1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念
预习课本P2～6，思考并完成下列问题
(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
[点睛] Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
＝
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
[点睛] “Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
＝
记法
f′(x0)或y′|x＝x0
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案：A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02
答案：C
4．在f′(x0)＝ 中，Δx不可能为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案：C
求函数的平均变化率
[典例] 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
[解] 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx；
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，
k3＝6＋＝，
由于k1＜k2＜k3，
故在x＝3附近的平均变化率最大．
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.
(3)求平均变化率＝.
[活学活用]
求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为
3×12＋3×1×＋2＝.
求瞬时速度
[典例] 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解] (1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，li ＝li (3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝ (－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
[活学活用]
一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选A ∵＝＝Δt＋2，
∴ ＝ ＝2，故选A.
求函数在某点处的导数
[典例] (1)函数y＝在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
[解析] (1)Δy＝－1，
＝＝，
li ＝，所以y′|x＝1＝.
答案：(1)
(2)解：①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.
② ＝ [3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，
即y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限 .
2．瞬时变化率的变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
当Δx→0时，→2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
层级一 学业水平达标
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，所以f(x)的图象为一条直线．
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
解析：选A ＝＝＝2.1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴ ＝ (18＋3Δt)＝18，故应选B.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝
＝li ＝ (Δx－3)＝－3.故选C.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：2
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA＜kAB＜kBC.
答案：1＜2＜3
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
解析：∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
答案：
9．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，
∴在t＝2时，瞬时速度为 ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B.
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
解析：选D f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2.
答案：－2
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
7．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800 m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
解：(1)
＝－m ＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝ －
＝4 －5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(一)”
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课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念
层级一 学业水平达标
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，所以f(x)的图象为一条直线．
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
解析：选A ＝＝＝2.1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴ ＝ (18＋3Δt)＝18，故应选B.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝
＝li ＝ (Δx－3)＝－3.故选C.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：2
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA＜kAB＜kBC.
答案：1＜2＜3
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
解析：∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
答案：
9．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，
∴在t＝2时，瞬时速度为 ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B.
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
解析：选D f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2.
答案：－2
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
7．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800 m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
解：(1)
＝－m ＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝ －
＝4 －5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
