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《最大公因数》
一、填一填
（1）9的因数：（ ）
18的因数：（ ）
9和18的公因数：（ ）
（2）15的因数：（ ）
50的因数：（ ）
15和50的公因数：（ ）
（3）11的因数：（ ）
13的因数：（ ）
11和13的公因数：（ ）
（4）24的因数：（ ）
36的因数：（ ）
24和36的公因数：（ ）
二、判断对错
1.21=3×7，42=2×3×7，21和42的最大公因数是21 （ ）
2.所有自然数的公因数是1 （ ）
3．14和17的最大公因数是2 （ ）
三、算一算
1.用30朵红花和25朵白花做华数，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花花的朵数也都相等，每个花束里最少有几朵花，最多有几朵花？
解析与答案
一、填一填
（1）1 3 9；1 2 3 6 9 18；1 3 9
（2）1 3 5 15；1 2 5 10 25 50；1 5
（3）1 11；1 13；1
（4）1 2 3 4 6 8 12 24；1 2 3 4 9 12 18 36；1 2 3 4 12
二、判断对错
1.√
2.√
3.×
三、算一算
30的因数：1 2 3 5 6 10 15 30
25的因数：1 5 25
30和25的公因数：1 5
30和25的最大公因数：5
答：每个花束里最少有1朵花，最多有5朵
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《最大公因数》教案
【教学目标】
1. 知识与技能
经历具体的操作活动，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因数和它们的公因数，在探究中体会数形结合的数学思想。
2.过程与方法
在探索寻找公因数和最大公因数的过程中，经历观察、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。
3.情感态度与价值观
会运用公因数，最大公因数的知识解决简单的实际问题，体验数学与生活的联系，增强数学意识。
【教学重点】
理解公因数和最大公因数的意义。
【教学难点】
利用公因数、最大公因数解决简单的实际问题。
【教学方法】
启发式教学、自主探索、合作交流、讨论法、讲解法。
【课前准备】
多媒体课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
（一）复习导入
师：同学们，我们来玩个游戏吧！请听清楚我的指令哦！
1.请学号是6的因数的同学起立并报出自己的学号。
2.请学号是12的因数的同学起立并报出自己的学号。
通过刚才的活动，你发现了什么？
为什么学号是1，2，3，6的同学会起立两次呢？
（二）探究新知
1. 探究公因数和最大公因数的特点。
（1）8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
师：找出8的因数。 师：找出12的因数。
生1：我先找到8的因数和12的因数有哪些，再找这两个数公有的因数，最后看公有的最大因数是多少。
生2：8=1×8=2×4 12=1×12=2×6=3×4
8和12的公有的因数是1，2，4。公有的最大因数是4
生2：也可以这样表示：（课件第4张）
( http: / / www.21cnjy.com )
8和12公有的最大因数是4。
【设计意图】
通过学生自己利用以前学过的因数的知识，找出这两个数的公有的因数和公有的最大因数，培养学生迁移类推的能力
2.总结公因数和最大公因数的意义。
（1）什么是公因数？什么是最大公因数？ ( http: / / www.21cnjy.com )
生1： 1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
生2：几个数公有的因数，叫做它们的 ( http: / / www.21cnjy.com )公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。 3.探究最大公因数的求法。
（1） 小组合作：怎样求18和27的最大公因数？
先独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数
小组讨论，思考能用多少种方法算出最大公因数
（2）汇报交流：
你是怎样想的？
生1：我先找出18的因数有：1,2,3, ( http: / / www.21cnjy.com )6,9,18；再找出27的因数有：1,3,9,27。18和27的公因数有1,3,9，其中最大的一个是9，所以18和27的最大公因数是9。
生2：我看18的因数中哪些是27的因数，发现18的因数中1,3,9也是27的因数。18和27的最大公因数是9.
