1．2.1 排 列
第一课时 排列与排列数公式
预习课本P14～20，思考并完成以下问题
1．排列的概念是什么？
2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？
3．排列数公式有哪些性质？
1．排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)顺序相同．
[点睛] 排列中元素所满足的两个特性
(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
3．排列数及排列数公式
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
An
排列数
公式
乘积式
An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
An＝
性质
An＝1
备注
n，m∈N*，m≤n
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．( )
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )
(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．集合P＝{x|x＝A4，m∈N*}，则P中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案：A
3．若A10＝10×9×…×5，则m＝________.
答案：6
排列的概念
[典例] 判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去植树和种菜；
(2)选2个小组种菜；
(3)某班40名同学在假期互发短信．
[解] (1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．
(2)不存在顺序问题，不是排列问题．
(3)A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
[活学活用]
判断下列问题是否为排列问题．
(1)选10人组成一个学习小组；
(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；
(3)10个车站，站与站间的车票．
解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题．
(2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．
(3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.
简单排列问题
[典例] (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
[解] (1)由题意作“树形图”，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意作“树形图”，如下．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
[活学活用]
写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
解：如图所示的树形图：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种.
排列数公式及应用
[典例] (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；
(2)计算2A4＋A4；
(3)求证：An－1＋mAn－1＝An.
[解] (1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69－n.
(2)2A4＋A4＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝48＋24＝72.
(3)证明：An－1＋mAn－1＝＋m·
＝＝＝An.
排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
[活学活用]
计算下列各题：
(1)A6；(2)；
(3)若3An＝2An＋1＋6An，求n.
解：(1)A6＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
(2)＝＝1.
(3)由3An＝2An＋1＋6An，得
3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．
因为n≥3且n∈N*，
所以3n2－17n＋10＝0.
解得n＝5或n＝(舍去)．
所以n＝5.
层级一 学业水平达标
1．下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：选D 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A4＝24(种)方法，故选D.
3．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )
A．Am B．Am
C．Am＋20 D．Am＋20
解析：选D 因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21个因式．所以m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝Am＋20.
4．计算：＝( )
A．12 B．24
C．30 D．36
解析：选D A7＝7×6×A5，A6＝6×A5，
所以原式＝＝36.
5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A．6种 B．30种
C．360种 D．A6种
解析：选D 问题为6选5的排列即为A6.
6．计算：5A5＋4A4＝________.
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：348
7．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．
解析：画出树形图如下：
可知共12个．
答案：12
8．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．
解析：根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A6＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A5＝60种，乙从事翻译工作，有A5＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种．
答案：240
9．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：(1)四名同学站成一排，共有A4＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A5＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
10．(1)解关于x的方程：＝89；
(2)解不等式：A9>6A9.
解：(1)法一：∵Ax＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Ax，
∴＝89.
∵Ax>0，∴(x－5)(x－6)＝90.
故x＝－4(舍去)，x＝15.
法二：由＝89，得Ax＝90·Ax，
即＝90·.
∵x！≠0，∴＝，
∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15.
(2)原不等式即>，
由排列数定义知
∴2≤x≤9，x∈N*.
化简得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，
即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.
又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*.
故x＝2,3,4,5,6,7.
层级二 应试能力达标
1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )
A．2 B．4
C．12 D．24
解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A4＝12.
2．下列各式中与排列数An相等的是( )
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．An·An－1
解析：选D ∵An＝，而An·An－1＝n·＝，∴An＝An·An－1，故选D.
3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6 B．9
C．12 D．24
解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有，，，共3个；第二类，0在十位有，，，共3个；第三类，0在百位有，，，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.
4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
解析：选C 程序A有A2＝2(种)排法，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A2A4＝48(种)，
∴由分步乘法计数原理得，实验编排共有2×48＝96(种)方法．
5．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，
又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案：10
6．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．
解析：画出树形图，如下：
由树形图可知，共有11种不同的试种方案．
答案：11
7．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
解：由题意可得An＋2－An＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.
所以原有车站14个，现有车站16个．
8．规定Ax＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且Ax＝1，这是排列数An(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求A－15的值；
(2)确定函数f(x)＝Ax的单调区间．
解：(1)由已知得A－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.
(2)函数f(x)＝Ax＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2.
令f′(x)>0，得x>或x<，
所以函数f(x)的单调增区间为
－∞，，；
令f′(x)<0，得所以函数f(x)的单调减区间为.
课件21张PPT。n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)不同排列1
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)”
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课时跟踪检测（三） 排列与排列数公式
层级一 学业水平达标
1．下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：选D 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A4＝24(种)方法，故选D.
3．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )
A．A B．A
C．A＋20 D．A
解析：选D 因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21个因式．所以m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝Am＋20.
4．计算：＝( )
A．12 B．24
C．30 D．36
解析：选D A＝7×6×A5，A＝6×A，
所以原式＝＝36.
5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A．6种 B．30种
C．360种 D．A6种
解析：选D 问题为6选5的排列即为A6.
6．计算：5A5＋4A4＝________.
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：348
7．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．
解析：画出树形图如下：
可知共12个．
答案：12
8．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．
解析：根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A6＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A5＝60种，乙从事翻译工作，有A5＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种．
答案：240
9．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：(1)四名同学站成一排，共有A4＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A5＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
10．(1)解关于x的方程：＝89；
(2)解不等式：A9>6A9.
解：(1)法一：∵Ax＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Ax，
∴＝89.
∵Ax>0，∴(x－5)(x－6)＝90.
故x＝－4(舍去)，x＝15.
法二：由＝89，得Ax＝90·Ax，
即＝90·.
∵x！≠0，∴＝，
∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15.
(2)原不等式即>，
由排列数定义知
∴2≤x≤9，x∈N*.
化简得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，
即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.
又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*.
故x＝2,3,4,5,6,7.
层级二 应试能力达标
1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )
A．2 B．4
C．12 D．24
解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A4＝12.
2．下列各式中与排列数An相等的是( )
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．An·An－1
解析：选D ∵An＝，而An·An－1＝n·＝，∴An＝An·An－1，故选D.
3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6 B．9
C．12 D．24
解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有，，，共3个；第二类，0在十位有，，，共3个；第三类，0在百位有，，，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.
4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
解析：选C 程序A有A2＝2(种)排法，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A2A4＝48(种)，
∴由分步乘法计数原理得，实验编排共有2×48＝96(种)方法．
5．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，
又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案：10
6．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．
解析：画出树形图，如下：
由树形图可知，共有11种不同的试种方案．
答案：11
7．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
解：由题意可得An＋2－An＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.
所以原有车站14个，现有车站16个．
8．规定Ax＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且Ax＝1，这是排列数An(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求A－15的值；
(2)确定函数f(x)＝Ax的单调区间．
解：(1)由已知得A－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.
(2)函数f(x)＝Ax＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2.
令f′(x)>0，得x>或x<，
所以函数f(x)的单调增区间为
－∞，，；
令f′(x)<0，得所以函数f(x)的单调减区间为.
