回扣验收特训（一） 计数原理
1．设二项式n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，则n的值为( )
A．8 B．4
C．3 D．2
解析：选C 由题意a＝4n，b＝2n，
∵a＋2b＝80，
∴4n＋2×2n－80＝0，
即(2n)2＋2×2n－80＝0，
解得n＝3.
2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( )
A．63种 B．31种
C．8种 D．7种
解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C＋C＋C＝7(种)．
3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A．A种 B．AA种
C．CA种 D．CCA种
解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种．
4．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3
C．2 D．0
解析：选A 常数项为C·22·C＝4，x7系数为C·C(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.
5．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A．1或3 B．－3
C．1 D．1或－3
解析：选D 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.
令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.
又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，
∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种 B．20种
C．36种 D．52种
解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C＝6种放球方法．
∴共有C＋C＝10种不同的放球方法．
7．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
答案：10
8．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)
解析：由已知条件可得第1块地有C种种植方法，则第2～4块地共有A种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有CA＝120种．
答案：120
9．(天津高考)8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
解析：8的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.
答案：－56
10．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，求a0＋a1＋2a2＋3a3的值．
解：由(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3
＝C[2(x＋2)]3(－1)0＋C[2(x＋2)]2(－1)1＋C[2·(x＋2)]1(－1)2＋C[2(x＋2)]0(－1)3
＝8(x＋2)3－12(x＋2)2＋6(x＋2)－1
＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3.
则a0＝－1，a1＝6，a2＝－12，a3＝8.
则a0＋a1＋2a2＋3a3＝5.
11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种放入方式．
12．已知(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数的最大项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：(1)令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n＝4n，
展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意，知4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0.
∴(2n＋31)(2n－32)＝0.
∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，
∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式通项公式为
Tr＋1＝C3r·(x)5－r(x2)r＝C·3r·x＋.
假设Tr＋1项系数最大，则有
∴
∴
∴≤r≤.
∵r∈N*，∴r＝4.
∴展开式中系数最大项为
T5＝C·34·x＋＝405x.
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复习课(一) 计数原理
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两个计数原理
(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．
(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
计数原理
(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋nm；
(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·nm.
[典例] 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )
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A．180种 B．240种
C．360种 D．420种
[解析] 由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．
①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A种方案．
②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A种方案．
③当用五种颜色时有A种方案．
因此所有栽种方案为A＋2A＋A＝420(种)．
[答案] D
[类题通法]
使用两个原理解决问题时应注意的问题
(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )
A．24种 B．18种
C．12种 D．6种
解析：选B 法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．
解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
答案：39
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排列与组合应用问题
(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．
(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则
①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．
②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．
④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2．排列数与组合数的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同
排列的个数
组合
组合的个数
3．排列数与组合数公式
(1)排列数公式
①A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝；②A＝n！.
(2)组合数公式
C＝＝＝.
4．组合数的性质
(1)C＝C；(2)C＋C＝C.
[典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14
C．12 D．15
[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B．
(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法．故共有C＋CC＝9种选法．
法二：(间接法)C－C＝9种．
[答案] (1)C (2)B (3)A
[类题通法]
排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选B 2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有AAA＝24种．
2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( )
A．720 B．520
C．600 D．360
解析：选C 根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有CCA＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有CCA＝240种情况，其中甲乙相邻的有CCAA＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．
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二项式定理及应用
(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．
(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则
在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，Tk＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素. 这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组). 这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n.
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋
Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项式系数
二项展开式中各项系数C(r＝0,1，…，n)
二项式通项
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
2．二项式系数的性质
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[典例] (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.
[解析] (1)展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D．
(2)由题意得：a＝C，b＝C，
所以13C＝7C，
∴＝，
∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．
(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
[答案] (1)D (2)B (3)0
[类题通法]
求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．
(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
解析：选C 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C．
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9 B．8
C．6 D．5
解析：选B 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8.
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“回扣验收特训”见“回扣验收特训（一）”
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