你还有其他方法吗？
生3: 利用分解质因数法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。
18=2×3×3 36=3×3×3
18和27的最大公因数：3×3=9
生4：为了简便，可以把分解质因数法写成短除法的形式。
18和27的最大公因数：3×3=9
生：先用18和27公有的质因数3去除 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到商是6和9，再用6和9公有的质因数3去除，得到商是2和3，只有公因数1，除到这一步为止。所有的除数的积就是这两个数的最大公因数。
师：练一练：找出16和24的最大公因数。
16的因数： 24的因数：
16=1×16 24=1×24 24=2×12
16=2×8 24=3×8 24=4×6
16=4×4
生：16的因数有：1、2、4、8、16
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24
16和24的公因数：1、2、4、8
16和24的最大公因数：8
师：求两个数的最大公因数有哪些特殊情况？
生：（1）当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
（2）当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。
【设计意图】
通过学生自己思考，讨论，找出求两个数的最大公因数的方法，培养学生的思维能力。
4.做一做
把6和24的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。
( http: / / www.21cnjy.com )
5.做一做
师：学号是12的因数而不是18的因数的同学站左边，是18的因数而不是12的因数的站右边，是12和18公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12 18
4 12 1 2 3 6 9 18
6、做一做。
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
4和8 12和36 2和7 8和9 14和15
生1：
4的因数：1,2,4
8的因数：1,2,4,8
4和8的公因数：1,2,4
4和8的最大公因数：4
4是8的因数，4的所有因数都是8的因数。4是4和8的最大公因数。
生2：
12的因数：1,2,3,4,6,12
36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
12和36的公因数：1,2,3,4,6,12；最大公因数：12
12是36的因数，12的所有因数都是36的因数。12是12和36的最大公因数
如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
生3：
2的因数：1， 2
7的因数：1，7
2和7的公因数：1
2和7的最大公因数：1
如果两个数都是质数，那么这两个数的最大公因数就是1。
生4：
8的因数：1， 2，4，8
9的因数：1，3，9
8和9的公因数：1
8和9的最大公因数：1
8和9是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
生5：
14的因数：1， 2，7，14
15的因数：1，3，5，15
14和15的公因数：1
14和15的最大公因数：1
14和15是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
相邻的两个自然数（0除外）的最大公因数是1.
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1。
6、说一说：怎样求两个数的最大公因数？
生1：列举法：先找出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数。
生2：倍数关系：如果两个数是倍数关系，较小数就是这两个数的最大公因数。
生3：质数或相邻关系：如果两个数相邻或都是质数，这两个数的最大公因数就是1。
7、用最大公因数的知识解决问题。
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
（1）
生1：要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。
生2：只要找出16和12的公因数，就可以知道选择边长是几分米的地砖了。
生3：16和12的最大公因数是几，边长最大就是几分米。
生4：16和12的公因数有1，2，4，其中最大公因数是4。
师：用图表示16和12的公因数：
生5：可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
（2）
边长为1dm、2dm、4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
可以在长方形纸上画一画来验证。
通过画图可以看出，可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
6.小结：最大公因数：
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3.找最大公因数的方法：列举法、分解质因数法、质数或相邻关系
【设计意图】
对本节课内容加以总结，可以使学生能更好得掌握所学知识点。
（三）课堂练习
谈话：同学们，你们学得怎么样了？我们一起到智慧乐园挑战一下自己吧！有没有信心呢？
1.填一填
1.10和15的公因数有（ 1、5 ）
2.14和49公因数有（ 1、7 ）
3.12和20公因数有（ 1、2、4 ）
4.24和36公因数有（ 1、2、3、4、12 ）
5.25和40公因数有（ 1、5 ）
2.找出下面每组数的最大公因数。
6和9 15和12 42和54 30和45 5和9 34和17 16和48 15和16
6和9的最大公因数是3 5和9的最大公因数是1
15和12的最大公因数是3 34和17的最大公因数是17
42和54的最大公因数是6 16和18的最大公因数是16
30和45的最大公因数是15 15和16的最大公因数是1
3.选一选
1.9和16的最大公因数是（ A ）
A.1 B.3 C.4 D.9
2.16和48的最大公因数是（ D ）
A.4 B.6 C.8 D.16
3.甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（ C ）
A.1 B.甲数 C.乙数 D.甲、乙两数的积
4.算一算
学校植树。每行栽12棵、16棵两种栽法，都刚好排成整行而剩余，至少有多少棵树？
12的因数有：1 2 3 4 12
16的因数有：1 2 4 8 16
12和16的公因数有：1 2 4
