第三章 带电粒子在有界磁场中的运动 突破训练 Word版含答案

带电粒子在有界磁场中的运动
1.(2019·成都高三质检)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度v正对着圆心O射入磁场。若粒子射入、射出磁场点间的距离为R，则粒子在磁场中的运动时间为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示，由几何关系知，轨迹半径r＝R，运动轨迹对应的圆心角为π，故粒子在磁场中的运动时间t＝＝，故A正确，B、C、D错误。
2．(2019·马鞍山模拟)如图所示，abcd为一正方形边界的匀强磁场区域，磁场边界边长为L，磁场方向垂直边界平面向里。三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入，粒子1从b点射出，粒子2从c点射出，粒子3从cd边垂直于磁场边界射出，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。根据以上信息，可以确定(　　)
A．粒子1带负电，粒子2不带电，粒子3带正电
B．粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C．粒子1和粒子3在磁场中运动时间之比为4∶1
D．粒子3的射出位置与d点相距
解析：选B　根据左手定则可知，粒子1带正电，粒子2不带电，粒子3带负电，选项A错误；由几何关系知，粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周，半径r1＝Lsin 45°＝L，在磁场中运动时间t1＝T＝×＝，粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周，半径r3＝＝L，在磁场中运动时间t3＝T＝×＝，则t1＝t3，选项C错误；由r1∶r3＝1∶2及r＝可知粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1，选项B正确；粒子3的射出位置与d点相距(－1)L，选项D错误。
3．(2019·南昌模拟)如图所示，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是(　　)
A．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点
B．粒子在磁场中运动所经历的时间一定为
C．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
解析：选C　带正电的粒子从P点沿与x轴正方向成30°角的方向射入磁场中，则圆心在过P点与速度方向垂直的直线上，如图所示，粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点，选项A错误；由于P点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是轨迹圆弧与y轴相切时即300°，运动时间为T，而最小的圆心角是P点在坐标原点时即120°，运动时间为T，而T＝，故粒子在磁场中运动所经历的时间最长为，最短为，选项C正确，B、D错误。
4．如图甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为(　　)
A．2cos θ B．sin θ
C．cos θ D．tan θ
解析：选C　由题意作出粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图1和2所示，由洛伦兹力提供向心力知Bqv＝m，得B＝，设磁场Ⅰ宽度为d，由几何关系知d＝r1sin θ，d＝r2tan θ，联立得＝cos θ，C正确。
5.如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，a、b、c、d是圆上对称的四个点。一带电粒子从P点射入磁场，OP连线与Od的夹角为30°，带电粒子的速度大小为v，方向与ab成直角时，恰好能反向飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t。若只将cbd半圆内磁场方向变成垂直纸面向里，粒子仍从P点射入，设粒子在磁场中的偏转半径为r′，在磁场中运动的时间为t′，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子的偏转半径r′＝R
B．粒子的偏转半径r′＝R
C．粒子的运动时间t′＝2t
D．粒子的运动时间t′>2t
解析：选B　带电粒子的速度大小为v，方向与ab成直角时，恰好能反向飞出磁场，则粒子运动轨迹如图甲所示。由图甲可知，粒子的偏转半径r＝Rsin 30°＝R，在磁场中运动的时间t＝(T为粒子的运动周期)；若只将cbd半圆内磁场方向变成垂直纸面向里，粒子在磁场中的偏转半径r′＝r＝，故A项错误，B项正确；若只将cbd半圆内磁场方向变成垂直纸面向里，粒子仍从P点射入，则粒子运动轨迹如图乙。由图乙知粒子在磁场中运动的时间t′　　
6.(多选)如图所示，竖直平行边界MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界PQ)，磁感应强度为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放比荷为的带负电粒子，速度大小相等、方向均垂直于磁场。粒子间的相互作用及重力不计，设粒子入射方向与射线OM夹角为θ，当粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直于PQ射出，则(　　)
A．从PQ垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为
B．沿θ＝90°射入的粒子，在磁场中运动的时间最长
C．粒子的速率为
D．PQ上有粒子射出的范围长度为2a
解析：选AD　带电粒子在磁场中做圆周运动，有qvB＝m，所以v＝，粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直于PQ射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，所以有Rsin 30°＝a，解得R＝2a，故v＝，C错误；t＝·＝，A正确；θ＝0时，粒子离开磁场的位置在PQ上O′点上方a处，如图乙所示；当θ增大时，粒子在PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切时θ＝120°，切点在O′下方a处，如图丙所示，所以，PQ上有粒子射出的范围长度为2a，D正确；粒子在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，所以，沿θ＝120°射入的粒子，在磁场中运动的时间最长，B错误。
