2．4.3 独立重复试验与二项分布
预习课本P56～57，思考并完成以下问题
1．独立重复试验及二项分布的定义分别是什么？
2．两点分布与二项分布之间有怎样的关系？
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
2．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
[点睛] 两点分布与二项分布的区别
两点分布
二项分布
区别
只要两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生
在每次试验中只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生．但在n次独立重复试验中共有n＋1个结果
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．( )
(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．( )
(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．已知X～B，则P(X＝4)＝________.
答案：
3．连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是________．
答案：
4．某人射击一次击中目标的概率为0.6, 经过3次射击， 此人至少有两次击中目标的概率为________．
答案：0.648
独立重复试验概率的求法
[典例] 某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少有2次中靶的概率．
[解] [法一 直接法]
在5次射击中恰好有2次中靶的概率为C×0.92×0.13；
在5次射击中恰好有3次中靶的概率为C×0.93×0.12；
在5次射击中恰好有4次中靶的概率为C×0.94×0.1；
在5次射击中5次均中靶的概率为C×0.95.
所以至少有2次中靶的概率为
C×0.92×0.13＋C×0.93×0.12＋C×0.94×0.1＋C×0.95
＝0.008 1＋0.072 9＋0.328 05＋0.590 49＝0.999 54.
[法二 间接法]
至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件．
在5次射击中恰好有1次中靶的概率为C×0.9×0.14；
在5次射击中全没有中靶的概率为0.15，
所以至少有2次中靶的概率为
1－C×0.9×0.14－0.15＝1－0.000 45－0.000 01＝0.999 54.
独立重复试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
(2)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
[活学活用]
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率；
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．
解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为
P＝××××＝.
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为
P＝C×3×2＝.
(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C种情况．
故所求概率为P＝C·3·2＝.
二项分布问题
[典例] 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布列．
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
[解] (1)由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
即P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键
(1)对立性， 即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．
(2)重复性， 即试验独立重复地进行了n次．
(3)随机变量是事件发生的次数．
[活学活用]
1．已知X～B，则P(X＝2)＝________.
解析：P(X＝2)＝C28＝.
答案：
2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解：由题意可知：X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3.
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
分布列为
X
0
1
2
3
P
层级一 学业水平达标
1．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 每枚硬币正面朝上的概率为，正面朝上的次数X～B，故所求概率为C2×＝.
2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：选A 由题意，C·p(1－p)3≤Cp2(1－p)2，∴4(1－p)≤6p，∴0.4≤p≤1.
3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C3＝3×＝.
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( )
A．C102 B．C102
C．C22 D．C102
解析：选D 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C29·＝C210.
5．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，故p＝.
6．下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有________(填序号)．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B.
对于②，ξ的取值是1,2,3，……，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
解析：至少3人被治愈的概率为C×(0.9)3×0.1＋(0.9)4＝0.947 7.
答案：0.947 7
8．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，
解得p＝或p＝.
答案：或
9．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，求一天内至少3人同时上网的概率．
解：记Ar(r＝0,1,2，…，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝C0.5r(1－0.5)6－r＝C0.56＝C，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝.
10．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．
解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)＝××＝.
(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，
事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，
∴P(ξ＝2k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
即P(ξ＝0)＝C×0×4＝；
P(ξ＝2)＝C××3＝；
P(ξ＝4)＝C×2×2＝；
P(ξ＝6)＝C×3×＝；
P(ξ＝8)＝C×4×0＝.
∴ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
层级二 应试能力达标
1．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
解析：选D 出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
解析：选B P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2，故选B．
3．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( )
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．5
解析：选A 依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝2或1时P(ξ＝k)最大．
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A．5 B．C5
C．C3 D．CC5
解析：选B 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C23＝C5.
5．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为________．
解析：由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝Cp0(1－p)2，∴p＝，∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－Cp0(1－p)4－Cp(1－p)3＝1－－＝.
答案：
6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C·1·4＝.
答案：
7．经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
概率
0.1
0.15
0.25
排队人数
16～20
21～25
25人以上
概率
0.25
0.2
0.05
(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
(2)一周7天中，若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口．请问：该商场是否需要增加结算窗口？
解：(1)每天不超过20人排队结算的概率P＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75.即不超过20人排队结算的概率是0.75.