12和16的最大公因数是4
答：至少有4棵树。
有两根铁丝，长度分别为18厘米和30厘米，现要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长是多少厘米？
18的因数有：1 2 3 6 9 18
30的因数有：1 2 3 5 6 10 15 30
18和30的公因数有：1 2 3 6
18和30的最大公因数是6
答：每段最长是6厘米。
【设计意图】
这里设计了两道练习题，第一道题是对求最 ( http: / / www.21cnjy.com )大公因数的方法的巩固练习，使学生更熟练得掌握求最大公因数的方法，并能正确地求两个数的最大公因数；第二道题是找分子和分母的最大公因数，为下节课要学习的约分做准备
（四）课堂总结
师：通过学习，你有什么收获？
生交流：
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3.找最大公因数的方法：列举法、分解质因数法、质数或相邻关系
（五）板书设计
最大公因数
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，
其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.找最大公因数的方法：
（1）列举法。
（2）倍数关系。
（3）质数或相邻关系。
【教学反思】
教材共提供了三种不同的方式求 ( http: / / www.21cnjy.com )两个数的最大公因数，方法一：分别写出两个数的因数，再找最大公因数；方法二：先找出一个数的所有因数，再看哪些因数是另一个数的因数，最后从中找出最大的；方法三：用分解质因数的方法找两个数的最大公因数。我还给学生补充了用短除法求最大公因数。这么多方法，教师应该向学生重点推荐哪种呢？教材中补充拓展的分解质因数方法学生是否都应掌握呢？短除法是否都应掌握呢？方法一与方法二相比，由于第一种方法便于观察比较，十分直观。因此，在课堂教学中许多学生暗暗地就选择了它。方法二与方法三相比，在数据偏大且因数较多时，如果用分解质因数的方法来求最大公因数不仅正确率高，而且速度也会大幅提高。但是用分解质因数的方法来求最大公因数对一些学生来说又有相当的难度，至于为什么要把两个数全部公有的质因数相乘，一些学生还不太明白。在教学中，我认为教师不能仅仅只是介绍，还有必要让学生们掌握这种方法技能。用短除法求最大公因数我感觉比较简单，学生好接受，好理解。学生可以选择自己喜欢的方法来求两个数的最大公因数。
学会了求两个数的最大公因数，教材又安排 ( http: / / www.21cnjy.com )了直观的操作活动，主题图中出现的是一幅铺地砖的画面，从而去创设给贮藏室地面铺地砖的情境。这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。为了充分体现新教材的编排意图，借助操作活动，让学生经历数学概念的形成过程。在回顾与反思环节中，利用多媒体展示3次铺砖的过程，进一步巩固了学生头脑中形成的概念。
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最大公因数
人教版 五年级下册
同学们，我们来玩个游戏吧！请听清楚我的指令哦！
1.请学号是6的因数的同学起立并报出自己的学号。
2.请学号是12的因数的同学起立并报出自己的学号。
通过刚才的活动，你发现了什么？
为什么学号是1，2，3，6的同学会起立两次呢？
新知导入
8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
8和12的公有的因数是1，2，4。公有的最大因数是4。
12的因数
8的因数
1，2，4，8
1，2，4，
6，12
找出8的因数。
找出12的因数。
8=1×8=2×4
12=1×12=2×6=3×4
新知讲解
8和12的公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
也可以这样表示。
12的因数
8的因数
1，2，
8
6，12
4
8和12公有的因数
8和12公有的最大因数是4。
新知讲解
什么是公因数？什么是最大公因数？
1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。
新知讲解
小组合作（3分钟）
怎样求18和27的最大公因数？
（1）先独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数
（2）小组讨论，思考能用多少种方法算出最大公因数
新知讲解
怎样求18和27的最大公因数？
18的因数：1，2，3，6，9，18
你是怎样想的？
27的因数：1，3，9，27
它们的公因数1,3,9中，9最大。
18和27的最大公因数是9。
方法1：
排列法
新知讲解
怎样求18和27的最大公因数？
18的因数：1，2，3，6，9，18
你是怎样想的？
27的因数：1，3，9，27
我看18的因数中哪些是27的因数。
18和27的最大公因数是9。
你还有其他方法吗？
方法2：
筛选法
新知讲解
用分解质因的方法，找两个数的最大公因数。
18=2×3×3
27=3×3×3
18和27的最大公因数：3×3=9
怎样求18和27的最大公因数？
方法3：
新知讲解
18 27
2 3
3
6 9
3
18和27的最大公因数：3×3=9
…
用公有的质因数3除
…
用公有的质因数3除
…
除到两个商只有公因数1为止
…
所有除数的积就是这两个数的最大公因数。
为了简便分解质因的方法，通常用短除法。
怎样求18和27的最大公因数？
方法4：
新知讲解
16的因数：
练一练：找出16和24的最大公因数。
24=4×6
16=2×8
16=4×4
24的因数：
24=1×24
24=2×12
24=3×8
16=1×16
16的因数有：1、2、4、8、16
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24
16和24的公因数：1、2、4、8
16和24的最大公因数：8
新知讲解
（1）当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
求两个数的最大公因数有哪些特殊情况？
（2）当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。
新知讲解
做一做
把6和24的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。
24的因数
6的因数
24的因数
6的因数
6和24的公因数
1，
2
3，
6
4，
8
24
1，2，
3，6
1,2,3,4,
6,8,24
新知讲解
做一做
学号是12的因数而不是18的因数的同学站左边，是18的因数而不是12的因数的站右边，是12和18公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12 18
