第18章 勾股定理单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在直角三角形中，两条直角边长分别为2和3，则其斜边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（4分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．3、4、5 C．12、15、18 D．1、、3
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
4．（4分）若点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则N点的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣1）
C．（3，﹣1）或（3，﹣3） D．（4，﹣2）或（2，﹣2）
5．（4分）如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
6．（4分）已知三角形三边分别为a，b，c，且满足|a﹣2|+＝0，此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
7．（4分）如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（4分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺
9．（4分）如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24平方米 B．36平方米 C．48平方米 D．72平方米
10．（4分）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C'，已知AB＝1cm，则爬行路线最短为（ ）
A．3cm B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1＝ ，S2＝ ．
12．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为AB上的动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
13．（5分）如图，AB＝1.2m，BC＝0.5m，AD＝CE＝0.2m，则加固小树的木棒DE的长是 m．
14．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，则CD的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
16．（8分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求BC边上的高．
17．（8分）如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c，试利用图形证明勾股定理．
18．（8分）如图所示，△ABC中．
（1）若∠A：∠B：∠C＝2：3：4，求∠C的度数；
（2）若AB＝2，AC＝6，BC＝2，求BC边上的高．
19．（10分）如图，一透明圆柱形无盖容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处．
（1）若蜂蜜固定不动，求蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短路线长；
（2）若该蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以0.5cm/s的速度沿杯内壁下滑，它便沿最短路径在8秒钟时吃到了蜂蜜，求此蚂蚁爬行的平均速度．
20．（10分）已知：如图1，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙BO上，这时梯子的底端到墙的距离OA＝0.7米．
（1）求此时梯子的顶端B到地面的距离OB是多少米；
（2）如图2，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4米，那么梯子底端A将向左滑动多少米？
21．（12分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．
（1）直接写出∠ADB的度数是 ；
（2）求证：BD＝AB；
（3）若AB＝2，求BC的长．
22．（12分）先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以1cm/s的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接AQ，交射线BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍，为什么？
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠BQE相等．
第18章 勾股定理单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在直角三角形中，两条直角边长分别为2和3，则其斜边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
解：由勾股定理得，其斜边长＝＝，
故选：B．
2．（4分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．3、4、5 C．12、15、18 D．1、、3
解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故正确；
C、122+152≠192，不能构成直角三角形，故错误；
D、不是整数，此选项错误；
故选：B．
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
解：设BE＝EC＝x，CF＝FA＝y，
∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，
则有，
解得x2＝，y2＝，
∴AB＝＝＝2，
故选：C．
4．（4分）若点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则N点的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣1）
C．（3，﹣1）或（3，﹣3） D．（4，﹣2）或（2，﹣2）
解：∵点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，MN＝1，
∴y＝﹣2，|x﹣3|＝1，
∴x＝2或4，
∴N点的坐标为（2，﹣2）或（4，﹣2）．
故选：D．
5．（4分）如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG＝EF＝4，
∴BH＝16，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20．
故选：C．
6．（4分）已知三角形三边分别为a，b，c，且满足|a﹣2|+＝0，此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解：∵|a﹣2|+＝0，
又∵|a﹣2|≥0，≥0，（c﹣2）2≥0，
∴a＝2，b＝2，c＝2，
∴a＝b，
∵a2+b2＝8，c2＝8，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形是等腰直角三角形．
故选：B．
7．（4分）如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠ACE＝85°，
∵∠ACE＝∠F+∠CDF，∠F＝60°，
∴∠CDF＝25°，
故选：B．
8．（4分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.2，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：B．
9．（4分）如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24平方米 B．36平方米 C．48平方米 D．72平方米
解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB?BC+AC?DC＝（3×4+5×12）＝36米2．
故选：B．
10．（4分）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C'，已知AB＝1cm，则爬行路线最短为（ ）
