回扣验收特训（一） 导数及其应用 （部分）
1．函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0
C. D．1
解析：选A 由f′(x)＝ex(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为( )
A．c＜ B．c≤
C．c≥ D．c＞
解析：选A 由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜.
3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
解析：选C 函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
4．函数f(x)＝x2＋2mln x(m<0)的单调递减区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(0，)
C．(，＋∞)
D．(0，)∪(，＋∞)
解析：选B 由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为m<0，则f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[5,6]
解析：选C f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
6．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：选D 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
7．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
答案：3
8．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax＜0在区间(0,2)内恒成立，
即a＞x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
答案：[3，＋∞)
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知f′(2)＝0，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9. [f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
10．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；
当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
11．已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)为增函数，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝x－(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以解得
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上恒成立．
则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a≤1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
12．设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
复习课(一) 导数及其应用(部分)
导数的概念及几何意义的应用
(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．
(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．
[典例] (全国卷Ⅱ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
[解析] 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
[答案] 2x－y＝0
[类题通法]
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．
1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
2．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，
y′＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
法一：∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由
消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
答案：8
导数与函数的单调性
(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
函数的单调性与导函数值的关系
若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.
f′(x)＞0?函数f(x)在(a，b)上单调递增；
f′(x)＜0?函数f(x)在(a，b)上单调递减．
反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增?f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减?f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．
[典例] 已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；
(2)讨论函数f(x)的单调性并求出单调区间．
[解] f′(x)＝1－.
(1)由导数的几何意义得f′(2)＝3，即1－＝3，
∴a＝－8.
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，
得f(2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b＝7，解得b＝9，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9(x≠0)．
(2)当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)，
这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝±.
当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；
当－＜x＜0或0＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，
在(0，)，(－，0)上是减函数．
[类题通法]
求函数的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．
(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．
[提醒] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
1．设函数f′(x)＝x2＋3x－4，则y＝f(x＋1)的单调递减区间为________．
解析：由f′(x)＝x2＋3x－4，令f′(x)＜0，即x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－4,1)，所以y＝f(x＋1)的单调递减区间为(－5,0)．
答案：(－5,0)
2．已知函数f(x)＝－x2＋2x－aex.
(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋2x－ex，
则f(1)＝－×12＋2×1－e＝－e，
f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋.
(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∵f(x)＝－x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，
于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，
即a≤在R上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－
增
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，
即g(x)min＝－，所以a≤－，
即实数a的取值范围是.
导数与函数的极值、最值
从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．
1．导数与函数单调性、极值的关系
(1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．利用导数求函数极值应注意三点
(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；
(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；
(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．
[典例] 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即化简得
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，
f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
[类题通法]
1．求函数的极值的方法
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
2．求函数的最值的方法
(1)求f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
1．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，试求函数的极值．
解：f′(x)＝1－＝，x>0.
(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，
且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，
函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
2．已知函数f(x)＝(x≥1)，
(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
(2)若f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－，
∵x≥1，∴ln x≥0，∴f′(x)≤0.
故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
(2)∵x≥1，
∴f(x)≥?≥k，
令g(x)＝，
∴g′(x)＝＝.
再令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－.
∵x≥1，则h′(x)≥0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．
∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.
故实数k的取值范围为(－∞，2]．
生活中的优化问题
优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．
(1)解决优化问题的策略
①要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
②要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，
故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，
故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
[类题通法]
利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y＝×30＋×40，
y′＝－＋20＝，
∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15 000
2．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝.∴Q＝x3.
∴总费用y＝·＝x2＋.
∵y′＝－.令y′＝0，得x＝20.
∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
∴当x＝20时，y取得最小值，
∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．
1．函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0
C. D．1
解析：选A 由f′(x)＝ex(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为( )
A．c＜ B．c≤
C．c≥ D．c＞
解析：选A 由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜.
3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
解析：选C 函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
4．函数f(x)＝x2＋2mln x(m<0)的单调递减区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(0，)
C．(，＋∞)
D．(0，)∪(，＋∞)
解析：选B 由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为m<0，则f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[5,6]
解析：选C f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
6．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：选D 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
7．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
答案：3
8．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax＜0在区间(0,2)内恒成立，
即a＞x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
答案：[3，＋∞)
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知f′(2)＝0，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9. [f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
10．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；
当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
11．已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)为增函数，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝x－(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以解得
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上恒成立．
则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a≤1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
12．设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
课件37张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（一）”
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