江苏省苏州市常熟市2018-2019学年高二（下）开学数学试卷（2月份）（解析版）

江苏省苏州市常熟市2018-2019学年高二（下）开学数学试卷（2月份）
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x∈[0，+∞），x2≥0”的否定是______．
抛物线x2=4y的准线方程为______．
若f（x）=5sinx-．则f′（）=______．
已知直线l过两直线x+2y+4=0和2x-3y+8=0的交点，且过点（0，1），则直线l的方程为______．
圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x-3）2+（y+4）2=16的位置关系是______．
“x＞1”是“|x-2|＜1”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”）
曲线y=lnx上的点到直线x-y+3=0的最短距离是______．
已知P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则球O的表面积是______．
已知平面α，β和直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m⊥n，m?α，α∩β=n，则m⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
其中为真命题的有______（填序号）
已知a＞0，b＞0，若f（x）=4x3-alnx-2bx在x=1处有极小值，则ab的最大值为______．
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是棱BC，A1C1的中点．设三棱锥E-ABD的体积为V1，斜三棱柱的体积为V2，则的值是______．






已知椭圆C：=1上有两个动点P，Q，E（2，0），若EP⊥EQ，则的最小值为______．
已知双曲线C1：=1与圆C2：x2+y2=b2（其中a＞0，b＞0），若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是______．
已知函数f（x）=存在三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB∥CD，CD=2AB，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥平面PAD；
（2）若PB=BC且平面PBC⊥平面PDC，证明：PA=AD．








已知焦点在x轴上的抛物线和双曲线有共同的焦点，且抛物线和双曲线的渐近线交于点P（4，8）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求双曲线的标准方程．







已知直线l1：3x+4y-5=0，圆O：x2+y2=4．
（1）求直线l1被圆O所截得的弦长；
（2）如果过点（-1，2）的直线l2与l1垂直，l2与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2：1，求圆M的方程．







如图，某城市公园有一湖泊，AB是一段笔直的湖岸，长为1000m．为便于市民休闲观光，市政府决定在湖面上修建一条观光栈道，设计方案如下：以AB的中点O为圆心、100m为半径作一个半圆交AB于C，D两点，过BD上一点N作直线MN与半圆O相切于点M，要求O，N之间的距离不小于200m，观光栈道沿线段MN和圆弧建造．已知线段MN部分的造价为每米0.1万元，圆弧部分的造价为每米0.2万元，记∠BOM=xrad，建造长廊的总费用为W万元．
（1）试将W表示为x的函数；
（2）如何选取点N的位置，能使W最小？








已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l：x=-3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P为直线l与x轴的交点，D为椭圆C上位于x轴上方的动点，点D关于x轴的对称点为E，求的最小值；
（3）若P（-3，3）时线段MN是椭圆C上斜率为的弦，在椭圆C上是否存在点G，使得四边形PMGN为平行四边形？若存在，求出弦MN所在的直线方程，若不存在，请说明理由．







已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a＞0时，对任意x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜成立，求a的取值范围．








