1．3.1 函数的单调性与导数
预习课本P22～26，思考并完成下列问题
(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？
(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？
(3)怎样求函数的单调区间？
1．函数的单调性与其导数正负的关系
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案：D
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
4. 函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
答案：上升
判断或讨论函数的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
[解] 由题设知a≠0.
f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，
∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，
∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数证明或判断函数单调性的思路
[活学活用]
判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
解：∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2.
①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
求函数的单调区间
[典例] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解] (1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，
∴x＞，或x＜－.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，
∴－＜x＜，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
[活学活用]
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＜0
解析：选D ∵a＞0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＞0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac＜0，
∴b2－3ac＜0.
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3＝(3x－1)(x＋3)，
令f′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f′(x)<0，可得－3∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，，
单调减区间为.
利用导数求参数的取值范围
[典例] 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] [法一 直接法]
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[法二 数形结合法]
如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
∴另一根在[4,6]上．
∴
即∴5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]
[法三 转化为不等式的恒成立问题]
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
[活学活用]
若f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a∈________.
解析：f′(x)＝2·，
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴f′(x)＝2·≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则
即
∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.
4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，排除D，故选C.
5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
8．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3；
又令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数．
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，
令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.
由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
解析：选C 由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.
3．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
解析：选A y′＝xcos x，当－π＜x＜－时，cos x＜0，∴y′＝xcos x＞0，当0＜x＜时，cos x＞0，∴y′＝xcos x＞0.
4．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
B．f(2)e2 016f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)解析：选C ∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2 016)5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则实数b的取值范围为________________．
解析：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意知，b＜－1或b＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．
解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，
g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)；单调减区间为(－1,0)．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
①若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
②当a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)＜0，即f(x)＜0，不符合题意，
综上得a的取值范围为(－∞，1]．
8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)”
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课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.
4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，排除D，故选C.
5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
8．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3；
又令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数．
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，
令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.
由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
解析：选C 由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.
3．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
解析：选A y′＝xcos x，当－π＜x＜－时，cos x＜0，∴y′＝xcos x＞0，当0＜x＜时，cos x＞0，∴y′＝xcos x＞0.
4．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
B．f(2)e2 016f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)解析：选C ∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2 016)5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则实数b的取值范围为________________．
解析：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意知，b＜－1或b＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．
解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，
g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)；单调减区间为(－1,0)．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
①若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
②当a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)＜0，即f(x)＜0，不符合题意，
综上得a的取值范围为(－∞，1]．
8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
