3．1.1 数系的扩充和复数的概念
预习课本P102～103，思考并完成下列问题
(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？
(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？
1．复数的有关概念
我们把集合C＝中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．
全体复数所成的集合C叫做复数集．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
[点睛] 复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
3．复数的分类
对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：
复数z
[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
答案：C
3．复数z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1 B．m＝－1
C．m＝1 D．m≠1
答案：B
复数的概念及分类
[典例] 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解] (1)当x满足
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足
即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足
即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.
[活学活用]
当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？
解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，
∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．
(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．
(3)当m满足
即m＝0时，z为纯虚数.
复数相等
[典例] 已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．
[解析] 设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2－＋3m＝0，
所以m＝.
[答案] －
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中的方程改为：x2＋mx＋2xi＝－1－mi如何求解？
解：设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得
解得或
因此，当m＝－2时，原方程的实根为x＝1，当m＝2时，原方程的实根为x＝－1.
2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x2－x－1＝(10－x－2x2)i，如何求解？
解：设方程实根为x0，则原方程可变为3x－x0－1＝(10－x0－2x)i，由复数相等定义，得：
解得或
因此，当m＝11时，原方程的实根为x＝2；
当m＝－时，原方程的实根为x＝－.
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 由题意知解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．
解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
解：由题意得解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．
解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得
即x＝－，y＝4i.层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则x＝________，y＝________.
解析：(x－i)i＝xi＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.
答案：2 1
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
课件18张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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课时跟踪检测（十二） 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 由题意知解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．
解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
解：由题意得解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．
解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得
即x＝－，y＝4i.层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则x＝________，y＝________.
解析：(x－i)i＝xi＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.
答案：2 1
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
