常州市“教学研究合作联盟” 2018-2019学年高二下学期期中考试
数学(文科)试题
(考试时间:120分钟 试卷满分:160分)
注意事项:
1.本试卷均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设命题:,,则为 ▲ .
2.若集合,,则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ .
3.若实数满足(表示虚数单位),则的值为 ▲ .
4.函数的定义域为 ▲ .
5.用反证法证明命题“若直线是异面直线,则直线也是异
面直线”的过程可归纳为以下三个步骤:
①则四点共面,所以共面,这与是异面直线矛盾;
②所以假设错误,即直线也是异面直线;
③假设直线是共面直线.
则正确的推理步骤的序号依次为 ▲ .
6.在复平面内,若向量对应的复数为,则 ▲ .
7.若一次函数满足,则 ▲ .
8.如图所示,正方形和的边长均为,点是公
共边上的一个动点,设,则.请
你参考这些信息,推知函数的值域是 ▲ .
9.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,……,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则 ▲ .
10.已知指数函数在上为减函数;,.则使“且”为真命题的实数的取值范围为 ▲ .
11.已知函数的定义域为,值域为,则实数的取值集合为 ▲ .
12.已知定义在上的偶函数满足,若,则实数 的取值范围是 ▲ .
13.已知函数,若存在实数,使得,则实数的取值范围是 ▲ .
14.已知函数若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知复数(,表示虚数单位).
(1)若为纯虚数,求复数;
(2)在复平面内,若满足的复数对应的点在直线上, 求复数.
16.(本小题满分14分)
已知集合(),.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围.
17.(本小题满分14分)
已知函数(且)的图象经过点.
(1)求实数的值;
(2)若,求实数的值;
(3)判断并证明函数的单调性.
18.(本小题满分16分)
习总书记指出:“绿水青山就是金山银山”.常州市一乡镇响应号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量 (单位:千克)与肥料费用(单位:元)满足如下关系:其它成本投入(如培育管理等人工费)为(单位:元).已知这种水果的市场售价大约为元/千克,且供不应求.记该单株水果树获得的利润为(单位:元).
(1)求的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
19.(本小题满分16分)
已知是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)求函数在上的值域;
(3)令,求不等式的解集.
20.(本小题满分16分)
已知函数,.
(1)若,求的单调区间;
(2)求函数在上的最值;
(3)当时,若函数恰有两个不同的零点,求的取值范围.
常州市“教学研究合作联盟”
2018学年度第二学期期中质量调研
高二 数学(文科)试题
试题参考答案
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1. , 2. 3. 4.
5.③①② 6. 7. 8.
9. . 10. 11. 12.
13. 14.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)
(1) ………………………3分
∵为纯虚数, ∴ ……………6分(少一个条件扣1分)
∴,∴.…………………………………………………7分
(2) …………………10分
∵复数对应的点在直线上, ∴,…………………13分
∴.∴.…………………………………………………………14分
16.(本小题满分14分)
(1)当时, ,……………………………2分
,………………………………4分
所以, .…………………………………………………7分
(2) ()
,
因为“”是“”的必要条件,
所以,……………………………………………………10分
所以,所以.………………………………………………13分
所以,当时,“”是“”的必要条件. ……………14分
17.(本小题满分14分)
(1)将点的坐标代入函数式得, ,解得,. ………………2分
(2)由(1)得,由题意可得,,
所以, ,,,,…………………4分
所以,. …………………………………………………………………6分
(3) 函数是上的减函数. …………………………7分
法一:由(1)得.
令,则…………………………………………………10分
因为指数函数是上的增函数,而,
所以, ,所以,, ………………………………12分
所以, ,即,…………………13分
所以, ,所以, 函数是上的减函数. ……………14分
法二:因为,……………………………………13分
所以,函数是上的减函数. ………………………………14分
18.(本小题满分16分)
解:(1)由已知……………………2分
…………6分
答:的函数关系式为………………………7分
(2)由(1)
当时,在上单调递减,在上单调递增,…………………8分
且
;………………………………………………………………10分
当时,,
………………………………………………………12分
当且仅当时,即时等号成立.………………………………………13分
…………………………………………………………14分
因为,所以当时,.…………………………………15分
答:当投入的肥料费用为元时,种植该果树获得的最大利润是元.…………16分
19.(本小题满分16分)
解:(1)函数的定义域为,因为为奇函数,由可知,,
所以,所以;………………………………………………………………3分
当时,,此时为奇函数. ……………4分
(2)令(),所以
所以,对称轴, ……………………………………………………5分
①当时,,所求值域为;…………………………………7分
②当时,,所求值域为;……………………………9分
(3)因为为奇函数,所以
所以为奇函数,
所以等价于,……………………10分
又当且仅当时,等号成立,
所以在上单调增,
所以, ……………………………………………………………………13分
即,又,
所以或.……………………………………………………………………15分
所以不等式的解集是. ……………………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
(1)
当时,函数的对称轴是,开口向上,故在上单调递减, 在上单调递增. …………………………………………………………………………1分
当时,函数在上单调递增.……………………………………………2分
综上: 在上单调递减, 在上单调递增. ………………………3分
(2)①当时,
的对称轴是,
在上递减,在上递增
而
最小值,最大值;………………………………………5分
②当时的对称轴是,,
的最小值为,最大值……………………7分
③当时,
的最小值为,最大值………………………9分
④ 当时,的对称轴是
的最小值,最大值…………………………11分
综上:①当时,的最小值,最大值;
②当时,的最小值为,最大值;
③当时,的最小值为,最大值
④当时,的最小值,最大值
(3)
当时,令,可得
,………………………………………………………………13分
(因为所以舍去)
所以,…………15分
在上是减函数,所以.………………………………………16分