7.(多选)(2019·沈阳联考)如图所示，在正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子a、b从同一边的中点垂直磁场方向进入磁场，a粒子从正方形的顶点射出磁场，b粒子从正方形另一边的中点射出磁场，运动轨迹如图中圆弧所示，则(　　)
A．a带负电，b带正电
B．a带正电，b带负电
C．a、b进入磁场时的速率之比为1∶2
D．a、b在磁场中运动的时间之比为1∶1
解析：选BC　根据题图，由左手定则可知，正粒子的偏转方向向上，负粒子的偏转方向向下，所以a带正电，b带负电，A错误，B正确；由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，有r＝＝··v，比荷相同的两个粒子运动的半径与速率成正比，由题图可知，＝，则＝＝，C正确；由T＝＝·知，比荷相同的两个粒子在磁场中的运动周期相等，由t＝·T知，＝＝＝，D错误。
8.(多选)如图所示，在xOy平面内的y轴和虚线之间除圆形区域外的空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。虚线经过Q(3L,0)点且与y轴平行，圆形区域的圆心P的坐标为(2L,0)，半径为L。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上某点垂直y轴进入磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
B．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
C．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
D．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
解析：选AC　若粒子没经过圆形区域到达了Q点，则轨迹如图甲所示，和圆形区域相切于Q点，则r＝3L，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝，得v＝，选项A正确，B错误；粒子第一次从P点经过了x轴，如图乙所示。
设粒子在磁场中运动转过的圆心角为θ，由几何关系得rsin θ＋Lcos θ＝2L，得r＝L＝L＝L＝L＝L≥ L，由Bqv＝得vmin＝，选项C正确，D错误。
9．如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ＝30°。MC边长为a，MN边长为8a，不计粒子重力。求：
(1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少；
(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少。
解析：(1)设该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，粒子第一次到达MN边时，对应偏转角为－θ＝60°，则由几何关系得rcos 60°＝r－，
解得r＝a，
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，
解得最大速度为vm＝。
(2)由几何关系知，粒子每经过PQ一次，沿PQ方向前进的位移为轨迹半径R的倍，
设粒子进入磁场后第n次经过PQ时恰好到达Q点，
有n×R＝8a且R≈4.62，n所能取的最小自然数为5，
粒子做圆周运动的周期为T＝，
粒子每经过PQ一次用去的时间为t＝T＝T＝，
粒子到达Q点的最短时间为tmin＝5t＝。
答案：(1)　(2)
10.如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆形区域最高点P有一速度为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场。已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。
(1)若粒子对准圆心O射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心O射入，且速率为v0，求它打到感光板上的速度垂直感光板的分量大小；
(3)若粒子以速度v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。
解析：(1)设粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由洛伦兹力提供向心力有Bqv0＝m
r＝R
粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图甲所示，则
t＝＝。
(2)由(1)知，当v＝v0时，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如图乙所示，
由几何关系可知∠PO2O＝∠OO2J＝30°，所以粒子离开磁场时偏转角为60°，粒子打到感光板上的速度垂直感光板的分量大小
v⊥＝vsin 60°＝v0。
(3)由(1)知，当粒子以速度v0射入时，粒子在磁场中的运动轨迹半径为R。设粒子射入方向与PO方向之间的夹角为θ，粒子从区域边界S点射出，粒子的运动轨迹如图丙所示。
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R，所以四边形POSO3为菱形
由图可知PO∥O3S，v0′⊥SO3，故v0′⊥PO
因此，粒子射出磁场时均沿水平方向，垂直打在感光板上，与入射的方向无关。
答案：(1)　(2)v0　(3)见解析
11.(2019·哈尔滨六中模拟)如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L。在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力。求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值。
解析：根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示，由图可得：L＝nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或
设粒子运动轨迹的半径为R，由几何关系可得：2R2＝x2
解得：R＝
又qvB＝m
解得：v＝(n＝1,2,3，…)
当n取奇数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
θ1＝n·＋n·＝2nπ
从P经A到Q的总时间为：
t1＝·＝(n＝1,3,5，…)
当n取偶数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
θ2＝n·＋n·＝nπ
从P经A到Q的总时间为：
t2＝·＝(n＝2,4,6，…)
综合上述两种情况，可得粒子从P经A到达Q所用时间的最小值为：
tmin＝。
答案：v＝(n＝1,2,3，…)