请拿出你的导学案,课本，双色笔，还有你的激情、动力和目标
全力投入会使你与众不同，
你是最优秀的，你一定能做的更好！
温馨
提示
把认真修炼成一种习惯
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么？
——毕达哥拉斯
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
教学重点：角平分线性质定理的逆定理及应用.
教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
预习案反馈
目标导向：通过问题反馈，进一步明确存在的问题，做到有的放矢！
存在的问题：
1.简单的运用能够掌握，但是对于实际问题
不能抽象出来。
2.对于最短路径问题比较薄弱，需要加强。
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线的性质：
不必再证全等
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
先独立完成探究案（10分钟）
要求：10分钟后
以小组为单位，A层学生负责调查组员是否能理解解题
思路，不理解的，组长安排好任务进行讨论。
百家争鸣，百花齐放
具体要求：
1.重点探究：如何做出合适的角平分线
2.展示要求:
(1)书写认真、 步骤规范，用好双色笔。
(2)总结题目的规律、方法，注重多角度考虑问题。
(3)先组内讨论，再组间学习；
——成长与精彩属于我们
要求（1）书面展示要分层次，书写要认真、 规范。
⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。把典型的题目整理到典型题集上，不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
展示题目 展示小组
探究点一 2组
针对练习一 1组
拓展提升 4组
1. 面向同学，声音洪亮，语言精炼，自然大方；
2. 点评时注重对题目思路和方法的分析，点明注意事项，并总结方法和规律；
3.其他同学要求极度专注，积极质疑、追问、解答。
点评题目 点评小组
探究点一 6组
针对练习一 3组
拓展提升 5组
技巧归纳
小结：
技巧归纳
3.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
角的平分线的性质和判定的关系如下：
对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．
4.构造角的平分线的模型证明线段相等
当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
教学重点：角平分线性质定理的逆定理及应用.
教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
要求：
1.认真整理学案，进一步理解并学会做那个角的角平分线。
2.将导学案进行整理。
3.反思学习的过程及感悟。
今天的数学之旅即将接近尾声，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形
12.3角平分线的性质的应用
一、教材分析
本节课是选自人教版八年级上册十二章第三节的内容，是在学习学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及逆定理。同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，是今后、作图、计算、证明的重要工具，为九年级的学习做铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有重要的地位。
二、教学目标
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
教学重点：角平分线性质定理的逆定理及应用.
教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
三、学情分析
本节课是在学习了并探究了角平分线的性质基础上后续的内容，班上的学生基本上都已经知道了角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等．”
但大部分学生对于角平分线的性质还停留在知道，不懂得应用的，本节课的目的就是学会运用本性质去解决一些常见的问题。中层以上学生还必须学会灵活去运用角平分线的性质解决实际问题。
教学设计
复习旧知，导入新课
1．角的平分线的性质
(1)内容
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
(2)书写格式
如图所示，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
2．角的平分线的判定
(1)内容
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
(2)书写格式
如图所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的角平分线上．
(3)作用
运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．
预习自测：
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2 cm，则点D到直线AB的距离是__________ cm.
解析：因为点D在∠ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长．
2.如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
合作探新知
探究一：用角平分线性质解决实际问题
如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3 000 m．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100 000)
解答分析：
如图．
作法：(1)以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.
(2)按比例尺计算得古塔与P的图上距离为3 cm，以古塔为圆心，以3 cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求．
针对练习一：
如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在注视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？
解答分析：
连接PA，PB.
∵点P到BE，AF，AB的距离相等，
∴PA，PB分别是∠FAB，∠EBA的角平分线，即∠PBA＝∠EBA，∠PAB＝∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的视线转过的角度为90°.
拓展提升：
如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．
作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.
(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．
方法总结
1.运用角的平分线的判定解决实际问题
在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．
巧用角的平分线的性质和判定解决问题
能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．
3.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
角的平分线的性质和判定的关系如下：
对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．
构造角的平分线的模型证明线段相等
当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．
当堂检测
如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，求证：BP为∠MBN的平分线．
分析：要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD＝PF，而AP，CP为外角平分线，故可过点P作PE⊥AC于点E，根据角平分线的性质有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP为∠MBN的平分线．
证明：过点P作PE⊥AC于点E.
∵AP，CP分别是∠MAC与∠NCA的平分线，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，
∴点P在∠MBN的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)．
∴BP为∠MBN的平分线．
（五）板书设计
1.运用角的平分线的判定解决实际问题
巧用角的平分线的性质和判定解决问题
3.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
角的平分线的性质和判定的关系如下：
4.构造角的平分线的模型证明线段相等
教学反思
这是一节新授课，学生已经知道了角平分线的性质以及角平分线的判定。所以本节课中，我尽可能地多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手．再通过不断地对问题进行变式，让学生自主得出结论，成为课堂的驾驭者．于以上认识，我围绕下列线索进行设计：
1、给出角平分线的性质及判断的图形与判断方法，巩固前两节课所学习的知识，再由此给出我们实际生活当中的问题，让学生学着去解决这类问题。
2.存在不足的是，学生前面预习自测部分做的很好，但涉及到实际问题的时候，有百分之四十的同学可以从中抽象出来并解决问题，有百分之二十的同学根本动不了手，但通过方法的归纳总结之后，只有一小部分没办法解决实际当中的问题，这个是以后需要努力改进的方向。
（六）附学生导学案
12.3角平分线的性质的应用
【学习目标】
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题
【重点】角平分线性质定理的逆定理及应用.
【难点】灵活应用两个性质解决问题.
【使用方法与学法指导】
先仔细阅读角平分线的性质与判断相关知识，再认真完成本导学案。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
预 习 案
一、复习旧知，导入新课
1．角的平分线的性质
(1)内容
角的平分线上的点 ．
(2)书写格式
如图所示，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥ ，PE⊥ ，
∴ ＝ .
2．角的平分线的判定
(1)内容
角的内部到角的两边的距离相等的点 ．
(2)书写格式
如图所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB， ＝ ，
∴点P在 ．
(3)作用
运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．
预习自测：
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2 cm，则点D到直线AB的距离是__________ cm.
2.如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.
探 究 案
探究一：用角平分线性质解决实际问题
如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3 000 m．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100 000)
针对练习一：
如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在注视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？
拓展提升：
如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
当堂检测：
如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，求证：BP为∠MBN的平分线．
D
A
C
B
