2．1.1 综合法和分析法
预习课本P85～89，思考并完成下列问题
(1)综合法的定义是什么？有什么特点？
(2)综合法的推证过程是什么？
(3)分析法的定义是什么？有什么特点？
(4)分析法与综合法有什么区别和联系？
1．综合法
定义
推证过程
特点
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
→→→…→(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).
顺推证法或由因导果法
2.分析法
定义
框图表示
特点
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法
→
→→…→
逆推
证法
或执
果索
因法
3．综合法、分析法的区别
综合法
分析法
推理方向
顺推，由因导果
倒溯，执果索因
解题思路
探路较难，易生枝节
容易探路，利于思考
表述形式
形式简洁，条理清晰
叙述繁琐，易出错
思考的侧重点
侧重于已知条件提供的信息
侧重于结论提供的信息
[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )
(2)分析法就是从结论推向已知．( )
(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a2＞ab B．ab＞b2
C.＞ D．a2＞b2
答案：C
3．欲证－＜－成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
答案：C
4．如果a＞b，则实数a，b应满足的条件是________．
答案：a＞b＞0
综合法的应用
[典例] 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2 ＋ccos2 ≥b.
[证明] ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b＝右边，
∴acos2＋ccos2 ≥b.
当且仅当a＝c时等号成立．
综合法的解题步骤
[活学活用]
1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2
≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2
＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
2．设数列{an}满足a1＝0，－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1.
解：(1)∵－＝1，
∴是公差为1的等差数列．
又∵＝1，∴＝n，an＝1－.
(2)证明：由(1)得
bn＝＝＝－，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1.
∴Sn＜1.
分析法的应用
[典例] 设a，b为实数，求证： ≥(a＋b)．
[证明] 当a＋b≤0时，∵ ≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b＞0时，
用分析法证明如下：要证 ≥(a＋b)，
只需证()2≥2.
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴ ≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
分析法证明不等式的依据、方法与技巧
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明
数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
[活学活用]
已知a，b，c都为正实数，求证： ≥.
证明：要证 ≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以 ≥成立.
分析法与综合法的综合应用
[典例] 已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1.
求证：logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc.
[证明] 要证明logx＋logx＋logx
＜logxa＋logxb＋logxc，
只需要证明logx＜logx(abc)，
由已知0＜x＜1，只需证明··＞abc，
由公式≥＞0，≥＞0，
≥＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··＞ ＝abc.
即··＞abc成立．
∴logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc成立．
分析综合法的应用
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
[活学活用]
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3，即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
层级一 学业水平达标
1．若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )
A．x＞y B．x＜y
C．x≥y D．x≤y
解析：选A 因为函数y＝x＋在[1，＋∞)上是增函数，又因为a＞b＞1，∴x＞y.
2．已知a，b，x，y均为正实数，且＞，x＞y，则与的大小关系为( )
A.＞ B.≥
C.＜ D.≤
解析：选A ∵a，b均为正数，
∴由＞得0＜a＜b，
又∵x＞y＞0，
∴xb＞ay.
∴xy＋xb＞xy＋ay.
即x(y＋b)＞y(x＋a)．
两边同除正数(y＋b)(x＋a)，
得＞，故选A.
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：选C 由cos A＝＜0，得b2＋c2＜a2.
4．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选C 利用函数单调性．设f(x)＝，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝，∴b＞a＞c.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b＞a＋b.
答案：a≠b
8．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜，当n为奇数时，a＞－2－，而－2－＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜.
答案：
9．已知a＞0，－＞1.
(1)求证：0＜b＜1；
(2)求证：＞.
证明：(1)由a＞0，－＞1可得＞＋1＞1，
所以0＜b＜1.
(2)因为a＞0,0＜b＜1，要证＞，
只需证·＞1，
即证1＋a－b－ab＞1，
即证a－b－ab＞0，即＞1，
又－＞1，这是已知条件，所以原不等式得证．
10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列．
(2)求an.
解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①
又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②
②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，
所以＝＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
所以a2＝11，所以＝＝2，
所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
所以an＝3×2n－1.
层级二 应试能力达标
1．使不等式＜成立的条件是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＞b且ab＜0 D．a＞b且ab＞0
解析：选D 要使＜，须使－＜0，即＜0.
若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.
2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
3．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.
4．下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋＞(a＞0，b＞0)
C.－＜－(a≥3)
D.＋＞2
解析：选D 对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋＞；对C，要证 －＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)＜0，∴＋＜2，故D错误．
5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是________．
解析：∵≥(a，b为正实数)，≤，且f(x)＝2x是增函数，∴f≤f()≤f，即C≤B≤A.
答案：C≤B≤A
6．如图所示，四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B.
∴0＜－B＜A＜，
又∵在内正弦函数y＝sin x是单调递增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
即sin A＞cos B．①
同理sin B＞cos C，②
sin C＞cos A．③
由①＋②＋③，得：
sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2，
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
所以由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，则2＞2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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课时跟踪检测（九） 综合法和分析法
层级一 学业水平达标
1．若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )
A．x＞y B．x＜y
C．x≥y D．x≤y
解析：选A 因为函数y＝x＋在[1，＋∞)上是增函数，又因为a＞b＞1，∴x＞y.
2．已知a，b，x，y均为正实数，且＞，x＞y，则与的大小关系为( )
A.＞ B.≥
C.＜ D.≤
解析：选A ∵a，b均为正数，
∴由＞得0＜a＜b，
又∵x＞y＞0，
∴xb＞ay.
∴xy＋xb＞xy＋ay.
即x(y＋b)＞y(x＋a)．
两边同除正数(y＋b)(x＋a)，
得＞，故选A.
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：选C 由cos A＝＜0，得b2＋c2＜a2.
4．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选C 利用函数单调性．设f(x)＝，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝，∴b＞a＞c.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b＞a＋b.
答案：a≠b
8．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜，当n为奇数时，a＞－2－，而－2－＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜.
答案：
9．已知a＞0，－＞1.
(1)求证：0＜b＜1；
(2)求证：＞.
证明：(1)由a＞0，－＞1可得＞＋1＞1，
所以0＜b＜1.
(2)因为a＞0,0＜b＜1，要证＞，
只需证·＞1，
即证1＋a－b－ab＞1，
即证a－b－ab＞0，即＞1，
又－＞1，这是已知条件，所以原不等式得证．
10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列．
(2)求an.
解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①
又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②
②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，
所以＝＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
所以a2＝11，所以＝＝2，
所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
所以an＝3×2n－1.
层级二 应试能力达标
1．使不等式＜成立的条件是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＞b且ab＜0 D．a＞b且ab＞0
解析：选D 要使＜，须使－＜0，即＜0.
若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.
2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
3．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.
4．下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋＞(a＞0，b＞0)
C.－＜－(a≥3)
D.＋＞2
解析：选D 对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋＞；对C，要证 －＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)＜0，∴＋＜2，故D错误．
5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是________．
解析：∵≥(a，b为正实数)，≤，且f(x)＝2x是增函数，∴f≤f()≤f，即C≤B≤A.
答案：C≤B≤A
6．如图所示，四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B.
∴0＜－B＜A＜，
又∵在内正弦函数y＝sin x是单调递增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
即sin A＞cos B．①
同理sin B＞cos C，②
sin C＞cos A．③
由①＋②＋③，得：
sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2，
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
所以由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，则2＞2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
