1．1.3 导数的几何意义
预习课本P6～8，思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．
答案：y轴 x轴
求曲线的切线方程
[典例] 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝ ＝
＝[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4.
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ .
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
[活学活用]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，
若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，
即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝＝＝
＝x＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝
＝ ＝3x－2，
∴x＋x0－1＝3x－2，
∴2x－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－.
∴k＝x＋x0－1＝－，
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
即5x＋4y－1＝0，故选A.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°.
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点的坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．
解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为y′＝ ＝3x2－2x，
则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，
又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．
当x0＝－时，y0＝3－2＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
答案：
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2．曲线y＝在点的切线的斜率为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D 因为y′＝ ＝
＝ ＝－.
所以曲线在点的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B. C. D．－
解析：选B ∵y′＝
＝ ＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A ∵y′|x＝1＝ ＝
li ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′＝
＝ .
当Δx→0时，cos Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
7．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．
解析：由，得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(x)＝ ＝ ＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0，
答案：x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)＝
＝ ＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
∴当Δx→0时，→3x－4x0，
即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3)．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：选D Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3， ＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
3．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B l
＝ ＝f′(x)＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.
5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
＝______.
解析：由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
解析：由导数的定义，得f′(0)＝
＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：2
7．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：联立两曲线方程，得
解得即交点坐标为(1,1)．
曲线y＝在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝ ＝－1，
所以曲线y＝在点(1,1)的切线方程为y－1＝－1(x－1)，即y＝－x＋2.
同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.
所以曲线y＝x2在点(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示．所以S＝×1×＝.故三角形的面积为.
8．过点P(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，求切线方程．
解：设切线过抛物线上的点Q(x0，x＋x0＋1)，则y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，因为切线过点P(－1,0)和点Q(x0，x＋x0＋1)，其斜率满足＝2x0＋1，所以x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2，所以点(0,1)，(－2,3)是抛物线上的点．
因此在点(0,1)的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0；在点(－2,3)的切线方程为y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0.所以所求切线方程为x－y＋1＝0和3x＋y＋3＝0.
课件19张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（二） 导数的几何意义
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2．曲线y＝在点的切线的斜率为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D 因为y′＝ ＝
＝ ＝－.
所以曲线在点的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B. C. D．－
解析：选B ∵y′＝
＝ ＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A ∵y′|x＝1＝ ＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′＝
＝ .
当Δx→0时，cos Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
7．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．
解析：由，得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(x)＝ ＝ ＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0，
答案：x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)＝
＝ ＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
∴当Δx→0时，→3x－4x0，
即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3)．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：选D Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3， ＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
3．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B l
＝ ＝f′(x)＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.
5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
＝______.
解析：由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
解析：由导数的定义，得f′(0)＝
＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：2
7．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：联立两曲线方程，得
解得即交点坐标为(1,1)．
曲线y＝在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝ ＝－1，
所以曲线y＝在点(1,1)的切线方程为y－1＝－1(x－1)，即y＝－x＋2.
同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.
所以曲线y＝x2在点(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示．所以S＝×1×＝.故三角形的面积为.
8．过点P(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，求切线方程．
解：设切线过抛物线上的点Q(x0，x＋x0＋1)，则y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，因为切线过点P(－1,0)和点Q(x0，x＋x0＋1)，其斜率满足＝2x0＋1，所以x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2，所以点(0,1)，(－2,3)是抛物线上的点．
因此在点(0,1)的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0；在点(－2,3)的切线方程为y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0.所以所求切线方程为x－y＋1＝0和3x＋y＋3＝0.