(2)因为每天超过15人排队结算的概率为0.25＋0.2＋0.05＝，
所以一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为P0＝C7；
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为
P1＝C6；
一周7天中，有两天出现超过15人排队结算的概率为
P2＝C25，
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为P＝1－P0－P1－P2＝1－C7＋C6＋C25＝＞0.75.
所以，该商场需要增加结算窗口．
8．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7,0.6,0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的2倍．
(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；
(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求X的分布列．
解：(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件A，B，C，
则P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8.
所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为
P＝1－P()P()P()＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976.
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为
P＝＝0.7.
(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝C×0.34＝0.008 1.
P(X＝1)＝C×0.7×0.33＝0.075 6，
P(X＝2)＝C×0.72×0.32＝0.264 6，
P(X＝3)＝C×0.73×0.3＝0.411 6，
P(X＝4)＝C×0.74＝0.240 1，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.008 1
0.075 6
0.264 6
0.411 6
0.240 1
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十六)”
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课时跟踪检测（十六） 独立重复试验与二项分布
层级一 学业水平达标
1．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 每枚硬币正面朝上的概率为，正面朝上的次数X～B，故所求概率为C2×＝.
2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
解析：选A 由题意，C·p(1－p)3≤Cp2(1－p)2，∴4(1－p)≤6p，∴0.4≤p≤1.
3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C3＝3×＝.
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( )
A．C102 B．C102
C．C22 D．C102
解析：选D 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C29·＝C210.
5．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，故p＝.
6．下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有________(填序号)．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B.
对于②，ξ的取值是1,2,3，……，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
解析：至少3人被治愈的概率为C×(0.9)3×0.1＋(0.9)4＝0.947 7.
答案：0.947 7
8．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，
解得p＝或p＝.
答案：或
9．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，求一天内至少3人同时上网的概率．
解：记Ar(r＝0,1,2，…，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝C0.5r(1－0.5)6－r＝C0.56＝C，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝.
10．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．
解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)＝××＝.
(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，
事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，
∴P(ξ＝2k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
即P(ξ＝0)＝C×0×4＝；
P(ξ＝2)＝C××3＝；
P(ξ＝4)＝C×2×2＝；
P(ξ＝6)＝C×3×＝；
P(ξ＝8)＝C×4×0＝.
∴ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
层级二 应试能力达标
1．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
解析：选D 出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
解析：选B P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2，故选B．
3．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( )
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．5
解析：选A 依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝2或1时P(ξ＝k)最大．
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A．5 B．C5
C．C3 D．CC5
解析：选B 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C23＝C5.
5．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为________．
解析：由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝Cp0(1－p)2，∴p＝，∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－Cp0(1－p)4－Cp(1－p)3＝1－－＝.
答案：
6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C·1·4＝.
答案：
7．经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
概率
0.1
0.15
0.25
排队人数
16～20
21～25
25人以上
概率
0.25
0.2
0.05
(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
(2)一周7天中，若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口．请问：该商场是否需要增加结算窗口？
解：(1)每天不超过20人排队结算的概率P＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75.即不超过20人排队结算的概率是0.75.
(2)因为每天超过15人排队结算的概率为0.25＋0.2＋0.05＝，
所以一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为P0＝C7；
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为
P1＝C6；
一周7天中，有两天出现超过15人排队结算的概率为
P2＝C25，
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为P＝1－P0－P1－P2＝1－C7＋C6＋C25＝＞0.75.
所以，该商场需要增加结算窗口．
8．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7,0.6,0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的2倍．
(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；
(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求X的分布列．
解：(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件A，B，C，
则P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8.
所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为
P＝1－P()P()P()＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976.
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为
P＝＝0.7.
(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝C×0.34＝0.008 1.
P(X＝1)＝C×0.7×0.33＝0.075 6，
P(X＝2)＝C×0.72×0.32＝0.264 6，
P(X＝3)＝C×0.73×0.3＝0.411 6，
P(X＝4)＝C×0.74＝0.240 1，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.008 1
0.075 6
0.264 6
0.411 6
0.240 1
