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2．4.1 条件概率
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预习课本P51～53，思考并完成以下问题
1．条件概率的定义是什么？它的计算公式有哪些？
2．条件概率的特点是什么？它具有哪些性质？
1．条件概率
(1)概念
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
(2)计算公式
①缩小样本空间法：P(B|A)＝；
②公式法：P(B|A)＝.
[点睛]
(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．
(2)P(B|A)与P(B)：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2．条件概率的性质
(1)有界性：0≤P(B|A)≤1.
(2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[点睛] 对条件概率性质的两点说明
(1)前提条件：P(A)>0.
(2)P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)事件A发生的条件下， 事件B发生，相当于A, B同时发生．( )
答案：(1)× (2)√
2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为( )
A． B．
C． D．
答案：B
3．下列式子成立的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A) B．0
C．P(AB)＝P(B|A)·P(A) D．P(A∩B|A)＝P(B)
答案：C
4．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
答案：
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条件概率的计算
[典例] 抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
(2)事件B发生的条件下，事件A发生的概率．
[解] [法一 定义法]
抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝＝.
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P(B)＝＝.在事件A发生的条件下，事件B发生，即事件AB的基本事件数为6.
故P(AB)＝＝.由条件概率公式，得
(1)P(B|A)＝＝＝，
(2)P(A|B)＝＝＝.
[法二 缩减基本事件总数法]
n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知，n(B)＝10，其中n(AB)＝6.
所以(1)P(B|A)＝＝＝，
(2)P(A|B)＝＝＝.
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计算条件概率的两种方法
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提醒：(1)对定义法，要注意P(AB)的求法．
(2)对第二种方法，要注意n(AB)与n(A)的求法．
[活学活用]
1．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96%
C．72% D．78.125%
解析：选C 记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件B．由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%; 故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.
2．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
解：令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，
法一：n(A)＝CC，n(AB)＝CC，
故P(B|A)＝＝＝.
法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(B|A)＝＝.
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条件概率的应用
[典例] 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
[解] 法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则
P(A)＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
∴所求的条件概率为.
法二：∵n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝.∴所求的条件概率为.
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利用条件概率性质的解题策略
(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[活学活用]
在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
解：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故所求的概率为.
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层级一 学业水平达标
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A． B．
C． D．1
解析：选B 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由题意可知，n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.
∴P(A|B)＝＝＝.
4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A．， B． ，
C．， D． ，
解析：选C P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
解析：选A 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.
6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为________．
解析：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：
7．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．
解析：设A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：
8．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
9．五个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．
解：设第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B．
(1)P(A)＝＝.
(2)P(B)＝＝＝.
(3)法一：P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
法二：n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，
P(B|A)＝＝＝.
10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解：设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
层级二 应试能力达标
1．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P＝＝.
2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
3．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．1
解析：选B 设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.3.
因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，
于是P(B|A)＝＝＝0.5.
4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B). 而P(AB)＝＝，P(B)＝＝.∴P(A|B)＝＝.
5．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．
解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
6．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．
解析：法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为.
法二：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
答案：
7．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
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8．有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(R|B)＝.
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，
故由概率的加法公式，得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
课件21张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十四)”
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课时跟踪检测（十四） 条件概率
层级一 学业水平达标
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A． B．
C． D．1
解析：选B 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由题意可知，n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.
∴P(A|B)＝＝＝.
4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A．， B． ，
C．， D． ，
解析：选C P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
解析：选A 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.
6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为________．
解析：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：
7．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．
解析：设A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：
8．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
9．五个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．
解：设第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B．
(1)P(A)＝＝.
(2)P(B)＝＝＝.
(3)法一：P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
法二：n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，
P(B|A)＝＝＝.
10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解：设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
层级二 应试能力达标
1．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P＝＝.
2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
3．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．1
解析：选B 设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.3.
因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，
于是P(B|A)＝＝＝0.5.
4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B). 而P(AB)＝＝，P(B)＝＝.∴P(A|B)＝＝.
5．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．
解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
6．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．
解析：法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为.
法二：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
答案：
7．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
8．有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(R|B)＝.
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，
故由概率的加法公式，得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
