1．3.2 函数的极值与导数
预习课本P26～29，思考并完成下列问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么？
(2)函数取得极值的必要条件是什么？
(3)求可导函数极值的步骤有哪些？
1．函数极值的概念
(1)函数的极大值
一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
(2)函数的极小值
一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．
[点睛] 如何理解函数极值的概念
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
2．求函数y＝f(x)极值的方法
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0. 当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
[点睛] 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(3)函数f(x)＝有极值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0处取得极小值的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
答案：B
3．已知函数y＝|x2－1|，则( )
A．y无极小值，且无极大值
B．y有极小值－1，但无极大值
C．y有极小值0，极大值1
D．y有极小值0，极大值－1
答案：C
4. 函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( )
A．0 B.
C. D.
答案：B
运用导数解决函数的极值问题
题点一：知图判断函数的极值
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值
解析：选C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.
题点二：已知函数求极值
2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
解：函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值0
?
极大值4e－2
?
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.
题点三 已知函数的极值求参数
3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
解析：选D 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1
若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.
4．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
无极值
?
极小值
?
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
函数极值的综合应用
[典例] 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解] 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
[一题多变]
1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．
解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，
则f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－4
?
－
?
作出函数f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.
2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
层级一 学业水平达标
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选B 由y′＝2x＋x·2xln 2＝0，得x＝－.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.
6．函数y＝的极大值为________，极小值为_______．
解析：y′＝，令y′＞0得－1＜x＜1，令y′＜0得x＞1或x＜－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
答案：1 －1
7．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图，观察图象得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．
答案：(－2,2)
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减↘
2(1－ln 2＋a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，x＝0是极值点的是( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tan x－x D．y＝
解析：选B y＝cos2x＝，y′＝－sin 2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(2)＝－4，故①②错误，③④正确．
4．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A. B.
C. D.
解析：选B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
7．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
则(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
∴解得1≤a≤9.
即a的取值范围是[1,9]．
8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值．
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x＞－2)．
g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，
只需
即
所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3.
故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”
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课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数
层级一 学业水平达标
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选B 由y′＝2x＋x·2xln 2＝0，得x＝－.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.
6．函数y＝的极大值为________，极小值为_______．
解析：y′＝，令y′＞0得－1＜x＜1，令y′＜0得x＞1或x＜－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
答案：1 －1
7．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图，观察图象得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．
答案：(－2,2)
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减↘
2(1－ln 2＋a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，x＝0是极值点的是( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tan x－x D．y＝
解析：选B y＝cos2x＝，y′＝－sin 2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(2)＝－4，故①②错误，③④正确．
4．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A. B.
C. D.
解析：选B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
7．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
则(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
∴解得1≤a≤9.
即a的取值范围是[1,9]．
8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值．
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x＞－2)．
g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，
只需
即
所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3.
故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．
