【备考2019中考数学学案】第七单元 图形与变换专项训练

第七单元 图形与变换
专 项 训 练
类型一 坐标系中的平移、轴对称与旋转
1.（2018·宜昌）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A、B、C的坐标分别为（-5，2），（-2，-2），（5，-2），则点D的坐标为（ ）
A.（2，2） B.（2，-2） C.（2，5） D.（-2，5）
2.（2016·菏泽）如图，点A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.（2018·陕西）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A.（-2，0） B.（2，0） C.（-6，0） D.（6，0）
4.（2018·达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（-6，0），C（0，2）。将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为___________。
5.（2016·天水）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB翻折，点A落在点A'位置.若OB＝，tan∠BOC＝，则点A'的坐标为_____________。
6.（2018·随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B'的坐标为____________。
7.（2017·南宁）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）.
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）已知点A与点A2（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式.
8.（2016?聊城）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）。
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90o得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标。
类型二 最短距离问题
9.（2018?宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有:AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题:如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）
A. B. C.34 D.10
10.（2018·泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A.3 B.2 C. D.
11.（2018·桓台一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE的中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是________。
12.（2018·十堰）如图，Rt△ABC中，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为_____________。
13.（2018·荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.
（1）求证:△ADE≌△CDB；
（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，
并求出这个最小值
类型三 尺规作图
14.（2017·贵港）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）:
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）
（1）在OA边上作点P，使OP＝2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线。
15.（2018·常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为点D，AB与EK相交于点F，连接CF.求证:∠AFE＝∠CFD；
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点.
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得人∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）。
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
16.（2017·无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）:
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上。
参考答案及解析
类型一 坐标系中的平移、轴对称与旋转
1.A 2.A 3.B
4.（，6） 解析：如图，∵矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，2）。
∴OA=6，AB=OC=2.∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，
在Rt△DOC1中，∵∠DOC1＝30°，OC1＝2，∴OD＝4，DC1＝2.
∵B1C1＝6，∴B1D＝4，在Rt△DEB1中，
∵∠DB1E＝30°，∴DE＝2，B1E＝2.∴B1（-2，6）。
5.
6.（，） 解析:如图，延长BA与y轴相交于点D，连接OB，OB'，过点B作B′E⊥y轴，垂足为点E.根据“∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′”，可得∠AOD＝∠OBD＝30°，∠B'OE＝45°，OB＝OB'.
于是，在Rt△OAD中，OD＝OA·cos∠AOD＝2×＝，
所以OB′＝OB＝2OD＝2.因为∠B'OE＝45°，B'E⊥OE，
所以OE＝B'E＝OB'＝×2＝，故点B的坐标为（，）。
7.解:（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（-2，-1）.
（2）直线l和△A2B2C2如图所示，直线l的解析式为:y＝-x。
8.解:（1）△A1B1C1如图所示。点A1的坐标为（2，2），点B1的坐标为（3，-2）
（2）A2（3，-5），B2（2，-1），C2（1，-3），
（3）△A3B3C3如图所示，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）
类型二 最短距离问题
9.D 解析:取GF的中点M，半圆圆心为O，连接MP，则根据题意，可得PF2＋PG2＝2PM2＋2GM2＝2PM2＋8，当O、P、M三点共线时，PM的值最小，此时PM＝3-2＝1，∴PF2＋PG2=2×12＋8＝10。
10.D 解析:如图，PA是⊙O的切线，∴，即当OP最小时，PA有最小值.根据“垂线段最短”可知，当OP⊥BC时，PA最小，对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝2，∴B（0，2），OB＝2；当y＝0时，x＝ - 2，∴C（-2，0），OC＝2.
在Rt△OBC中，根据勾股定理，得BC＝，
∴,∴PA＝＝，即PA的最小值为.
11.4
12. 解析:作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD＋DE的值最小，就是A'E的长；如图所示:
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，
S△ABC＝AB·AC＝BC·AF，∴3×6＝9AF，解得AF＝2，
∴AA′＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，
∴∠A′＝∠C，∵∠AEA′＝∠BAC＝90°，∴△AE'A∽△BAC，
∴,即，∴A'E＝，即AD＋DE的最小值是.
13.（1）证明:在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，∠ABC＝60°。
∴BC＝EA，∵△DEB是等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°。
∴∠DEA＝∠DBC＝120°，∴△ADE≌△CDB.
（2）解:作点B关于AC的对称点B′，连接EB'交AC于点H，则点H即为所求.
连接CE，∵△CBE是等边三角形.∴CE＝CB＝CB'.∴∠BEB＝90°.
∵BE＝BC＝，BB′＝2BC＝2.
∴BH＋EH的最小值EB′＝＝3.
类型三 尺规作图
14.解:（1）点P为所作；（2）OC为所作；（3）MD为所作。
15.（1）证明:∵EK垂直平分BC，点F在EK上，∴FC＝FB，且∠CFD＝∠BFD.
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠CFD。
（2）解:①如图所示；
②点Q是GN的中点.∵∠G＝60°，∠M＝90°，∴∠GNM＝30°。
由①作图可知，PN＝HN，∠HNG＝∠GNP＝30°，
可得△HPN为等边三角形.又∵P为MN的中点，
∴HP＝PN＝PM，∴∠QMN＝30°＝∠QNM，∴MQ＝QN.
又可得∠GMQ＝60°，则△GMQ为等边三角形，因而MQ＝GQ.
∴GQ＝QN，即Q为GN的中点.
16.解:（1）如图1，点O为△ABC的外心；
（2）如图2，正六边形 DEFGHI，即为所求。