2．5.1 离散型随机变量的均值
预习课本P60～63，思考并完成以下问题
1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？
2．离散型随机变量的均值有什么性质？
3．两点分布、二项分布的均值是什么？
1．离散型随机变量的均值或数学期望
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋B．
3．两点分布与二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.
[点睛] 两点分布与二项分布的关系
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1, 二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2，…，n. ②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )
(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A． B．2
C． D．3
答案：A
3．设随机变量X～B(16，p), 且E(X)＝4, 则p＝________.
答案：
4．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8, 则他独立射击3次中靶次数X的均值为________．
答案：2.4
求离散型随机变量的均值
[典例] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ)．
[解] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，那么
P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
P(A··)＝P(A)P()P()＝××＝.
故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝；
P(ξ＝1)＝C××2＝；
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3×0＝.
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X)．
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
[活学活用]
1．甲、乙两人各进行3次射击， 甲每次击中目标的概率为， 乙每次击中目标的概率为， 记甲击中目标的次数为X, 乙击中目标的次数为Y，
(1)求X的概率分布列；
(2)求X和Y的数学期望．
解：(1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝Ck3－k.
则P(X＝0)＝C×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的概率分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
(2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5，或由题意X～B，Y～B，
∴E(X)＝3×＝1.5，E(Y)＝3×＝2.
2．某运动员投篮投中的概率P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望．
(2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．
解：(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
0.4
0.6
则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0.6.
(2)η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．
∴E(η)＝np＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3.
离散型随机变量均值的性质
[典例] 已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
[解析] 由随机变量分布列的性质， 得
＋＋＋m＋＝1, 解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
[答案]
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)．
解：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－得，
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
2．[变条件，变设问]本例条件不变， 若ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－， 求a的值．
解：∵E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
∴a＝15.
与离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
均值的实际应用
[典例] 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及均值E(η)．
[解] (1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
[活学活用]
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．
解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，(k＝1,2,3)．
ξ的所有可能值为1,2,3.
由独立性知
P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(1B1)＝＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(11A2)＋P(112B2)＝××＋2×2＝，
P(ξ＝3)＝P(1122)＝2×2＝.
综上知，ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
层级一 学业水平达标
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或
C． D．1
解析：选C 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.故选C．
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A． B．
C． D．
解析：选C 根据概率和为1，可得x＝，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是( )
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：选B 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
解析：选C X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
X
3
2
1
0
P
0.6
0.24
0.096
0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A． B．
C． D．1
解析：选A X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝.
6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
解析：X的可能取值为3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064
＝2.376.
答案：2.376
7．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－.
答案：－
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值为________．
解析：由表可得从而得P∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
答案：
9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解：(1)由题意知，X取值为1,2,3.
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝×＝；
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用版本相同的概率为P＝＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝.
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由分布列的性质得＋＋m＝1，
∴m＝.
∴E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.
∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝，∴a＝2.
2．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
解析：选B ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．2
解析：选A 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3.
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
解析：选A E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
∵E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为________．
解析：依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.
答案：
6．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5
＝3.4ξ－450，
所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
答案：706
7．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．
解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．
(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，
又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.
(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出：104ξ＋5×104，
盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，
由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，
E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104
＝104a－105－5×104.
由E(η)≥0?104a－105－5×104≥0?a－10－5≥0?a≥15(元)．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
课件28张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)”
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课时跟踪检测（十七） 离散型随机变量的均值
层级一 学业水平达标
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或
C． D．1
解析：选C 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.故选C．
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A． B．
C． D．
解析：选C 根据概率和为1，可得x＝，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是( )
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：选B 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
解析：选C X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
X
3
2
1
0
P
0.6
0.24
0.096
0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A． B．
C． D．1
解析：选A X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝.
6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
解析：X的可能取值为3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064
＝2.376.
答案：2.376
7．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－.
答案：－
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p
则E(X)的最大值为________．
解析：由表可得从而得P∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
答案：
9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解：(1)由题意知，X取值为1,2,3.
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝×＝；
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用版本相同的概率为P＝＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝.
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由分布列的性质得＋＋m＝1，
∴m＝.
∴E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.
∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝，∴a＝2.
2．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
解析：选B ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．2
解析：选A 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3.
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
解析：选A E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
∵E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为________．
解析：依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.
答案：
6．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5
＝3.4ξ－450，
所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
答案：706
7．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．
解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．
(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，
又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.
(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出：104ξ＋5×104，
盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，
由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，
E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104
＝104a－105－5×104.
由E(η)≥0?104a－105－5×104≥0?a－10－5≥0?a≥15(元)．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