4 12 1 2 3 6 9 18
新知讲解
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
8的因数：1,2,4,8
4的因数：1,2,4
4是8的因数，4的所有因数都是8的因数。4是4和8的最大公因数。
4和8的公因数：1,2,4
4和8的最大公因数：4
做一做
新知讲解
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
12的因数：1,2,3,4,6,12
12是36的因数，12的所有因数都是36的因数。12是12和36的最大公因数。
如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
12和36的公因数：1,2,3,4,6,12；最大公因数：12
做一做
新知讲解
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
7的因数：1,7
2的因数：1,2
2和7都是质数，它们的公因数只有1。1是2和7的最大公因数。
如果两个数都是质数，那么这两个数的最大公因数就是1。
2和7的公因数：1
2和7的最大公因数：1
做一做
新知讲解
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
9的因数：1,3,9
8的因数：1,2,4,8
8和9是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
8和9的公因数：1
8和9的最大公因数：1
做一做
新知讲解
找出下列每组数的最大公因数，做完后仔细观察，说说你发现了什么？
12和36
4和8
8和9
2和7
14和15
15的因数：1,3,5,15
14的因数：1,2,7,14
14和15是相邻的两个自然数，这两个数的最大公因数是1。
14和15的公因数：1
14和15的最大公因数：1
相邻的两个自然数（0除外）的最大公因数是1。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1。
做一做
新知讲解
怎样找两个数的最大公因数？
列举法：先找出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数。
倍数关系：如果两个数是倍数关系，较小数就是这两个数的最大公因数。
质数或相邻关系：如果两个数相邻或都是质数，这两个数的最大公因数就是1。
新知讲解
小组合作（3分钟）
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
新知讲解
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。
只要找出16和12的公因数，就可以知道选择边长是几分米的地砖了。
16和12的最大公因数是几，边长最大就是几分米。
新知讲解
可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
用图表示16和12的公因数：
16的因数
12的因数
1、2、4、8、16
1、2、3、4、6、12
8、16
3、6、
12
1 2 4
16和12的公因数
新知讲解
可以在长方形纸上画一画来验证。
边长为1dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长1dm
新知讲解
边长为2dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长2dm
新知讲解
边长为4dm的正方形地砖在储藏室的长、宽上都是整数块吗？
16dm
12dm
边长4dm
可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，边长最大是4dm。
新知讲解
我们可以知道：
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3.找最大公因数的方法：列举法、分解质因数法、质数或相邻关系
新知讲解
填一填
1.10和15的公因数有（ ）
2.14和49公因数有（ ）
3.12和20公因数有（ ）
4.24和36公因数有（ ）
5.25和40公因数有（ ）
1 5
1 7
1 2 4
1 2 3 4 12
1 5
课堂练习
找出下面每组数的最大公因数。
6和9
15和12
42和54
30和45
5和9
34和17
16和48
15和16
6和9的最大公因数是3
15和12的最大公因数是3
42和54的最大公因数是6
30和45的最大公因数是15
5和9的最大公因数是1
34和17的最大公因数是17
16和18的最大公因数是16
15和16的最大公因数是1
课堂练习
选一选
1.9和16的最大公因数是（ ）
A.1 B.3 C.4 D.9
2.16和48的最大公因数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.16
3.甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（ ）
A.1 B.甲数 C.乙数 D.甲、乙两数的积
A
D
C
课堂练习
学校植树,每行栽12棵、16棵两种栽法，都刚好排成整行而剩余，至少有多少棵树？
算一算
12的因数有：1 2 3 4 12
16的因数有：1 2 4 8 16
答：至少有4棵树。
12和16的最大公因数是4
12和16的公因数有：1 2 4
课堂练习
有两根铁丝，长度分别为18厘米和30厘米，现要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长是多少厘米？
算一算
18的因数有：1 2 3 6 9 18
30的因数有：1 2 3 5 6 10 15 30
18和30的公因数有：1 2 3 6
18和30的最大公因数是6
答：每段最长是6厘米。
课堂练习
通过学习，你有什么收获？
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
2.所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3.找最大公因数的方法：列举法、分解质因数法、质数或相邻关系
课堂总结
完成教材63页1、2、4、5题。
作业布置
最大公因数
2.找最大公因数的方法：
（1）列举法。
（2）分解质因数法。
（3）质数或相邻关系。
1.两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
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谢谢
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