2019年数学浙江专版选修2-2新一线同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入

阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入
(时间： 120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i是虚数单位，复数＝(　　)
A．2＋i 　　　　　　 　B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
解析：选B　＝＝＝2－i.
2．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i，故选A.
3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
4．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于(　　)
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
解析：选C　由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
5．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D　因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.
6．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－
C.i D．－i
解析：选B　∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i4＝1.∴z＝＝＋i，∴＝－i，∴的虚部为－.故选B.
7．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．1 B．－i
C．±1 D．±i
解析：选D　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由条件可得解得因此或所以＝＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＝i，所以＝±i.
8．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识－≤≤.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
答案：－2
10．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________＝________.
解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21，＝21－20i.
答案：21　21－20i
11．若a为实数，＝－i，则a＝________，2＋ai在第________象限．
解析：＝－i，可得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，所以a＝－，2＋ai＝2－i在第四象限．
答案：－　四
12．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则a＝______，＝________.
解析：∵z＝a－2＋3i(a∈R)是纯虚数，∴a＝2，
∴＝＝＝－i.
答案：2　－i
13．已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的实部是________，|z|＝________.
解析：∵z＝＝2＋i，∴z的实部是2.
|z|＝|2＋i|＝.
答案：2　
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.
答案：4i
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.
由复数相等，解得
解得
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分15分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2)由条件，得＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
19．(本小题满分15分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋＜0，
∴
又x2＋y2＝1.　　　　③
由①②③得
∴z＝－±i.
20．(本小题满分15分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.