答案和解析
1.【答案】?x∈[0，+∞），x2＜0
【解析】
解：命题是全称命题，则否定是特称命题，
即?x∈[0，+∞），x2＜0，
故答案为：?x∈[0，+∞），x2＜0
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
2.【答案】y=-1
【解析】
解：∵抛物线方程为x2=4y，
∴其准线方程为：y=-1．
故答案为：y=-1．
由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-即可求得抛物线x2=4y的准线方程．
本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．
3.【答案】2
【解析】
解：函数的导数f′（x）=5cosx-，
则f′（）=5cos-==2，
故答案为：2．
求函数的导数，利用代入法进行求解即可．
本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．
4.【答案】x-4y+4=0
【解析】
解：直线l过两直线x+2y+4=0和2x-3y+8=0的交点，且过点（0，1），
联立，得x=-4，y=0，
∴直线l过点（-4，0），（0，1），
∴直线l的方程为=，即x-4y+4=0．
故答案为：x-4y+4=0．
求出两直线x+2y+4=0和2x-3y+8=0的交点，则直线l过点（28，16），（0，1），由此能求出直线l的方程．
本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、两直线交点坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】相交
【解析】
解：圆C1：x2+y2=4的圆心C1（0，0），半径r1=2，
圆C2：（x-3）2+（y+4）2=16，圆心C2：（3，-4），半径r2=4，
两圆心之间的距离，满足4-2＜5＜4+2，
∴两圆相交．
故答案为：相交．
根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆心距离和半径之间的关系是解决圆与圆位置关系的主要依据，是基础题．
6.【答案】必要不充分
【解析】
解：由|x-2|＜1得-1＜x-2＜1得1＜x＜3，
则“x＞1”是“|x-2|＜1”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
求出不等式的等价条件，结合不等式的关系利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
7.【答案】2
【解析】
解：根据题意得，y′=，
令=1得x=1，
∴切点为（1，0），
∴由点到直线的距离为d==2，
故答案为：2．
利用导数求切线的斜率即可．
本题考查导数求切线的斜率即可．
8.【答案】14π
【解析】
解：PA，PB，PC两两垂直，把四面体PABC补形为长方体，
则四面体PABC的外接球即为长方体的外接球，
由PA=1，PB=2，PC=3，得球O得半径R为长方体对角线长的一半，
即．
∴球O的表面积是S=．
故答案为：14π．
由PA，PB，PC两两垂直，把四面体PABC补形为长方体，求出长方体对角线长，可得四面体外接球的半径，代入表面积公式求解．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查“分割补形法”，是基础题．
9.【答案】③
【解析】
解：由平面α，β和直线m，n，知：
在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥n，m?α，α∩β=n，则m与β不一定垂直，故②错误；
在③中，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；
在④中，若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．
故答案为：③．
在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，m与β不一定垂直；在③中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在④中，m与n相交、平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
10.【答案】18
【解析】
解：函数的导数f′（x）=12x2--2b，
若f（x）=4x3-alnx-2bx在x=1处有极小值，
则f′（1）=0，即f′（1）=12-a-2b=0，
即a+2b=12，
∵a＞0，b＞0，
∴12=a+2b≥2，
即≤6，则2ab≤36，即ab≤18，当且仅当a=2b=12，即a=12，b=6时，取等号，
即ab的最大值为18，
故答案为：18．
求函数的导数，利用极值和导数之间的关系，得到f′（1）=0，建立a，b的关系，利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用f′（1）=0，建立a，b的关系，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】
解：设三棱柱ABC-A1B1C1的底面设计出ABC的面积为S，高为h，
则三棱柱的体积为V2=Sh．
∵D是棱BC的中点，E是棱A1C1上的点，
∴，则V1=VE-ABD=，
∴的值是．
故答案为：．
设三棱柱ABC-A1B1C1的底面设计出ABC的面积为S，高为h，由已知分别求出V1，V2的值，作比得答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，是基础题．
12.【答案】1
【解析】
解：设P（x，y），则y2=，
∵EP⊥EQ，
∴=?cos∠EPQ=EP2=（x-2）2+y2=（x-2）2+=，
∵-3≤x≤3，
∴当x=3时，EP2取得最小值1．
∴的最小值为1．
故答案为：1．
设P（x，y），可得y2=，根据EP⊥EQ，利用向量数量积运算性质可得=?cos∠EPQ=EP2，利用二次函数的单调性即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】[）
【解析】
解：由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|=b；
因为|OP|=b≥a，所以≥，
所以e===≥=；
所以双曲线离心率e的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
由e=以及圆的性质知四边形PAOB是正方形，得出|OP|=b≥a，由此求出双曲线离心率e的取值范围．
本题考查了圆与双曲线的简单几何性质应用问题，解题时要注意数形结合的合理应用，是基础题．
14.【答案】-16≤a＜-11
【解析】
解：当x＞0时，由f（x）==0得lnx=0，即x=1，此时函数f（x）在x＞0时，只有一个零点，
若f（x）存在三个不同的零点，
则等价为当x≤0时，f（x）有两个零点，
由f（x）=0得x2-2x-+a=0
得-a=x2-2x-，
设h（x）=x2-2x-，x≤0，
则h′（x）=2（x-1）+=，
当h′（x）＞0时，2（x-1）3+16＞0，即（x-1）3＞-8，
即x-1＞-2，即-1＜x≤0，此时h（x）为增函数，
当h′（x）＞0时得x＜-1，此时h（x）为减函数，
即当x=-1时，h（x）取得极小值h（-1）=1+2+8=11，
h（0）=16，
在要使y=-a与h（x）在x≤0时有两个不同的交点，
则11＜-a≤16，即-16≤a＜-11，
故答案为：-16≤a＜-11．
先求出当x＞0时的函数零点个数，转化为求当x≤0时，函数的零点个数，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法，根据条件构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和图象是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
15.【答案】解：（1）取PD的中点F，连接AF，MF，
则由已知得，
∴四边形ABMF时平行四边形．
∴AF∥BM，又BM?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）证明：由PB=BC，PM=MC，
∴BM⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PDC，∴BM⊥平面PDC，BM⊥PD，
∵AF∥BM，
∴AF⊥PD，又PF=FD，
∴PA=AD．
【解析】

（1）取PD的中点F，连接AF，MF，利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理可得四边形ABMF时平行四边形，AF∥BM，再利用线面平行的判定定理即可证明结论．
（2）又等腰三角形的性质可得BM⊥PC，利用面面垂直的性质定理可得BM⊥平面PDC，BM⊥PD，再利用AF∥BM，可得AF⊥PD，进而证明结论．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：（1）因为抛物线的焦点在x轴上，且过点（4，8），
所以设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
把点（4，8）代入抛物线方程得64=8p，
解得p=8；
所以抛物线的标准方程为y2=16x；
（2）因为双曲线的渐近线方程经过点（4，8），
所以双曲线渐近线方程为y=±2x，
设双曲线的标准方程为x2-=λ（λ≠0），
因为双曲线的焦点为（4，0），
所以λ＞0，且λ+4λ=16，解得λ=；
所以双曲线的标准方程为：-=1．
【解析】