A．3cm B． C． D．
解：如图所示：
蚂蚁爬行的路径＝＝，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1＝ c2+ab ，S2＝ a2+b2+ab ．
解：如图所示：
S1＝c2+ab×2＝c2+ab，
S2＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
12．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为AB上的动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 2﹣2 ．
解：作BH⊥CD于点H，连接HE，
因为两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，
所以当B、E、H三点在同一直线上，且BH⊥CD时，BE最短，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴CH＝DH，
BH垂直平分CD，
∴BD＝BC＝4，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∴CH＝2，HE＝CH＝2，BH＝2，
∴BE＝BH﹣HE＝2﹣2．
13．（5分）如图，AB＝1.2m，BC＝0.5m，AD＝CE＝0.2m，则加固小树的木棒DE的长是 1.7 m．
解：Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝1.3m，
∵AD＝CE＝0.2m，
∴DE＝AD+AC+CE＝0.2+1.3+0.2＝1.7m，
故答案为：1.7．
14．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，则CD的长为 10﹣5 ．
解：如图，作DE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．
∵DE⊥EF，CF⊥EF，
∴DE∥CF，∵CD∥EF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠F＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF，
在Rt△BCF中，∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴BF＝BC＝5，CF＝DE＝5，
在Rt△ADE中，
∵∠A＝45°，
∴AE＝DE＝5，
∴BE＝5﹣5，
∴CD＝EF﹣5﹣（5﹣5）＝10﹣5，
故答案为10﹣5．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
16．（8分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求BC边上的高．
解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h．则有?AC?AB＝?BC?h，
∵AC＝，AB＝2，BC＝，
∴h＝．
17．（8分）如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c，试利用图形证明勾股定理．
证明：∵∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠ABC＝∠BED，∠BAC＝∠EBD，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠ABE＝90°，
三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
18．（8分）如图所示，△ABC中．
（1）若∠A：∠B：∠C＝2：3：4，求∠C的度数；
（2）若AB＝2，AC＝6，BC＝2，求BC边上的高．
解：设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝4k，
由题意得，2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，∠C＝4×20°＝80°，
（2）∵AB＝2，AC＝6，BC＝2，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC边上的高＝．
19．（10分）如图，一透明圆柱形无盖容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处．
（1）若蜂蜜固定不动，求蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短路线长；
（2）若该蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以0.5cm/s的速度沿杯内壁下滑，它便沿最短路径在8秒钟时吃到了蜂蜜，求此蚂蚁爬行的平均速度．
解：（1）如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，
∴AD＝12cm，
∴AB＝＝＝12（cm）．
答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；
（2）∵AD＝12cm，
∴蚂蚁所走的路程＝＝20，
∴蚂蚁的平均速度＝20÷8＝2.5（cm/s）．
20．（10分）已知：如图1，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙BO上，这时梯子的底端到墙的距离OA＝0.7米．
（1）求此时梯子的顶端B到地面的距离OB是多少米；
（2）如图2，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4米，那么梯子底端A将向左滑动多少米？
解：（1）∵AB＝2.5米，OA＝0.7米，
∴OB＝米；
（2）∵B点下移0.4米，
∴DO＝2米，
在Rt△COD中，已知CD＝2.5米，DO＝2米，
则根据勾股定理CO＝＝1.5米，
∴AC＝OC﹣OA＝1.5米﹣0.7米＝0.8米，
所以梯子底端A将向左滑动0.8米．
21．（12分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．
（1）直接写出∠ADB的度数是 75° ；
（2）求证：BD＝AB；
（3）若AB＝2，求BC的长．
解：（1）∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°
故答案为75°．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝75°，
∴∠A＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝DB．
（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠DFC＝90°，
∵∠DBF＝30°，
∴DF＝BD，
∵BD＝AB＝2，
∴DF＝1，
∴FB＝，
∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴FD＝FC＝1，
∴BC＝．
22．（12分）先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
解：（1）依据两点间的距离公式，可得AB＝＝13；
（2）当点A，B在平行于y轴的直线上时，AB＝|﹣1﹣5|＝6；
（3）AB与AC相等．理由：
∵AB＝＝5；
AC＝＝5；
BC＝|3﹣（﹣3）|＝6．
∴AB＝AC．
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以1cm/s的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接AQ，交射线BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍，为什么？
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠BQE相等．
解：（1）过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高
∴BD平分∠ABC
∴EM＝EN
∵AP＝t，BQ＝2t
∴
∴△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍
（2）∵BD平分∠ABC
∴∠PBE＝∠QBE
在△BPE与△BQE中
∴△BPE≌△BQE（AAS）
∴BP＝BQ
∵BP＝AB﹣AP＝8﹣t
∴8﹣t＝2t
解得：t＝
∴t＝时，∠BPE和∠BQE相等
