的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 015的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 016|的值．
[解] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 016＝(－1)2 016＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 016＝32 016.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 015)＝1－32 016，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 016|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 016＝32 016.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[活学活用]
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
解：(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2 187，②
由①，②得
a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094，
a0＋a2＋a4＋a6＝1 093.
求展开式中系数或二项式系数的最大项
[典例] 在8的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
[解] Tr＋1＝C·()8－r·r＝(－1)r·C·2r·x4－.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，
则即
整理得于是r＝5或6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．
解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正．
故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11.
系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－.
2．[变条件，变设问]在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项．
解：由题意知n＝8，通项为Tk＋1＝(－1)k·C·8－k·x8－k，令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·2·C＝7.
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
层级一 学业水平达标
1．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴＋1＝5.∴n＝8.
3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n，∴＝254，∴n＝7.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选B x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6.
5．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选B C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729.
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
6．设二项式n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝________.
解析：由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝n也成等比数列，所以＝2n＋1.
答案：2n＋1
7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
答案：
8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
10．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
T4的系数为C423＝；T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C727＝3 432.
层级二 应试能力达标
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C 法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项．
2．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为( )
A．0 B．AB
C．A2－B2 D．A2＋B2
解析：选C (1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.
3．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C (1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016，令x＝，则2 016＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
4．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析：选D 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意有由此得
由此解得x>1，
即x的取值范围是(1，＋∞)．
5．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n，
∴2n＝64，∴n＝6.
∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.
由6－2r＝0得r＝3，
∴其常数项为T3＋1＝C＝20.
答案：20
6．若n的展开式中含有x的项为第6项，若(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
解析：二项式n展开式的通项为Tr＋1
＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r.
因为含x的项为第6项，
所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝28－1＝255.
答案：255
7．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.
8．在二项式(axm＋bxn)12(a＞0，b＞0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．
(1)求系数最大的项是第几项？
(2)求的范围．
解：(1)设Tr＋1＝C(axm)12－r·(bxn)r＝
Ca12－rbrxm(12－r)＋nr为常数项，
则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，
∴r＝4，它是第5项．
(2)∵第5项是系数最大的项，
∴
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥a，即≤.
由②得≥，
∴≤≤.
故的取值范围为.
课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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课时跟踪检测（八） “杨辉三角”与二项式系数的性质
层级一 学业水平达标
1．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴＋1＝5.∴n＝8.
3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n，∴＝254，∴n＝7.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选B x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6.
5．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选B C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729.
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
6．设二项式n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝________.
解析：由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝n也成等比数列，所以＝2n＋1.
答案：2n＋1
7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
答案：
8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
10．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
T4的系数为C423＝；T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C727＝3 432.
层级二 应试能力达标
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C 法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项．
2．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为( )
A．0 B．AB
C．A2－B2 D．A2＋B2
解析：选C (1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.
3．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C (1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016，令x＝，则2 016＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
4．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析：选D 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意有由此得
由此解得x>1，
即x的取值范围是(1，＋∞)．
5．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n，
∴2n＝64，∴n＝6.
∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.
由6－2r＝0得r＝3，
∴其常数项为T3＋1＝C＝20.
答案：20
6．若n的展开式中含有x的项为第6项，若(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
解析：二项式n展开式的通项为Tr＋1
＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r.
因为含x的项为第6项，
所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝28－1＝255.
答案：255
7．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.
8．在二项式(axm＋bxn)12(a＞0，b＞0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．
(1)求系数最大的项是第几项？
(2)求的范围．
解：(1)设Tr＋1＝C(axm)12－r·(bxn)r＝
Ca12－rbrxm(12－r)＋nr为常数项，
则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，
∴r＝4，它是第5项．
(2)∵第5项是系数最大的项，
∴
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥a，即≤.
由②得≥，
∴≤≤.
故的取值范围为.