（1）由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），把点（4，8）代入抛物线方程求得p的值即可；
（2）根据题意求得双曲线的渐近线方程，设出双曲线的标准方程，把焦点坐标代入即可求出双曲线的标准方程．
本题考查了抛物线与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：（1）由题意得：圆心到直线l1：3x+4y-5=0的距离，
由垂径定理得弦长为
（2）直线
设圆心M为，圆心M到直线l2的距离为r，即圆的半径，
由题意可得，圆心M到直线l1：3x+4y-5=0的距离为1，圆半径为2，
故圆心M到直线l1的距离为，
所以有：=，
解得：，所以圆心为，，所以所求圆方程为：
或a=0，即圆方程为：x2+y2=4
【解析】

（1）先利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求得弦长．
（2）设出圆心M的坐标和半径，根据题意建立等式求得a，则圆心坐标可得，利用点到直线的距离求得半径，则圆的方程可得．
本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的运用．
18.【答案】解：（1）在Rt△OMN中，MN=OMtanx=100tanx，
ON==，
在扇形COM中，弧=100（π-x），
∵200≤≤500，解得≤cosx≤，
∴≤x≤α（其中＜α＜且cosα=），
∴建造长廊的总费用为W=f（x）=0.2×100（π-x）+0.1×100tanx
=20π-20x+10tanx，（≤x≤α）．
（2）W′=f′（x）=-20x+=-（cosx-）（cosx+），
令f′（x）=0，解得cosx=，
∵≤x≤α，＜α＜，
∴x=，
当x∈（，）时，f（x）单调递减，当x∈（，α）时，f（x）单调递增，
∴当x=时，总费用W最少为（15π+10）万元，此时ON=100m，
答：当O，N之间的距离为100m时，能使建造长廊的总费用W最小．
【解析】

（1）构建直角三角形，通过解直角三角形、勾股定理和弧长公式进行解答，即可求出W表示为x的函数的解析式
（2）将（1）的函数，利用导数即可求出求出最值．
本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出W关于x的函数，是解答本题的关键．
19.【答案】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，
∴2=2b，，结合a2=b2+c2，可得b=，c=，a=．
故椭圆C的标准方程为：．
（2）∵P为直线l与x轴的交点，∴P（-3，0）．
设P（x0，y0），E（x0，-y0）（y0＞0），则，．
=+6x0+9-y=，（-＜x0）．
∴当x0=-2时，的最小值为0；
（3）设弦MN所在直线方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立?9x2+8mx+16m2-48=0．
由△=（8m）2-4×9（16m2-48）＞0?＜m＜．
弦MN的中点坐标为（），即（-，）．
由四边形四边形PMGN为平行四边形，可得G（）．
∵点G在椭圆上，∴．
化简得64m2-240m+189=0，解得m=或（舍）．
∴弦MN所在的直线方程为y=．
【解析】

（1）利用已知条件，求出a，b，c，即可得到椭圆C的方程．
（2）设P（x0，y0），E（x0，-y0）（y0＞0），则，．
=+6x0+9-y=，（-＜x0）．即可得的最小值；
?（3）设弦MN所在直线方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
，利用由韦达定理求出弦MN的中点坐标（-，）．可得G（），由G在椭圆C上，求得m即可．
本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=x|x2-2|=，
故f（1）=1，f′（1）=-1，
f（x）在x=1处的切线方程是：x+y-2=0；
（2）当x∈（-∞，-）∪（，+∞）时，f（x）=x（x2-a）=x3-ax，
f′（x）=3x2-a≥2a＞0，
故f（x）在（-∞，-）和（，+∞）递增，
当x∈（-，）时，f（x）=x（a-x2）=ax-x3，
f′（x）=-3（x+）（x-），
故f（x）在（-，）递增，在（-，-），（，）递减，
综上f（x）在（-∞，-）和（-，）和（，+∞）递增，
在（-，-）和（，）递减；
（3）当x∈[0，1]，即[f（x）]max-[f（x）]min＜，
由（2）知f（x）在（0，）和（，+∞）递增，在（，）递减，
当x∈（，+∞）时，令f（x）=f（），得[a-]=x（x2-a），
即x3+=a（x+），
故x2-x+=a，解得：x=，
①当≥1即a≥3时，[f（x）]min=f（0）=0，[f（x）]max=f（1）=a-1，
故a-1＜即a＜+1，舍，
②当＜1＜即＜a＜3时，[f（x）]min=0，[f（x）]max=f（）=，
故＜，解得：a＜，
故＜a＜，
③当≤1即0＜a≤时，[f（x）]min=0，[f（x）]max=f（1）=1-a，
故1-a＜即a＞1-，
故1-＜a≤，
综上，a的范围是（1-，）
【解析】

（1）代入a的值，求出f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为[f（x）]max-[f（x）]min＜，通过讨论a的范围，求出函数的最值，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

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