回扣验收特训（三） 数系的扩充与复数的引入
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数对应的点在第一象限．
2．(山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi ，则 (a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：选A 由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
3．已知z是纯虚数，是实数，则z＝( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：选D 因为z是纯虚数，则令z＝bi(b∈R，b≠0)，所以＝＝＝.又是实数，则b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i，故选D.
4．(山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选B 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.
5．(全国卷Ⅰ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－3
6．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
7．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为________．
解析：∵z＝＝－1－i，∴|z|＝＝，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
所以其中的真命题为p2，p4.
答案：p2，p4
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
答案：±(7－i)
9．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
10．m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是(1)实数；(2)纯虚数？
解：∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)∵z∈R且m∈R，∴m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.即当m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)由z是纯虚数得得m＝－.故当m＝－时，z为纯虚数．
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
12．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，
所以x＝－3，y＝4(舍去)，
故z＝－5.
复习课(三) 数系的扩充与复数的引入
复数的概念
(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．
(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．
1．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0.
(2)z∈R?z＝.
(3)z∈R?z2≥0.
2．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0.
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)．
(3)z是纯虚数?z2<0.
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．
[典例] 实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解] (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，该复数为0.
[类题通法]
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
1．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A 因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
2．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
解：(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
∴
由②，得x＝4，经验证满足①③式．
∴当x＝4时，z∈R.
(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，
∴解得
即＜x＜4或x＞4时，z为虚数．
(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，
∴解得
方程组无解．∴复数z不可能是纯虚数.
复数加、减法的几何意义
(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．
(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离．
[典例] (1)若复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
(2)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，
又复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，
所以即a＝－1.
(2)z＝＝
＝[(m－4)－2(m＋1)i]，
其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，
由得
此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
[答案] (1)A (2)A
[类题通法]
在复平面内确定复数对应点的步骤
(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)．
(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)．
1．(全国卷Ⅲ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由已知得∴4∴－答案：(－，－2)∪(2，)
3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若OC―→＝2OA―→＋OB―→，则a＝________，b＝________.
解析：∵OC―→＝2OA―→＋OB―→
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即 ∴
答案：－3 －10
复数的代数运算
(1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．
(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．
复数运算中常见的结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
[典例] (1)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
(2)(全国卷Ⅱ)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析] (1)由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
(2)因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
[答案] (1)A (2)C
[类题通法]
进行复数代数运算的策略
(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．
②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
1．复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝( )
A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i
C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i.
2．i是虚数单位，2 016＋6＝________.
解析：原式＝1 008＋6＝1 008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i4＋i2＝0.
答案：0
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数对应的点在第一象限．
2．(山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi ，则 (a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：选A 由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
3．已知z是纯虚数，是实数，则z＝( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：选D 因为z是纯虚数，则令z＝bi(b∈R，b≠0)，所以＝＝＝.又是实数，则b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i，故选D.
4．(山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选B 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.
5．(全国卷Ⅰ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－36．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
7．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为________．
解析：∵z＝＝－1－i，∴|z|＝＝，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
所以其中的真命题为p2，p4.
答案：p2，p4
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
答案：±(7－i)
9．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
10．m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是(1)实数；(2)纯虚数？
解：∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)∵z∈R且m∈R，∴m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.即当m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)由z是纯虚数得得m＝－.故当m＝－时，z为纯虚数．
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
12．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，
所以x＝－3，y＝4(舍去)，
故z＝－5.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
解析：选D ＝＝－，对应点在第四象限．
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
解析：选C y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
3．使不等式＜成立的条件是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＞b，且ab＜0 D．a＞b，且ab＞0
解析：选D 欲使＜成立，需使－＜0，
即＜0，结合选项可知选D.
4．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当05.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2] B.
C．[－2,3] D.
解析：选D 由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－. 当x＞时，y′＞0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
6．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为( )
解析：选C 根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.
7．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)解析：选B 因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).
8．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：选B 由2xln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________________________________．
答案：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
10．设f(x)＝xln x，则f′(1)＝________，若f′(x0)＝2，则x0的值为________．
解析：由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1；根据题意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e.
答案：1 e
11．已知z＝1－i，则|z|＝________，＝________.
解析：|z|＝＝，
＝＝＝－2i.
答案： －2i
12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为_______，单调递减区间为________．
解析：f′(x)＝2x－2－＞0，即＞0.∵x＞0，
∴(x－2)(x＋1)＞0.∴x＞2.由f′(x)＜0，解得(0,2)．
答案：(2，＋∞) (0,2)
13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．
解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则
y＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，
则y′＝－3p2－300p＋11 700.
令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
则p，y，y′变化关系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
y′
＋
0
－
y
?
极大值
?
故当p＝30时，y取极大值为23 000元．
又y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
答案：30 23 000
14．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k∈N*，k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：令f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，
因此应增加的项为＋＋…＋，共2k项．
答案：2k
15．函数y＝ln x(x＞0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a＝________.
解析：y′＝(ln x)′＝(x＞0)，又y＝ln x的图象与直线y＝x＋a相切，∴＝，∴x＝2，因此，切点P(2，ln 2)在直线y＝x＋a上，∴ln 2＝1＋a，∴a＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知a＞b＞c，求证：＋≥.
证明：已知a＞b＞c，因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋≥4，即＋≥.
17．(本小题满分15分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，
1－m)
1－m
(1－m，
1＋m)
1＋m
(1＋m，
＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
18．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1)．
19．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a1＝S1＝＋－1，
所以a1＝－1±.
又因为an＞0，所以a1＝－1.
S2＝a1＋a2＝＋－1，所以a2＝－.
S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，
所以a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－，n∈N*.
下面用数学归纳法加以证明：
①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－成立．
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝＋－，
所以a＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．
20．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，
则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，
故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
＝－
＝＋－，
所以a＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．
20．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，
则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，
故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
课件25张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（三）”
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