预习课本P92～95，思考并完成下列问题
(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？
(2)数学归纳法的证题步骤是什么？
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．
答案：2
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．
答案：f(2n)＞
用数学归纳法证明等式
[典例] 用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，＝成立．
(2)假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立．
用数学归纳法证明恒等式应注意的三点
用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[活学活用]
求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边．
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
用数学归纳法证明不等式
[典例] 已知n∈N*，n＞2，
求证：1＋＋＋…＋ ＞.
[证明] (1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋ ＞＋
＝＝ .
因为 ＞＝＝，
所以1＋＋＋…＋＋ ＞.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：
＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)，如何证明？
证明：(1)当n＝2时，＋＋＋＞，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．
即＋＋…＋＞.
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋＋＋－＞＋3×－＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)，(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．
2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：
…＞(n≥2，n∈N*)，如何证明？
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.
左边＞右边，所以原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，
即…＞.
则当n＝k＋1时，
左边＝…
＞·
＝＝＞
＝＝.
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，对一切n≥2，n∈N*不等式都成立．
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
归纳—猜想—证明
[典例] 考察下列各式
2＝2×1
3×4＝4×1×3
4×5×6＝8×1×3×5
5×6×7×8＝16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
[解] 由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…
猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，
下面利用数学归纳法进行证明：
证明：(1)当n＝1时，显然成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]
所以当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立．
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[活学活用]
数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
解：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明猜想正确．
(1)当n＝1,2易知猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，
即ak＝.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴n＝k＋1时猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确．
层级一 学业水平达标
1．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.
2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：选D 当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.
4．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.
5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.
6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.
答案：10
7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．
解析：观察不等式中分母的变化便知．
答案：＋＋…＋＋＞－
8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明．
解：(1)a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)归纳猜想出通项公式an＝2n－1，
①当n＝1时，a1＝1＝21－1，成立
②假设n＝k时成立，即ak＝2k－1，
则当n＝k＋1时，由an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
得：ak＋1＝2ak＋1＝2(2k－1)＋1＝2k＋1－2＋1＝2k＋1－1，
所以n＝k＋1时也成立；
综合①②，对n∈N*等式都成立，从而得证．
10．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．
层级二 应试能力达标
1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：选D f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1
C．f(k＋1)＝f(k)＋k
D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
解析：选C 当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．
4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：选C 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为____________．
解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.
答案：1＋a＋a2
6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________．
解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．
答案：没有用归纳假设
7．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．
证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．
则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分，
即n＝k＋1时命题也成立．综上所述，对一切n∈N*，命题都成立．
8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
∴ak＋1＝＝·＝＝.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝.
∴这个数列的通项公式为an＝
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选A ∵a＝－＝，
b＝－＝，c＝－＝，
又∵＋＞＋＞＋＞0，
∴a＞b＞c.
2．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：选B a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
又ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错．
4．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的反设为( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a，b，c不全是正数 D．abc＜0
解析：选C a＞0，b＞0，c＞0的否定是：a，b，c不全是正数．
5．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，展开得5＋2>5，
即2>0，此式显然成立，所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
6．设x，y，z＞0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
解析：选C 因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以＋＋
＝＋＋≥6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.
7．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}( )
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则an＋an＋1＝an(1＋q)．∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．
8．用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋”时，由n＝k的假设证明n＝k＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )
A.＋…＋＋
B.＋…＋＋＋
C.＋…＋＋
D.＋…＋＋
解析：选D 当n＝k＋1时，右边应为
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋.故D正确．
二、填空题(本大题共7小题，多空题6分，单空题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
答案：x，y都大于1
10．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．
解析：假设P＜Q，∵要证P＜Q，只需证P2＜Q2，
即证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
即证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，
即证：0＜12，
∵0＜12成立，∴P＜Q成立．
答案：P＜Q
11．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
解析：x2－y2＝－(a＋b)
＝＝.
∵a，b是不相等的正数，∴≠，
∴(－)2＞0，∴＜0.∴x2＜y2.
又∵x＞0，y＞0，∴x＜y.
答案：x＜y
12．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则S4＝________；可归纳猜想出Sn的表达式为________．
解析：由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，S2＝；又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
答案：
13．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 016＝________；x2017＝________.
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2 016＝x4＝5，x2017＝x5＝2.
答案：5 2
14．已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4的值分别为______________，由此猜想an＝________.
解析：a2＝＝＝＝，
同理，a3＝＝＝，
a4＝＝，
a5＝＝，
猜想an＝.
答案：，，
15．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，其初始值为______，当n＝k＋1时，其式子的左端应在n＝k时的左端再加上________________．
解析：代入验证可知n的初始值为1.n＝k时的左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故增加的式子为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：1 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)6＋>2＋2.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg ab＝.
(2)要证 ＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
17．(本小题满分15分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.
证明：假设三式同时大于，
即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞.①
又(1－a)a≤2＝，当且仅当a＝时取“＝”号，
同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，
与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．
18．(本小题满分15分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，
求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
19．(本小题满分15分)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
20．(本小题满分15分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；
(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得
即
解得(舍去a＝－)，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝(1－f(2))＝×＝，
x3＝(1－f(3))＝×＝，
x4＝×＝.
(3)由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.
证明：①当n＝1时，∵x1＝，而＝，
∴猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，xn＝成立，
即xk＝，
则n＝k＋1时，
xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))＝·
＝·＝·
＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想xn＝都成立．
课件28张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)”
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课时跟踪检测（十一） 数学归纳法
层级一 学业水平达标
1．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.
2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：选D 当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.
4．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.
5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.
6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.
答案：10
7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．
解析：观察不等式中分母的变化便知．
答案：＋＋…＋＋＞－
8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明．
解：(1)a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)归纳猜想出通项公式an＝2n－1，
①当n＝1时，a1＝1＝21－1，成立
②假设n＝k时成立，即ak＝2k－1，
则当n＝k＋1时，由an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
得：ak＋1＝2ak＋1＝2(2k－1)＋1＝2k＋1－2＋1＝2k＋1－1，
所以n＝k＋1时也成立；
综合①②，对n∈N*等式都成立，从而得证．
10．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．
层级二 应试能力达标
1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：选D f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1
C．f(k＋1)＝f(k)＋k
D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
解析：选C 当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．
4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：选C 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为____________．
解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.
答案：1＋a＋a2
6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________．
解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．
答案：没有用归纳假设
7．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．
证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．
则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分，
即n＝k＋1时命题也成立．综上所述，对一切n∈N*，命题都成立．
8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
∴ak＋1＝＝·＝＝.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝.
∴这个数列的通项公式为an＝
