第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
预习课本P12～14，思考并完成下列问题
(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？
1．几种常用函数的导数
函数
导数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明
(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．
(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
原函数
导函数
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若y＝，则y′＝×2＝1.( )
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( )
(3)f(x)＝，则f′(x)＝－.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x
答案：D
3．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
答案：C
4．函数y＝在点处切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
答案：B
利用导数公式求函数导数
[典例] 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝lg x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解：(1)y′＝(lg x)′＝′＝.
(2)y′＝′＝xln ＝－xln 2.
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝′＝＝－.
利用导数公式求切线方程
[典例] 已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．
[解] ∵y＝，∴y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，
则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.
则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程：0－＝－(1－a)．
将得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[活学活用]
当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．
解：设切点为A(x0，x＋k)．∵y′＝2x，∴
∴故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为.
导数的简单综合应用
[典例] (1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在t＝时的速度为________；质点运动的加速度为________．
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] (1)v(t)＝S′(t)＝cos t，
∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)
＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
答案： －sin t
(2)解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．
[活学活用]
曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选C 可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成三角形面积为××＝.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．若f(x)＝sin α－cos x(α是常数)，则f′(α)＝( )
A．sin α B．cos α
C．－sin α D．－cos α
解析：选A f′(x)＝(sin α－cos x)′＝sin′α－cos′x＝sin x，
∴f′(α)＝sin α.
3．已知f(x)＝－3x，则f′(2)＝( )
A．10 B．－5x
C．5 D．－10
解析：选D ∵f′(x)＝－5x，∴f′(2)＝－5×2×＝－10，故选D.
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.
5. 曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C. D.
解析：选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
答案： x－ey＝0
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
5．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．
解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
答案：4
7．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，
得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
课件23张PPT。0αxα－1cos x－sin xaxln aex
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)”
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课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数和
基本初等函数的导数公式
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．若f(x)＝sin α－cos x(α是常数)，则f′(α)＝( )
A．sin α B．cos α
C．－sin α D．－cos α
解析：选A f′(x)＝(sin α－cos x)′＝sin′α－cos′x＝sin x，
∴f′(α)＝sin α.
3．已知f(x)＝－3x，则f′(2)＝( )
A．10 B．－5x
C．5 D．－10
解析：选D ∵f′(x)＝－5x，∴f′(2)＝－5×2×＝－10，故选D.
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.
5. 曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C. D.
解析：选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
答案： x－ey＝0
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
5．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．
解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
答案：4
7．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，
得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
