2019年数学浙江专版选修2-3新一线同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（一） 计数原理

阶段质量检测（一） 计数原理
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7　　　　　　　　 　B．64
C．12 D．81
解析：选C　根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．
2．(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　)
A．－720 B．720
C．120 D．－120
解析：选D　由Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，因为r＝3，所以系数为(－1)3C＝－120.
3.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有(　　)
A．8种 B．10种
C．12种 D．32种
解析：选B　此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C＝10种．
4．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)
A．300 B．216
C．180 D．162
解析：选C　由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有CCCA＝108，(2)不选“0”，共有CA＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C．
5．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选B　第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24种．
6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
解析：选B　依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．
7．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有(　　)
A．66条 B．72条
C．74条 D．78条
解析：选B　先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．
8．将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为(　　)
A．A B．AA
C．AA D．AA
解析：选C　8展开式的通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝·x，r＝0,1,2，…，8.当为整数时，r＝0,4,8. ∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A种方法．∴共有AA种排法．
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
9．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．
解析：设女生有x人，则C·C＝30，即·x＝30，解得x＝2或3.
答案：2或3
10．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＝________，b＝________.
解析：∵(1＋)4＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4
＝1＋4＋12＋8＋4
＝17＋12，
由已知，得17＋12＝a＋b，
∴a＝17，b＝12.
答案：17　12
11．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，则n＝________，a3＝________.
解析：令x＝1，得2n＝16，则n＝4.a3＝C＝4.
答案：4　4
12．若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________，此时常数项为________．
解析：二项式的通项为Tr＋1＝C(2x3)n－r·r＝C2n－r·x3n－，令3n－r＝0，即r＝n，而r∈N*.∴n为7的整数倍，即最小的正数n等于7，此时常数项为T7＝C·2＝14.
答案：7　14
13．已知8展开式中常数项为1 120，则实数a＝________，展开式中各项系数的和是________．
解析：Tr＋1＝(－a)rCx8－2r，令8－2r＝0?r＝4.
∴T5＝C(－a)4＝1 120，∴a＝±2.当a＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38.
答案：±2　1或38
14．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．
答案：14
15．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)
解析：先分组，再把三组分配乘以A得：·A＝90种．
答案：90
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．
解：二项式的通项为Tk＋1＝C(2k)x由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，∴解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大两项是：
T4＝C(2)3＝280x与T5＝C(2)4＝560x2.
17．(本小题满分15分)10件不同厂生产的同类产品：
(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A＝1 680(或C·A)(种)．
(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有A·A＝50 400(或C·A)(种)．
18．(本小题满分15分)已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
解：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.
∴n＝8或n＝1(舍)．
(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，r＝0,1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项的系数为2·C＝7.
(3)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为4·C＝.
19.(本小题满分15分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
解：分为两类：
第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，
3有1种涂法(与1相同),4有4种涂法．
故N1=5×4×1×4=80.
第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．
故N2=5×4×3×3=180种．
综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．
20．(本小题满分15分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(4)老师不站中间，女生不站两端．
解：(1)两名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法．故有不同站法有A·A＝1 440种．
(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种．故共有不同站法A·A＝144种．
(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×＝420种．
(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有A·A·A种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A·A·A种站法．故共有不同站法共有A·A·A＋A·A·A＝2 112种．