2019年数学浙江专版选修2-3新一线同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（二） 概率（部分）

阶段质量检测（二） 概率（部分）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中是随机事件的个数为(　　)
①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已知一对夫妇有一个女儿，第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90 ℃会沸腾．
A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选C　①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 ℃会沸腾，是不可能事件．故选C．
2．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若每一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　法一：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．
由题意可得P(A∩B)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
法二：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，
事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．
由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，
所以P(B|A)＝＝＝.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝.
4．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为(　　)
A．2.5 B．3
C．3.5 D．4
解析：选C　P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3，…，6)，∴E(ξ)＝1×＋2×＋…＋6×＝(1＋2＋…＋6)＝×＝3.5.
5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
解析：选C　X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故表示恰好有2个是好的．
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝.
7．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)·P(R)·P()·P()＝.
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　由已知，得3a＋2b＋0·c＝2，得3a＋2b＝2，所以ab＝×3a×2b≤2＝.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
9．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利________元．
解析：设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50. 依题意，X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋0.3×30＋50×0.6＝37(元)．
答案：37
10．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则基本事件总数为________种，甲被选中的概率为________．
解析：把5名同学依次编号为甲、乙、丙、丁、戊，基本事件空间Ω＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊}，包含基本事件总数n＝10.设A表示事件“甲被选中”，则A＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，包含基本事件数m＝4.所以概率为P＝＝.
答案：10　
11．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
则x＋y＝________，若ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：由分布列的性质知x＋y＝1－0.1－0.3＝0.6，所以x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.
答案：0.6　0.4
12．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x”，“y”代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据x＝________，y＝________.
解析：由分布列的性质得：0.2＋0.1＋0.x5＋0.1＋0.1y＋0.2＝1，
可得0.x5＋0.1y＝0.4，∴0.x＋0.05＋0.1＋0.0y＝0.4，
∴0.xy＝0.25，∴x＝2，y＝5.
答案：2　5
13．甲乙两人各射击一次，如果两人击中目标的概率都为0.6，则两人都击中目标的概率为________，目标被击中的概率为________．
解析：由题意，得两人都击中目标的概率P1＝0.6×0.6＝0.36；目标被击中的概率P2＝0.36＋0.6×0.4×2＝0.36＋0.48＝0.84.
答案：0.36　0.84
14．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为， 3个水龙头同时被打开的概率为________．
解析：对5个水龙头的处理可视为做5次独立试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或1－0.1＝0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1.
答案：0.008 1
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________________(写出所有正确结论的序号)．
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，则P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.
答案：②④
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：法一：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
法二：(1)所取的2道题都是甲类题的事件数有C＝6.
任取2道题的事件总数有C＝15.
故所取的2道题都是甲类题的概率为＝.
(2)所取的2道题不是同一类题的事件数有CC＝8.
任取2道题的事件总数有C＝15.
故所取的2道题不是同一类题的概率为.
17．(本小题满分15分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望．
解：(1)由题意知必须从1号通道走出迷宫，ξ的所有可能取值为：1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝A×××1＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．
18．(本小题满分15分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝.
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.
19．(本小题满分15分)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来该市的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．
(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)．
由题意知，P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，
P(Ci)＝＝.
(1)3人选择的项目所属类别互异的概率
P＝AP(A1B2C3)＝6×××＝.
(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P＝＋＝.
由X～B，
∴P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




其数学期望为E(X)＝3×＝2.
20．(本小题满分15分)(山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有
一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，
得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)·P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P






所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.