3.1.2 复数的几何意义
预习课本P104~105,思考并完成下列问题
(1)复平面是如何定义的,复数的模如何求出?
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是复数?
1.复平面
2.复数的几何意义
.
3.复数的模
(1)定义:向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.
(3)公式:|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).
[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )
(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
(3)复数的模一定是正实数.( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
2.已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为( )
A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1)
答案:A
3.向量a=(1,-2)所对应的复数是( )
A.z=1+2i B.z=1-2i
C.z=-1+2i D.z=-2+i
答案:B
4.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=________.
答案:
复数与点的对应关系
[典例] 求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
(2)在复平面内的x轴上方.
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内,
则
解得a<-3.
(2)点Z在x轴上方,
则
即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.
[一题多变]
1.[变设问]本例中题设条件不变,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值.
解:点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,
所以a=5.
故a=5时,点Z在x轴上.
2.[变设问]本例中条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.
解:因为点Z在直线x+y+7=0上,
所以+a2-2a-15+7=0,
即a3+2a2-15a-30=0,
所以(a+2)(a2-15)=0,故a=-2或a=±.
所以a=-2或a=±时,点Z在直线x+y+7=0上.
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
复数的模
[典例] (1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=( )
A.1+2i B.-1-2i
C.±1±2i D.1+2i或-1-2i
(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
[解析] (1)依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),
由|z|=得 =,
解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.
(2)因为|z1|= ,|z2|==,
所以<,即a2+4<5,所以a2<1,
即-1<a<1.
[答案] (1)D (2)B
复数模的计算
(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.
[活学活用]
1.如果复数z=1+ai满足条件|z|<2,那么实数a的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-2,2)
C.(-1,1) D.(-,)
解析:选D 因为|z|<2,所以<2,则1+a2<4,a2<3,解得-<a<.
2.求复数z1=6+8i与z2=--i的模,并比较它们的模的大小.
解:∵z1=6+8i,z2=--i,∴|z1|==10,
|z2|= =.∵10>,∴|z1|>|z2|.
复数与复平面内向量的关系
[典例] 向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
[解析] 因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5, -4),所以=(-5, 4) ,所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数是0.
[答案] C
(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.
[活学活用]
在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.
z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i.
解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2-,,
Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量OZ2,OZ4分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示.
各复数的模分别为:|z1|==;
|z2|= =1;
|z3|==2;|z4|==2.
层级一 学业水平达标
1.与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是( )
A.e1对应实数1,e2对应虚数i
B.e1对应虚数i,e2对应虚数i
C.e1对应实数1,e2对应虚数-i
D.e1对应实数1或-1,e2对应虚数i或-i
解析:选A e1=(1,0),e2=(0,1).
2.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选D ∵<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
3.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是( )
A.(1,) B.(1,)
C.(1,3) D.(1,5)
解析:选B |z|=,∵0<a<2,∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,).
4.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数为? ?
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
解析:选D 由题意知=(2,1), (-1,-3)=+=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4),
∴CA对应的复数为-3-4i.
5.复数z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模为( )
A.2cos B.-2cos
C.2sin D.-2sin
解析:选B |z|====2|cos|.∵π<α<2π,∴<<π,cos<0,于是|z|=-2cos.
6.在复平面内,O为坐标原点,向量OA―→对应的复数为-2-i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB―→对应的复数为________.
解析:复数-2-i对应点A(-2,-1),点A关于直线y=-x的对称点为B(1,2),
∴―→对应的复数为1+2i.
答案:1+2i
7.过原点和-i对应点的直线的倾斜角是________.
解析:∵-i在复平面上的对应点是(,-1),
∴tan α==-(0≤α<π),∴α=.
答案:
8.若复数z满足zi=1-i,则z=________.
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则zi=1-i,得(a+bi)i=1-i,即-b+ai=1-i.
由复数相等的充要条件得即
∴z=-1-i.
答案:-1-i
9.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.
解:∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|-1+i|=,由|z-1|=|-1+i|,
得 =,解得a=±1,∴z=±i.
10.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i(m∈R).
(1)若z是实数,求m的值;
(2)若z是纯虚数,求m的值;
(3)若在复平面内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.
解:(1)∵z为实数,∴m2+2m-3=0,
解得m=-3或m=1.
(2)∵z为纯虚数,
∴ 解得m=0.
(3)∵z所对应的点在第四象限,
∴ 解得-3<m<0.
故m的取值范围为(-3,0).
层级二 应试能力达标
1.已知复数z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z2=a+2i对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B 复数z1=2-ai对应的点为(2,-a),它在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,于是复数z2=-2+2i,它对应点的点在第二象限,故选B.
2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )
A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1
C.a=0 D.a=2或a=0
解析:选D ∵z在复平面内对应的点在虚轴上,
∴a2-2a=0,解得a=2或a=0.
3.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选A ∵x+y+(x-y)i=3-i,∴
解得∴复数1+2i所对应的点在第一象限.
