第二课时 导数的运算法则
预习课本P15～18，思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
[点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
2．复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g(x))．
②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．
(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝yu′·ux′.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案：1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.
[解] (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)y′＝′＝
＝＝－.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′＝
＝＝.
复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝esin(ax＋b)；
(3)y＝sin2；(4)y＝5log2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) .
(2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a
＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2
＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′
＝＝.
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2； (2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1； (4)y＝；
(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.
解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12；
(2)y′＝·(6x＋4)′＝；
(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1；
(4)y′＝·(2x－1)′＝ .
(5)y′＝cos·′＝3cos.
(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
与切线有关的综合问题
[典例] (1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)，
①求f(1)＋f′(1)．
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.
答案：－1
(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[活学活用]
若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B.
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4. 已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x.
(2)y′＝
＝ .
(3)y′＝
＝
＝.
(4)y′＝(cos x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′
＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x
＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
解析：选C 设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1，把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．
5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，
则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，
解之得a＝ln 2.
答案：ln 2
6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－1
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.
解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)因为f(0)＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
因为x≥0，n≥2.
所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.
由于fn(x)＝－1，
所以0＝fn(an)＝－1，
由此可得an＝＋a＞，
故＜an＜.
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(四)”
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课时跟踪检测（四） 导数的运算法则
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B.
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4. 已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x.
(2)y′＝
＝ .
(3)y′＝
＝
＝.
(4)y′＝(cos x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′
＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x
＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
解析：选C 设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1，把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．
5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，
则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，
解之得a＝ln 2.
答案：ln 2
6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－1
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.
解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)因为f(0)＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
因为x≥0，n≥2.
所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.
由于fn(x)＝－1，
所以0＝fn(an)＝－1，
由此可得an＝＋a＞，
故＜an＜.
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.
