人教版高中数学必修三2.1.2系统抽样-学案

2.1.2　系统抽样
[提出问题]
在一次有奖明信片的100 000个有机会中奖的号码(编号00 000～99 999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位为37的号码为中奖号码．
问题1：上述抽样是简单随机抽样吗？
提示：不是．
问题2：上述抽样方法有什么特点？
提示：每隔100个号码有一个中奖．
[导入新知]
系统抽样的概念
要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
[化解疑难]
系统抽样的特点
(1)系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；
(2)系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.
　　[导入新知]

[化解疑难]
系统抽样需注意的问题
(1)如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的可能性是，若N不能被n整除，需要随机剔除m个个体，m＝N－n·[](这里[]表示不超过的最大整数)，此时每个个体入样的可能性仍是，而不是.
(2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号．
(3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样.

[例1]　(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(　　)
A．抽签法　　　　　　　 　B．随机数法
C．系统抽样法 D．以上都不对
(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
[解析]　(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．
(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40.
[答案]　(1)C　(2)40

[类题通法]
系统抽样的判断方法
判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体，(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，(3)最后看是否等距抽样．

[活学活用]
某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．放回抽样法
解析：选C　此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点.

[例2]　(1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．
[解析]　∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.
[答案]　39
(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．
①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．
②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．
[解]　①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；
第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；
第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．
②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；
第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；
第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；
第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．
[类题通法]
设计系统抽样应关注的几个问题
(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况；
(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体；
(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．
[活学活用]
某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252.
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．
(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.

[例3]　某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？
[解]　获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．
(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：
①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；
②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；
③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；
④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；
⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．
(2)确定其他人员人选：
第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；
第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；
第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．
(1)，(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．

[类题通法]
系统抽样与简单随机抽样的区别和联系
1．区别
(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本；
(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差；
(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．
2．联系
(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；
(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样；
(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．
[活学活用]
下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；
抽样间隔：＝40；
确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；
确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户
……
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．
(3)何处是用简单随机抽样？
解：(1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．
(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.

　　　　

[典例]　从2 009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 009人中剔除9人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 009人中，每个人入选的机会(　　)
A．都相等，且为　　　 　B．不全相等
C．均不相等 D．都相等，且为
[解析]　因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除9人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，
所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为.
[答案]　A
[易错防范]
1．本题若认为剔除9人后，入选的机会就不相等了，则易误选C.
2．本题易误认为入选的机会虽然相等，但是利用了剔除后的数据，误选D.
3．在系统抽样过程中，为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，要从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法)．但是每一个个体入样的机会仍然是相等的，不会发生变化．
[成功破障]
从样本容量为73的总体中抽取8个个体的样本，若采用系统抽样的方法抽样，则分段间隔k是________；每个个体被抽到的可能性为________．
解析：采用系统抽样的方法，因为＝9.125，故分段间隔是k＝9，每个个体被抽到的可能性为.
答案：9　



[随堂即时演练]
1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法为(　　)
A．抽签法　　　　　　　　 　B．随机数表法
C．系统抽样法 D．其他方式的抽样
解析：选C　符合系统抽样的特点．
2．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
解析：选B　用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的编号，因此只有选项B满足要求．
3．将参加数学竞赛的1 000名同学编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，如果第1部分编号为0001,0002，…，0020，第1部分随机抽取的一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．
解析：利用系统抽样的概念，若n部分中在第1部分抽取的号码为m，分段间隔为d，则在第k部分中抽取的第k个号码为m＋(k－1)d，所以抽取的第40个号码为0 015＋39×20＝0 795.
答案：0 795
4．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．
解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，
∴在第8组中抽取的号码是75.
答案：75
5．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请写出用系统抽样抽取的过程．
解：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分含100个个体．
(3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个样本容量为150的样本．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是(　　)
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：选C　根据系统抽样的定义和特点进行判断．A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况，若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别为(　　)
A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：选A　∵92÷30不是整数，
∴必须先剔除部分个体数．
∵92÷30＝3……2，
∴剔除2个即可，间隔为3.
3．在一个个体数目为2 003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵采用系统抽样的方法从个体数目为2 003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是.
4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选B　∵＝8，
∴第1组中号码为126－15×8＝6.
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B　依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k－1)≤495得＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.
二、填空题
6．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5　(2)10.5
7．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01,02,03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06,34,48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．　
解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为06,20,34,48.
答案：20
8．有40件产品，编号从1至40，现从中抽4件检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可能是________(填序号)
①5,10,15,20；②2,12,22,32；③5,8,31,36
解析：由系统抽样的定义可知，间隔k＝＝10，可以在第一组1～10个个体中取一个l,1≤l≤10，则抽到的样本为l，l＋10，l＋20，l＋30.
答案：②
三、解答题
9．某批产品共有1 564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1 564，检测员要从中抽取15件产品作检测，请你给出一个系统抽样方案．
解：(1)先从1 564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．
(2)将余下的1 560件产品编号：1,2,3，…，1 560.
(3)取k＝＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．
(4)从第一组即1号到104号利用简单随机抽样抽取一个编号s.
(5)按编号把s,104＋s,208＋s，…，1 456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．
10．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)由题意此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第二组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第三组抽取的号码是290，…
故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×3＝187得x＝88…，
依次求得x值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.