4.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2=( )
A.4+5i B.5+4i
C.3+4i D.5+4i或+i
解析:选D 设z2=x+yi(x,y∈R),由条件得, ∴ 或
故选D.
5.若z=a-i(a∈R,且a>0)的模为,则a=________,复数z的共轭复数=________.
解析:∵=,且a>0,∴a=1,则z=1-i,∴=1+i.
答案:1 1+i
6.已知复数z=x-2+yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是________.
解析:由模的计算公式得 =2,
∴(x-2)2+y2=8.
答案:(x-2)2+y2=8
7.已知复数z0=a+bi(a,b∈R),z=(a+3)+(b-2)i,若|z0|=2,求复数z对应点的轨迹.
解:设z=x+yi(x,y∈R),则复数z的对应点为P(x,y),由题意知
∴ ①
∵z0=a+bi,|z0|=2,∴a2+b2=4.
将①代入得(x-3)2+(y+2)2=4.
∴点P的轨迹是以(3,-2)为圆心,2为半径的圆.
8.已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形?
解:(1)|z1|= =2,
|z2|= =1,∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离,所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圆外部所有点组成的集合,|z|≤2表示|z|=2所表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示.
课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十三)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测(十三) 复数的几何意义
层级一 学业水平达标
1.与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是( )
A.e1对应实数1,e2对应虚数i
B.e1对应虚数i,e2对应虚数i
C.e1对应实数1,e2对应虚数-i
D.e1对应实数1或-1,e2对应虚数i或-i
解析:选A e1=(1,0),e2=(0,1).
2.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选D ∵<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
3.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是( )
A.(1,) B.(1,)
C.(1,3) D.(1,5)
解析:选B |z|=,∵0<a<2,∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,).
4.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数为? ?
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
解析:选D 由题意知=(2,1), (-1,-3)=+=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4),
∴CA对应的复数为-3-4i.
5.复数z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模为( )
A.2cos B.-2cos
C.2sin D.-2sin
解析:选B |z|====2|cos|.∵π<α<2π,∴<<π,cos<0,于是|z|=-2cos.
6.在复平面内,O为坐标原点,向量OA―→对应的复数为-2-i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB―→对应的复数为________.
解析:复数-2-i对应点A(-2,-1),点A关于直线y=-x的对称点为B(1,2),
∴―→对应的复数为1+2i.
答案:1+2i
7.过原点和-i对应点的直线的倾斜角是________.
解析:∵-i在复平面上的对应点是(,-1),
∴tan α==-(0≤α<π),∴α=.
答案:
8.若复数z满足zi=1-i,则z=________.
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则zi=1-i,得(a+bi)i=1-i,即-b+ai=1-i.
由复数相等的充要条件得即
∴z=-1-i.
答案:-1-i
9.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.
解:∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|-1+i|=,由|z-1|=|-1+i|,
得 =,解得a=±1,∴z=±i.
10.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i(m∈R).
(1)若z是实数,求m的值;
(2)若z是纯虚数,求m的值;
(3)若在复平面内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.
解:(1)∵z为实数,∴m2+2m-3=0,
解得m=-3或m=1.
(2)∵z为纯虚数,
∴ 解得m=0.
(3)∵z所对应的点在第四象限,
∴ 解得-3<m<0.
故m的取值范围为(-3,0).
层级二 应试能力达标
1.已知复数z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z2=a+2i对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B 复数z1=2-ai对应的点为(2,-a),它在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,于是复数z2=-2+2i,它对应点的点在第二象限,故选B.
2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )
A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1
C.a=0 D.a=2或a=0
解析:选D ∵z在复平面内对应的点在虚轴上,
∴a2-2a=0,解得a=2或a=0.
3.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选A ∵x+y+(x-y)i=3-i,∴
解得∴复数1+2i所对应的点在第一象限.
4.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2=( )
A.4+5i B.5+4i
C.3+4i D.5+4i或+i
解析:选D 设z2=x+yi(x,y∈R),由条件得, ∴ 或
故选D.
5.若z=a-i(a∈R,且a>0)的模为,则a=________,复数z的共轭复数=________.
解析:∵=,且a>0,∴a=1,则z=1-i,∴=1+i.
答案:1 1+i
6.已知复数z=x-2+yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是________.
解析:由模的计算公式得 =2,
∴(x-2)2+y2=8.
答案:(x-2)2+y2=8
7.已知复数z0=a+bi(a,b∈R),z=(a+3)+(b-2)i,若|z0|=2,求复数z对应点的轨迹.
解:设z=x+yi(x,y∈R),则复数z的对应点为P(x,y),由题意知
∴ ①
∵z0=a+bi,|z0|=2,∴a2+b2=4.
将①代入得(x-3)2+(y+2)2=4.
∴点P的轨迹是以(3,-2)为圆心,2为半径的圆.
8.已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形?
解:(1)|z1|= =2,
|z2|= =1,∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离,所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圆外部所有点组成的集合,|z|≤2表示|z|=2所表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示.